「交点」について
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国立 滋賀大学 2012年 第4問$\triangle$ABCにおいて，$\text{AB}=3,\ \text{AC}=5,\ \text{BC}=2\sqrt{6}$とする．$\triangle$ABCの外心をOとし，Oから辺ABに下ろした垂線とABの交点をM，Oから辺ACに下ろした垂線とACの交点をN，直線AOと辺BCの交点をDとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の内積を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AO}}|$の値を求めよ．
(3)$\text{BD}:\text{DC}=s:1-s,\ \overrightarrow{\mathrm{AO}}=k\overrightarrow{\mathrm{AD}}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{MO}}$と$\overrightarrow{\mathrm{NO}}$をそれぞれ$k,\ s,\ \overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AO}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の内積を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AO}}|$の値を求めよ．
(3)$\text{BD}:\text{DC}=s:1-s,\ \overrightarrow{\mathrm{AO}}=k\overrightarrow{\mathrm{AD}}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{MO}}$と$\overrightarrow{\mathrm{NO}}$をそれぞれ$k,\ s,\ \overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AO}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
国立 熊本大学 2012年 第4問一辺の長さが$\sqrt{2}$の正四面体OABCにおいて，辺ABの中点をM，辺BCを$1:2$に内分する点をN，辺OCの中点をLとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく．以下の問いに答えよ．
(1)3点L，M，Nを通る平面と直線OAの交点をDとする．$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)辺OBの中点Kから直線DN上の点Pへ垂線KPを引く．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(1)3点L，M，Nを通る平面と直線OAの交点をDとする．$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)辺OBの中点Kから直線DN上の点Pへ垂線KPを引く．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
国立 岩手大学 2012年 第2問座標空間内に3点A$(2,\ 2,\ 0)$，B$(0,\ 2,\ 2)$，C$(2,\ 0,\ 2)$がある．次の問いに答えよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$のなす角$\theta$を求めよ．ただし，$0^\circ < \theta < 180^\circ$とする．
(2)$\triangle$ABCの面積を求めよ．
(3)原点Oから平面ABCに垂線をおろし，平面ABCとの交点をHとする．点Hは平面ABC上にあるから$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=r\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s\overrightarrow{\mathrm{OB}}+t\overrightarrow{\mathrm{OC}} \ (r+s+t=1)$と表すことができる．このとき，$r,\ s,\ t$を求めよ．
(4)四面体OABCの体積を求めよ．
(5)球$P$が四面体OABCのすべての面に接している．このとき，球$P$の半径を求めよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$のなす角$\theta$を求めよ．ただし，$0^\circ < \theta < 180^\circ$とする．
(2)$\triangle$ABCの面積を求めよ．
(3)原点Oから平面ABCに垂線をおろし，平面ABCとの交点をHとする．点Hは平面ABC上にあるから$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=r\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s\overrightarrow{\mathrm{OB}}+t\overrightarrow{\mathrm{OC}} \ (r+s+t=1)$と表すことができる．このとき，$r,\ s,\ t$を求めよ．
(4)四面体OABCの体積を求めよ．
(5)球$P$が四面体OABCのすべての面に接している．このとき，球$P$の半径を求めよ．
国立 岩手大学 2012年 第4問$\angle \text{BAC}=90^\circ$である直角三角形ABCにおいて，辺ABの中点をMとする．また，辺BCを$s:(1-s)$に内分する点をPとし，線分APとCMとの交点をRとする．ただし，$0<s<1$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を$s,\ \overrightarrow{a}$および$\overrightarrow{b}$で表せ．
(2)$|\overrightarrow{a}|=1,\ |\overrightarrow{b}|=\sqrt{2}$とする．線分APとCMが直交するときの$s$の値を求めよ．また，このときの$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$の大きさを求めよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を$s,\ \overrightarrow{a}$および$\overrightarrow{b}$で表せ．
(2)$|\overrightarrow{a}|=1,\ |\overrightarrow{b}|=\sqrt{2}$とする．線分APとCMが直交するときの$s$の値を求めよ．また，このときの$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$の大きさを求めよ．
国立 岩手大学 2012年 第4問$\angle \text{BAC}=90^\circ$である直角三角形ABCにおいて，辺ABの中点をMとする．また，辺BCを$s:(1-s)$に内分する点をPとし，線分APとCMとの交点をRとする．ただし，$0<s<1$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を$s,\ \overrightarrow{a}$および$\overrightarrow{b}$で表せ．
(2)$|\overrightarrow{a}|=1,\ |\overrightarrow{b}|=\sqrt{2}$とする．線分APとCMが直交するときの$s$の値を求めよ．また，このときの$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$の大きさを求めよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を$s,\ \overrightarrow{a}$および$\overrightarrow{b}$で表せ．
(2)$|\overrightarrow{a}|=1,\ |\overrightarrow{b}|=\sqrt{2}$とする．線分APとCMが直交するときの$s$の値を求めよ．また，このときの$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$の大きさを求めよ．
国立 名古屋工業大学 2012年 第4問円周上に4点A，B，C，Dが反時計回りに並んでいる．直線ABと直線DCの交点をE，線分ACとBDの交点をFとする．$\text{AB}=1,\ \text{BE}=3,\ \text{AE}=4$であり，$\triangle$DCFの面積は$\triangle$ABFの面積の4倍である．$\displaystyle \text{FA}=x,\ \text{FB}=y,\ \text{CE}=t,\ \frac{y}{x}=u$とおいて，以下の問いに答えよ．
(1)$\text{FC},\ \text{FD}$を$x,\ y$で表せ．
(2)$t$の値を求めよ．
(3)$u$の値を求めよ．
(4)面積の比の値$\displaystyle \frac{\triangle \text{AED}}{\triangle \text{ABF}}$を求めよ．
(1)$\text{FC},\ \text{FD}$を$x,\ y$で表せ．
(2)$t$の値を求めよ．
(3)$u$の値を求めよ．
(4)面積の比の値$\displaystyle \frac{\triangle \text{AED}}{\triangle \text{ABF}}$を求めよ．
国立 高知大学 2012年 第3問点Oを中心とする半径1の円に内接する正十角形の隣り合う頂点をA，Bとする．また，$\angle \text{OAB}$の二等分線と直線OBの交点をCとする．次の問いに答えよ．
(1)$\triangle$ABCと$\triangle$OABは相似になることを示せ．
(2)辺ABの長さを求めよ．
(3)$\displaystyle \cos \frac{2\pi}{5}$を求めよ．
(4)半径1の円に内接する正五角形の一辺の長さを求めよ．
(1)$\triangle$ABCと$\triangle$OABは相似になることを示せ．
(2)辺ABの長さを求めよ．
(3)$\displaystyle \cos \frac{2\pi}{5}$を求めよ．
(4)半径1の円に内接する正五角形の一辺の長さを求めよ．
国立 大分大学 2012年 第2問三角形OABで$\displaystyle \overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ |\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=1,\ \angle \text{AOB}=\frac{\pi}{6}$とする．このとき次の問いに答えよ．
(1)三角形OABの外接円の中心(外心)Qの位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．
(2)頂点OとAからそれぞれの対辺ABとOBに下ろした垂線の交点(垂心)をHとするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$の値を求めよ．
(4)三角形OABの内接円の中心(内心)Pの位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．
(1)三角形OABの外接円の中心(外心)Qの位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．
(2)頂点OとAからそれぞれの対辺ABとOBに下ろした垂線の交点(垂心)をHとするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$の値を求めよ．
(4)三角形OABの内接円の中心(内心)Pの位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．
国立 大分大学 2012年 第3問円周上の点Aにおける円の接線上に点Aと異なる点Pをとる．点Pを通る直線が点Pから近い順に2点B，Cで円と交わっている．$\angle \text{APB}$の二等分線と線分AB，ACとの交点をそれぞれD，Eとする．$\text{PA}:\text{PB}=r:1-r$とおき，$\text{BD}=s,\ \text{CE}=t$とおく．ただし，$0<r<1$とする．
(1)線分ADの長さを$r$と$s$で表しなさい．
(2)$\text{PB}:\text{PC}=2:3$となるとき，$r$の値を求めなさい．
(3)(2)のとき，線分AEの長さを$t$で表しなさい．
(1)線分ADの長さを$r$と$s$で表しなさい．
(2)$\text{PB}:\text{PC}=2:3$となるとき，$r$の値を求めなさい．
(3)(2)のとき，線分AEの長さを$t$で表しなさい．
国立 奈良女子大学 2012年 第6問$a$を実数とする．関数$y=|x-1|+|x-2|$と関数$y=x+a$のグラフをそれぞれ$G_1,\ G_2$とおく．$G_1$と$G_2$が交点を持つとする．次の問いに答えよ．
(1)$G_1$をかけ．
(2)$G_1$と$G_2$の囲む領域が三角形であるとする．このときの$a$の値の範囲を求め，三角形の面積$S_1$を$a$を用いて表せ．
(3)$G_1$と$G_2$の囲む領域が四角形であるとする．このときの$a$の値の範囲を求め，四角形の面積$S_2$を$a$を用いて表せ．
(1)$G_1$をかけ．
(2)$G_1$と$G_2$の囲む領域が三角形であるとする．このときの$a$の値の範囲を求め，三角形の面積$S_1$を$a$を用いて表せ．
(3)$G_1$と$G_2$の囲む領域が四角形であるとする．このときの$a$の値の範囲を求め，四角形の面積$S_2$を$a$を用いて表せ．