次の空欄ア～サに当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1},\ y=\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}$のとき，$x^3+y^3$の値は$[ア]$である．
(2)互いに異なる定数$a,\ b,\ c$が$\displaystyle \frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=\frac{a+b}{c}$を満たすとき，$\displaystyle \frac{(b+c)(c+a)(a+b)}{abc}$のとる値は$[イ]$である．ただし，$abc \neq 0$とする．
(3)白玉$3$個と黒玉$3$個が入っている袋から玉を$1$個取り出し，色を調べてもとに戻す．この試行を$3$回繰り返すとき，白玉を$2$回取り出す確率は$[ウ]$である．
(4)整式$P(x)$を$x-1$で割った余りが$-2$，$x-2$で割った余りが3，$x-3$で割った余りが8ならば，$P(x)$を$(x-1)(x-2)(x-3)$で割った余りは$[エ]$である．
(5)数列$\{a_n\}$は$a_1=-7$と漸化式$2a_{n+1}=3a_n+8 \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められている．この数列の一般項は$a_n=[オ]$である．
(6)平行四辺形ABCDにおいて，辺ABを$2:1$に内分する点をE，辺BCの中点をF，辺CDの中点をGとする．線分CEと線分FGの交点をHとすると，$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=[カ]\overrightarrow{\mathrm{AB}}+[キ]\overrightarrow{\mathrm{AD}}$となる．
(7)関数$f(x)=x^2-2ax+a+6$がすべての実数$x$に対して$f(x)>0$を満たすならば，定数$a$の値の取りうる範囲は，$[ク]<a<[ケ]$となる．
(8)関数$f(x)=ax^2+bx+1$が$f(1)=-6$と$\displaystyle \int_0^3 \{ f^\prime(x) \}^2 \, dx=63$を満たすならば，定数$a,\ b$の値は$a=[コ],\ b=[サ]$である．ただし，$f^\prime(x)$は$f(x)$の導関数を表す．

辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$のそれぞれの長さが，$6$，$5$，$7$となる三角形$\mathrm{ABC}$について考える．$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とし，線分$\mathrm{AD}$の長さを$L$とするとき，$\displaystyle \frac{12L}{\sqrt{105}}$の値を求めよ．

直線：$2x-y+3=0$と円：$x^2+y^2+10x-2y+10=0$との相異なる$2$つの交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．線分$\mathrm{AB}$の長さを$a$とするとき，$\sqrt{5}a$の値を求めよ．

$2$直線：$4x+3y-14=0$，$x-3y-11=0$の交点を通り，直線：$x-y+4=0$と直交する直線を$ax+y-b=0$（$a,\ b$は実数）とする．$(a+b)$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)放物線$y=ax^2+bx+c$は$3$点$(-2,\ -3)$，$(0,\ -1)$，$(1,\ 6)$を通る．このとき，定数$a,\ b,\ c$の値を求め，さらにこの放物線の頂点の座標を求めよ．
(2)放物線$C:y=x^2$上の点$\mathrm{A}(t,\ t^2)$を通り，傾きが$m$であるような直線$\ell$の方程式を求めよ．また，$\ell$が$C$と異なる$2$点で交わる条件を求め，このとき，点$\mathrm{A}$とは異なる交点$\mathrm{B}$の座標を$t$と$m$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=2$，$\displaystyle \cos B=\frac{5}{6}$であるとき，辺$\mathrm{CA}$の長さ，および$\cos A$，$\cos C$の値をそれぞれ求めよ．

放物線$C:y=-x^2+9x$上の点$\mathrm{P}(t,\ -t^2+9t)$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点を$\mathrm{H}$とする．また，点$\mathrm{Q}(9,\ 0)$に対して，三角形$\mathrm{PHQ}$の面積を$S_1$とする．ただし，$0<t<9$である．

(1)$S_1$を$t$を用いて表せ．
(2)$S_1$の最大値とそのときの$t$の値を求めよ．
(3)$t$が上の(2)で求めた値をとるとき，$C$と直線$\mathrm{PQ}$で囲まれた図形の面積$S_2$を求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{M}$，辺$\mathrm{AC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{N}$とし，線分$\mathrm{BN}$と線分$\mathrm{CM}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AN}}$，$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$をそれぞれ$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$をそれぞれ$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)直線$\mathrm{AP}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$，$\overrightarrow{\mathrm{BQ}}$をそれぞれ$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

$f(x)=(x-1)(x-\sqrt{3})$とする．点$\mathrm{A}(0,\ \sqrt{3})$における放物線$y=f(x)$の接線を$\ell$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$を求めよ．
(3)接線$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{B}$とし，$\mathrm{C}(1,\ 0)$とする．放物線$y=f(x)$，接線$\ell$，および線分$\mathrm{BC}$で囲まれた図形の面積を求めよ．

関数$f(x)=(x-2)|x-3|$について以下の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフの概形を描け．
(2)点$(2,\ 0)$における接線の方程式およびこの接線と$y=f(x)$の交点の座標を求めよ．
(3)$(2)$で求めた接線と$y=f(x)$のグラフで囲まれた部分の面積を求めよ．

放物線$C:y=x^2-kx (k>0)$と直線$\ell:y=3x$がある．$C$と$\ell$の交点で原点$\mathrm{O}$以外の点を$\mathrm{A}$とする．$C$と$\ell$で囲まれた部分の面積を$S_1$，$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．

(1)$\mathrm{A}$の座標を$k$で表せ．
(2)$S_1$を$k$で表せ．
(3)$\mathrm{A}$を通り$x$軸に垂直な直線と，$x$軸および$C$で囲まれた部分の面積を$S_3$とする．$S_3$を$k$で表せ．
(4)$(3)$の$S_3$と$S_2$が等しいとき，$k$の値を求めよ．