次の各文の$[　]$にあてはまる答を求めよ．

(1)$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AD}=3$である四角形$\mathrm{ABCD}$において，$2$本の対角線の交点$\mathrm{E}$は線分$\mathrm{BD}$を$3:2$に内分し，線分$\mathrm{AC}$を$1:4$に内分しているとする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{d}$とおく．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$は$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=[ア] \overrightarrow{b}+[イ] \overrightarrow{d}$と表せる．さらに，線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{BD}$が垂直に交わるとき，内積$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{d}$の値は$[ウ]$であり，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[エ]$である．
(2)$6$人の生徒$\mathrm{a}$，$\mathrm{b}$，$\mathrm{c}$，$\mathrm{d}$，$\mathrm{e}$，$\mathrm{f}$を$3$つの部屋$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$に入れる．各部屋は$6$人まで入れることができる．このとき，空室があってもよいとして，$3$つの部屋への生徒の入れ方は全部で$[オ]$通りある．また，各部屋に$2$人ずつ入るような生徒の入れ方は全部で$[カ]$通りあり，空室ができないような生徒の入れ方は全部で$[キ]$通りある．
(3)$x$の関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\int_1^{2x} |t(t-x)| \, dt$により定める．このとき，$f(x) \geqq 0$となるための$x$の条件は$[ク]$である．また，$f(1)$の値は$f(1)=[ケ]$であり，$x>1$のときの$f(x)$を求めると$f(x)=[コ]$である．
(4)三角形$\mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$とし，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円と直線$\mathrm{AI}$との交点で$\mathrm{A}$以外のものを$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=3$，$\mathrm{AD}=4$のとき，$\cos \angle \mathrm{BAD}=[サ]$であり，$\mathrm{BD}=[シ]$，$\mathrm{CD}=[ス]$，$\mathrm{BC}=[セ]$である．

$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=\sqrt{3}$である長方形の紙$\mathrm{ABCD}$が平らな机上に置かれている．$\mathrm{M}$を$\mathrm{AB}$の中点とすると，$\angle \mathrm{MCB}={[あい]}^\circ$である．いま，ある直線$\ell$に沿ってこの紙を折り曲げて，頂点$\mathrm{C}$が$\mathrm{M}$に重なるようにする．$\ell$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{E}$とすると，$\mathrm{CE}$の長さは$\displaystyle \frac{[う] \sqrt{[え]}}{[お]}$である．次に，折り畳まれた紙を開き，折り曲げられた部分が机上に垂直になったところで止める（頂点$\mathrm{C}$は空中にある）．このとき，$\mathrm{AC}=[か]$，$\mathrm{BC}=\sqrt{[き]}$，内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=[く]$となる．

$xy$平面において，曲線$C:y=\log x$上に$2$点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$と$\mathrm{B}(a+h,\ \log (a+h))$ $(h \neq 0)$をとる．点$\mathrm{A}$における$C$の法線と点$\mathrm{B}$における$C$の法線の交点を$\mathrm{D}(\alpha,\ \beta)$とする．次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{A}$における法線の方程式を求めよ．
(2)$\alpha$と$\beta$をそれぞれ$a$と$h$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle p=\lim_{h \to 0} \alpha$と$\displaystyle q=\lim_{h \to 0} \beta$とする．$p$と$q$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(4)点$\mathrm{E}$の座標を$(p,\ q)$とする．線分$\mathrm{AE}$の長さを最小にする$a$の値と，そのときの線分$\mathrm{AE}$の長さを求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)放物線$y=x^2+ax+b$が$2$点$(-2,\ 23)$，$(3,\ -2)$を通るとき，定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$(1)$の放物線と直線$y=-x+3$の$2$つの交点の座標を求めよ．
(3)$(2)$の$2$つの交点の$x$座標をそれぞれ$m,\ n$とする．ただし，$m<n$とする．放物線$y=x^2-6x-k^2+4k+5$が$m \leqq x \leqq n$の区間において，常に$y<0$の部分にあるような定数$k$の値の範囲を求めよ．

次の$[　]$にあてはまる数を記入せよ．

(1)直線$(1-k)x+(1+k)y-k-3=0$は定数$k$の値によらず定点$\mathrm{A}$を通る．このとき，定点$\mathrm{A}$の座標は，$([　],\ [　])$である．また，中心が点$\mathrm{A}$で，直線$x+y=5$に接する円の半径は$[　]$となる．
(2)空間の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 2,\ -3)$，$\mathrm{B}(1,\ -1,\ 1)$において，線分$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点$\mathrm{C}$の座標は，$([　],\ [　],\ [　])$である．また，このとき，$\cos \angle \mathrm{AOC}=[　]$となる．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CA}=6$とする．また，$\angle \mathrm{BAC}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[　]$となり，$\mathrm{BP}=[　]$，$\mathrm{AP}=[　]$となる．$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径を$r$とすると，$r=[　]$である．
(4)$4$つの数
$\log_2 (\log_4 (\log_8 16))$，$\log_4 (\log_8 (\log_2 16))$，$\log_8 (\log_2 (\log_4 16))$，$\log_2 (\log_8 (\log_4 16))$の大小を比較すると，$[　]<[　]<[　]<[　]$となる．

関数$f(x)=x^3-3x^2+4$とする．$k$を実数とし，$y=f(x)$を$x$軸方向に$k$，$y$軸方向に$-4$だけ平行移動した曲線の方程式を$y=g(x)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$g(x)$の極大値と極小値を求めよ．
(2)$y=f(x)$と$y=g(x)$が異なる$2$つの交点をもち，このうちどちらか一方の交点の$x$座標が$2$であるとき，$k$の値を求めよ．
(3)$k$が$(2)$で求めた値をとるとき，$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．

放物線$y={(x-1)}^2$上の異なる$2$点$\mathrm{A}(a,\ {(a-1)}^2)$，$\mathrm{B}(b,\ {(b-1)}^2)$における$2$つの接線を，それぞれ，$\ell_1,\ \ell_2$とする．ただし，$a<b$とする．また，点$\mathrm{A}$を通り$\ell_1$と直交する直線を${\ell_1}^\prime$，点$\mathrm{B}$を通り$\ell_2$と直交する直線を${\ell_2}^\prime$とする．次の$[　]$にあてはまる数または式を記入せよ．

(1)$\ell_1$と$\ell_2$の交点の座標を$a,\ b$を使って表すと，$([　],\ [　])$である．
(2)この放物線と$\ell_1,\ \ell_2$で囲まれた部分の面積$S$を$a,\ b$を使って表すと，$[　]$である．
(3)${\ell_1}^\prime$と${\ell_2}^\prime$が直交するとき，$(2)$で求めた$S$の最小値は$[　]$である．このとき，$a=[　]$，$b=[　]$となり，$\ell_1$，${\ell_1}^\prime$，$\ell_2$，${\ell_2}^\prime$の$4$つの直線で囲まれた部分の面積は$[　]$となる．

$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上にあり，$13 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+12 \overrightarrow{\mathrm{OB}}+5 \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たしている．

(1)$\mathrm{OB}$と$\mathrm{OC}$は垂直であることを示せ．
(2)$\angle \mathrm{AOB}=\alpha$，$\angle \mathrm{AOC}=\beta$とおく．$\cos \alpha$および$\cos \beta$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{A}$から$\mathrm{BC}$にひいた垂線と$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{H}$とする．線分$\mathrm{AH}$の長さを求めよ．

$0<a<2$とする．$x \geqq 0$のとき$f(x)=x^3$，$x<0$のとき$f(x)=x^2+2x$とする．

(1)曲線$y=f(x)$と直線$y=ax$の交点の$x$座標を求めよ．
(2)曲線$y=f(x) (x \geqq 0)$と直線$y=ax$で囲まれる部分の面積$S(a)$を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=ax$で囲まれる$2$つの部分の面積の和$T(a)$を求めよ．
(4)$T(a)$を最小にする$a$の値を求めよ．

$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上に相異なる$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおき，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} \neq \overrightarrow{\mathrm{0}}$とする．線分$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の中点を，それぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{q}$，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{r}$とおく．

このとき，以下の$[$1$]$～$[$6$]$について適切な値を，$[イ]$には適切な式を解答欄に答えなさい．また，$[ア]$，$[ウ]$には下部の選択肢からもっともふさわしいものを選択して，解答欄に記入しなさい．
ベクトル$\displaystyle \overrightarrow{d}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$とすると，
\[ |\overrightarrow{d}-\overrightarrow{p}|=|\overrightarrow{d}-\overrightarrow{q}|=|\overrightarrow{d}-\overrightarrow{r}|=[$1$] \]
となり，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$によって定まる点$\mathrm{D}$は$\triangle \mathrm{PQR}$の$[ア]$となることがわかる．
いま，線分$\mathrm{AB}$の長さを$1$，線分$\mathrm{AC}$の長さを$\sqrt{3}$とし，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$は，どの$2$つも平行ではないとする．このとき，線分$\mathrm{BC}$の長さは$[$2$]$であり，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=[$3$]$である．また，$\overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{c}$で表すと，$\overrightarrow{b}=[イ]$となる．
また，$\triangle \mathrm{PQR}$について，$\angle \mathrm{QPR}$の二等分線と辺$\mathrm{QR}$の交点を$\mathrm{S}$とおき，$\overrightarrow{\mathrm{PS}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{c}$で表すと，
\[ \overrightarrow{\mathrm{PS}}=[$4$] \overrightarrow{a}+[$5$] \overrightarrow{c} \]
とかける．同様にして，$\angle \mathrm{PQR}$の二等分線と辺$\mathrm{PR}$の交点を$\mathrm{T}$とおく．線分$\mathrm{PS}$と線分$\mathrm{QT}$の交点を$\mathrm{U}$とおくと，$\mathrm{U}$は$\triangle \mathrm{PQR}$の$[ウ]$となり，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OU}}=[$6$] \overrightarrow{b} \]
となることがわかる．
\begin{screen}
選択肢： \quad 重心， \quad 内心， \quad 外心
\end{screen}