「交点」について
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私立 昭和大学 2012年 第4問$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BO}=3$である．$\angle \mathrm{A}$の二等分線と$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{CD}$および$\mathrm{BA}$をそれぞれ延長したときの交点を$\mathrm{E}$とする．以下の各問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=k \overrightarrow{\mathrm{OB}}$となる実数$k$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=p \overrightarrow{\mathrm{OA}}+q \overrightarrow{\mathrm{OB}}$となる実数$p$と$q$の値をそれぞれ求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積$S$により$\triangle \mathrm{BCE}$の面積を$aS$と表すとき，実数$a$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=k \overrightarrow{\mathrm{OB}}$となる実数$k$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=p \overrightarrow{\mathrm{OA}}+q \overrightarrow{\mathrm{OB}}$となる実数$p$と$q$の値をそれぞれ求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積$S$により$\triangle \mathrm{BCE}$の面積を$aS$と表すとき，実数$a$の値を求めよ．
私立 昭和大学 2012年 第2問$1$辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{OAB}$がある．辺$\mathrm{AB}$上に$\displaystyle \mathrm{AM}=\frac{2}{3}$となる点$\mathrm{M}$をとる．また，辺$\mathrm{OA}$上に$\mathrm{OP}=p (0<p<1)$となる点$\mathrm{P}$をとり，線分$\mathrm{OM}$と線分$\mathrm{BP}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．次の各問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ p$で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ p$で表せ．
(3)三角形$\mathrm{OPQ}$が二等辺三角形となるような$p$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ p$で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ p$で表せ．
(3)三角形$\mathrm{OPQ}$が二等辺三角形となるような$p$の値を求めよ．
私立 昭和大学 2012年 第4問次の各問に答えよ．
(1)$2$つの曲線$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{3}}x(x-\sqrt{3})$および$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{3}}y(y-\sqrt{3})$がある．
(i) この$2$つの曲線の交点を求めよ．
(ii) この$2$つの曲線によって囲まれる部分の面積を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to \infty}(a \sqrt{2x^2+x+1}-bx)=2$が成り立つような実数$a,\ b$の値を求めよ．
(3)$x \geqq 0$のとき，$x$の関数$\displaystyle f(x)=\int_0^x 3^t(3^t-4)(x-t) \, dt$の最小値を与える$x$の値を求めよ．
(1)$2$つの曲線$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{3}}x(x-\sqrt{3})$および$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{3}}y(y-\sqrt{3})$がある．
(i) この$2$つの曲線の交点を求めよ．
(ii) この$2$つの曲線によって囲まれる部分の面積を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to \infty}(a \sqrt{2x^2+x+1}-bx)=2$が成り立つような実数$a,\ b$の値を求めよ．
(3)$x \geqq 0$のとき，$x$の関数$\displaystyle f(x)=\int_0^x 3^t(3^t-4)(x-t) \, dt$の最小値を与える$x$の値を求めよ．
私立 神戸薬科大学 2012年 第2問以下の文中の$[ ]$の中にいれるべき数または式等を求めて記入せよ．
(1)平面上に$\triangle \mathrm{ABC}$と点$\mathrm{P}$があり，次の式を満たしている．
\[ 2 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+3 \overrightarrow{\mathrm{BP}}+4 \overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
(i) $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=[ ] \overrightarrow{\mathrm{AB}}+[ ] \overrightarrow{\mathrm{AC}}$である．
(ii) $2$直線$\mathrm{AP}$，$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$は線分$\mathrm{BC}$を$[ ]$の比に内分する．また点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{AQ}$を$[ ]$の比に内分する．
(2)円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{AD}=2$，$\angle \mathrm{BCD}={60}^\circ$であるとき$\mathrm{BD}=[ ]$であり，外接円の半径$R=[ ]$である．また$\mathrm{CD}=3 \mathrm{BC}$のとき$\mathrm{BC}=[ ]$であり，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[ ]$である．
(1)平面上に$\triangle \mathrm{ABC}$と点$\mathrm{P}$があり，次の式を満たしている．
\[ 2 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+3 \overrightarrow{\mathrm{BP}}+4 \overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
(i) $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=[ ] \overrightarrow{\mathrm{AB}}+[ ] \overrightarrow{\mathrm{AC}}$である．
(ii) $2$直線$\mathrm{AP}$，$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$は線分$\mathrm{BC}$を$[ ]$の比に内分する．また点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{AQ}$を$[ ]$の比に内分する．
(2)円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{AD}=2$，$\angle \mathrm{BCD}={60}^\circ$であるとき$\mathrm{BD}=[ ]$であり，外接円の半径$R=[ ]$である．また$\mathrm{CD}=3 \mathrm{BC}$のとき$\mathrm{BC}=[ ]$であり，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[ ]$である．
私立 法政大学 2012年 第3問三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{CA}=\mathrm{CB}=3$，$\mathrm{AB}=4$である．また，$\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{b}$とおく．
(1)$\cos \angle \mathrm{BCA}=\frac{[ア]}{[イ]}$である．また，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径は$\displaystyle \frac{[ウ] \sqrt{[エ]}}{[オカ]}$である．
(2)$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[キ]$である．
(3)点$\mathrm{C}$を通り直線$\mathrm{AB}$に直交する直線$\ell$と$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{M}$とすると，
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CM}}=\frac{[ク]}{[ケ]} \left( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right)$である．また，点$\mathrm{B}$を通り直線$\mathrm{CA}$に直交する直線と$\ell$の交点を$\mathrm{H}$とすると，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CH}}=\frac{[コ]}{[サシ]} \left( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right)$である．
次に，三角形$\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とすると，$\displaystyle \mathrm{OH}=\frac{[ス] \sqrt{[セ]}}{[ソタ]}$である．
(1)$\cos \angle \mathrm{BCA}=\frac{[ア]}{[イ]}$である．また，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径は$\displaystyle \frac{[ウ] \sqrt{[エ]}}{[オカ]}$である．
(2)$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[キ]$である．
(3)点$\mathrm{C}$を通り直線$\mathrm{AB}$に直交する直線$\ell$と$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{M}$とすると，
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CM}}=\frac{[ク]}{[ケ]} \left( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right)$である．また，点$\mathrm{B}$を通り直線$\mathrm{CA}$に直交する直線と$\ell$の交点を$\mathrm{H}$とすると，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CH}}=\frac{[コ]}{[サシ]} \left( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right)$である．
次に，三角形$\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とすると，$\displaystyle \mathrm{OH}=\frac{[ス] \sqrt{[セ]}}{[ソタ]}$である．
私立 大阪学院大学 2012年 第4問$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=4$，$\mathrm{CA}=5$の直角三角形$\mathrm{ABC}$の外接円を$\mathrm{O}$とする．下図のように，辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{P}$をとり，線分$\mathrm{AP}$の延長と円$\mathrm{O}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．さらに，$\mathrm{Q}$における円$\mathrm{O}$の接線と辺$\mathrm{AB}$の延長との交点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{BP}=3$のとき，次の問いに答えなさい．
（図は省略）
(1)$\mathrm{AQ}$を求めなさい．
(2)$\mathrm{BQ}$を求めなさい．
(3)$\mathrm{QR}$は$\mathrm{BR}$の何倍かを求めなさい．
(4)$\mathrm{BR}$を求めなさい．
（図は省略）
(1)$\mathrm{AQ}$を求めなさい．
(2)$\mathrm{BQ}$を求めなさい．
(3)$\mathrm{QR}$は$\mathrm{BR}$の何倍かを求めなさい．
(4)$\mathrm{BR}$を求めなさい．
私立 近畿大学 2012年 第2問$f(x)=x^2-4x+7$とし，放物線$y=f(x)$上の$2$点$\mathrm{A}(t,\ f(t))$，$\mathrm{B}(t+a,\ f(t+a)) (a>0)$における$y=f(x)$の接線をそれぞれ$\ell_\mathrm{A}$，$\ell_\mathrm{B}$とする．また$\ell_\mathrm{A}$と$\ell_\mathrm{B}$の交点を$\mathrm{P}$とする．
(1)点$\mathrm{P}$の座標は
\[ \left( t+\frac{a}{[ア]},\ t^{[イ]}+(a-[ウ])t-[エ]a+[オ] \right) \]
である．このことから，$t$が変化するとき，点$\mathrm{P}$は曲線
\[ y=x^{[カ]}-[キ]x-\frac{a^{[ク]}}{[ケ]}+[コ] \]
上を動く．
(2)$\mathrm{AB}=\mathrm{AP}$となる実数$t$が存在するための必要十分条件は$\displaystyle a \geqq \frac{[サ]}{[シ]}$である．
(1)点$\mathrm{P}$の座標は
\[ \left( t+\frac{a}{[ア]},\ t^{[イ]}+(a-[ウ])t-[エ]a+[オ] \right) \]
である．このことから，$t$が変化するとき，点$\mathrm{P}$は曲線
\[ y=x^{[カ]}-[キ]x-\frac{a^{[ク]}}{[ケ]}+[コ] \]
上を動く．
(2)$\mathrm{AB}=\mathrm{AP}$となる実数$t$が存在するための必要十分条件は$\displaystyle a \geqq \frac{[サ]}{[シ]}$である．
私立 神戸薬科大学 2012年 第4問以下の文中の$[ ]$の中にいれるべき数または式等を求めて記入せよ．
(1)関数$\displaystyle f(x)=\cos^4 x-\sin^4 x+\frac{1}{2} \sin x \sin 2x+3 \cos x (0 \leqq x \leqq \pi)$とする．$t=\cos x$とおき$f(x)$を$t$の式で表すと，$f(x)=[ ]$である．$f(x)$は$\cos x=[ ]$のとき最大値$[ ]$をとり，$\cos x=[ ]$のとき最小値$[ ]$をとる．
(2)半円$C_1:x^2+y^2=2 (y \geqq 0)$と放物線$C_2:y=ax^2+1-a (a<-1)$とで囲まれた図形の面積$S$を求めたい．
(i) $C_1$と$C_2$の交点を求めると$[ ]$である．
(ii) $C_1$と$C_2$のグラフおよび$(1)$で求めた交点を図示せよ．
(iii) 面積$S=[ ]$である．
(1)関数$\displaystyle f(x)=\cos^4 x-\sin^4 x+\frac{1}{2} \sin x \sin 2x+3 \cos x (0 \leqq x \leqq \pi)$とする．$t=\cos x$とおき$f(x)$を$t$の式で表すと，$f(x)=[ ]$である．$f(x)$は$\cos x=[ ]$のとき最大値$[ ]$をとり，$\cos x=[ ]$のとき最小値$[ ]$をとる．
(2)半円$C_1:x^2+y^2=2 (y \geqq 0)$と放物線$C_2:y=ax^2+1-a (a<-1)$とで囲まれた図形の面積$S$を求めたい．
(i) $C_1$と$C_2$の交点を求めると$[ ]$である．
(ii) $C_1$と$C_2$のグラフおよび$(1)$で求めた交点を図示せよ．
(iii) 面積$S=[ ]$である．
私立 近畿大学 2012年 第2問$f(x)=x^2-4x+7$とし，放物線$y=f(x)$上の$2$点$\mathrm{A}(t,\ f(t))$，$\mathrm{B}(t+a,\ f(t+a)) (a>0)$における$y=f(x)$の接線をそれぞれ$\ell_\mathrm{A}$，$\ell_\mathrm{B}$とする．また$\ell_\mathrm{A}$と$\ell_\mathrm{B}$の交点を$\mathrm{P}$とする．
(1)点$\mathrm{P}$の座標は
\[ \left( t+\frac{a}{[ア]},\ t^{[イ]}+(a-[ウ])t-[エ]a+[オ] \right) \]
である．このことから，$t$が変化するとき，点$\mathrm{P}$は曲線
\[ y=x^{[カ]}-[キ]x-\frac{a^{[ク]}}{[ケ]}+[コ] \]
上を動く．
(2)$\mathrm{AB}=\mathrm{AP}$となる実数$t$が存在するための必要十分条件は$\displaystyle a \geqq \frac{[サ]}{[シ]}$である．
(1)点$\mathrm{P}$の座標は
\[ \left( t+\frac{a}{[ア]},\ t^{[イ]}+(a-[ウ])t-[エ]a+[オ] \right) \]
である．このことから，$t$が変化するとき，点$\mathrm{P}$は曲線
\[ y=x^{[カ]}-[キ]x-\frac{a^{[ク]}}{[ケ]}+[コ] \]
上を動く．
(2)$\mathrm{AB}=\mathrm{AP}$となる実数$t$が存在するための必要十分条件は$\displaystyle a \geqq \frac{[サ]}{[シ]}$である．
私立 法政大学 2012年 第3問関数$f(x)=x^3+2x^2+x-3$について，つぎの問いに答えよ．
(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)$a$を実数とする．曲線$y=f(x)$上の異なる$2$点$(a,\ f(a))$，$(-a,\ f(-a))$における接線をそれぞれ$\ell_1$，$\ell_2$とするとき，$\ell_1$と$\ell_2$の交点の軌跡を表す曲線$y=g(x)$を求めよ．
(3)曲線$y=g(x)$と$x$軸および直線$x=2$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)$a$を実数とする．曲線$y=f(x)$上の異なる$2$点$(a,\ f(a))$，$(-a,\ f(-a))$における接線をそれぞれ$\ell_1$，$\ell_2$とするとき，$\ell_1$と$\ell_2$の交点の軌跡を表す曲線$y=g(x)$を求めよ．
(3)曲線$y=g(x)$と$x$軸および直線$x=2$で囲まれた図形の面積を求めよ．