次の問いに答えよ．

(1)不等式$\sqrt{3} \cos \theta+3 \sin \theta-\sqrt{6}>0 (0 \leqq \theta<2\pi)$の解は$\displaystyle \frac{\pi}{[ア][イ]}<\theta<\frac{[ウ]}{[エ][オ]} \pi$である．

(2)$\triangle \mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$1:2$，辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$とし，線分$\mathrm{AE}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{[カ]}{[キ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}},\quad \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\frac{[ク]}{[ケ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}},\quad \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{[コ]}{[サ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[シ]}{[サ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
と表せる．

関数$f(x)=(x-7) |x-1|$について，次の問に答えよ．

(1)$a$を実数とするとき，方程式$f(x)=a$の異なる実数解の個数を調べよ．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=x-7$の交点の座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x) (0 \leqq x \leqq 3)$と$2$直線$y=x-7$，$x=3$で囲まれた$2$つの部分の面積の和$S$を求めよ．

$2$直線$x \cos \theta+y \sin \theta=6$，$x \sin \theta-y \cos \theta=8$の交点を$\mathrm{P}(\theta)$とおく．このとき，次の問に答えなさい．

(1)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{4}$のとき点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{\pi}{4} \right)$を$\mathrm{A}$とおくと$\mathrm{A}$の座標は$([ア] \sqrt{[イ]},\ [ウ] \sqrt{[エ]})$である．
(2)点$\mathrm{P}(\theta)$の座標$(x,\ y)$を$\theta$で表すと$x=[オ] \cos \theta+[カ] \sin \theta$，$y=[キ] \sin \theta-[ク] \cos \theta$である．
(3)$\theta$が$\displaystyle \frac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \frac{3\pi}{4}$を動くとき，点$\mathrm{P}(\theta)$の軌跡は中心$([ケ],\ [コ])$，半径$[サシ]$の円の一部（円弧）を動き，その円弧の長さは$[ス] \pi$である．
(4)点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{3\pi}{4} \right)$を$\mathrm{B}$，点$\mathrm{P}(\theta)$を$\mathrm{P}$とおく．このときベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$の内積は
\[ \overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}=[セソタ]([チ]-\sqrt{[ツ]} \sin \theta) \]
である．また，$\theta$が$\displaystyle \frac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \frac{3\pi}{4}$を動くとき，この内積が最小となる点$\mathrm{P}$の座標は$([テ],\ [ト])$である．

$n$を$3$以上の自然数とする．平面上の点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円に内接する正$n$角形の面積を$a_n$，外接する正$n$角形の面積を$b_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$a_n$を求めよ．
(2)$b_n$を求めよ．

(3)$\displaystyle \frac{b_n}{a_n}<\frac{4}{3}$となる最小の$n$を求めよ．


\mon[補足：] 円に内接する正$n$角形とは，円周を$n$等分して隣り合う点を線分で結んでできる正$n$角形をいう．円に外接する正$n$角形とは，円周を$n$等分した各点において円の接線をひき，隣り合う点における$2$つの接線の交点を頂点とする正$n$角形をいう．

曲線$C:y=x^3$上の点$\mathrm{P}(t,\ t^3)$における接線を$\ell$とする．$\ell$の$\mathrm{P}$とは異なる$C$との交点を$\mathrm{Q}$とし，$C$と$\ell$とで囲まれた部分を$S$とする．このとき，次の問いに答えよ．ただし，$t>0$とする．

(1)接線$\ell$の方程式と，点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)原点$\mathrm{O}$と$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の中点を通る直線を$m$とする．$m$の方程式を求めよ．
(3)$(2)$の直線$m$により$S$は$2$つの部分に分けられる．$x$軸で$x>0$の一部を含む部分の面積を$s_1$とし，もう一方の面積を$s_2$とする．このとき$\displaystyle \frac{s_1}{s_2}$を求めよ．

曲線$y=-x^2+1$を$C_1$とし，曲線$y=2 |x(1-x)|$を$C_2$とする．

(1)$C_1$と$C_2$の交点の座標をすべて求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$xy$平面において，曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x} (x>0)$を$C_1$とする．

(1)点$(x,\ y)$が曲線$C_1$上を動くとき，$x^2+2y$の最小値$k$を求めよ．
(2)$(1)$の$k$の値に対して，曲線$x^2+2y=k$を$C_2$とする．曲線$C_2$と$x$軸の正の部分との交点を$(a,\ 0)$とする．このとき，$2$つの曲線$C_1$，$C_2$および直線$x=a$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$xy$平面において，曲線$y=-x^2-2x+6$を$C_1$，曲線$y=3 |x|$を$C_2$とする．

(1)$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．

次の$[　]$にあてはまる答を求めよ．

(1)$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=4$である三角形$\mathrm{ABC}$を考える．$\cos \angle \mathrm{BAC}$の値は$[　]$であり，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[　]$である．また，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[　]$である．さらに，三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の中心を$\mathrm{I}$とし，直線$\mathrm{AI}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，線分$\mathrm{AI}$の長さを線分$\mathrm{ID}$の長さで割った$\displaystyle \frac{\mathrm{AI}}{\mathrm{ID}}$の値は$[　]$である．
(2)放物線$y=x^2-4x+3$を$C$とおく．点$(2,\ -5)$から$C$に引いた$2$本の接線の方程式は$y=[　]$と$y=[　]$である．これら$2$本の接線と$C$で囲まれた図形の面積は$[　]$である．

次の問に答えよ．

(1)$\left( \begin{array}{cc}
1+a & 1 \\
4 & 3+3a
\end{array} \right)$が逆行列をもたないような$a$の値をすべて求めよ．
(2)$xy$平面上の曲線$y=\sqrt{x-1}+1$と直線$y=x-6$の交点の座標を求めよ．
(3)媒介変数表示
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=4 \cos^2 \theta \\
y=4 \cos \theta \sin \theta
\end{array} \right. \]
の表す円の方程式，および中心の座標と半径を求めよ．