$2$つの$2$次曲線$C_1:y=x^2$，$C_2:y^2=x$がある．次の各問に答えよ．

(1)$C_1$，$C_2$のいずれにも接する直線の方程式を求めよ．
(2)$C_1$上の点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$を通る直線で$C_2$と接するものがちょうど$2$本引けるような$p$のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)$C_1$上の点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$を通る直線で$C_2$と接するものがちょうど$2$本引け，さらにその$2$本の接線がいずれも$C_1$と$\mathrm{P}$以外の点でも交わるとする．このような$p$のとり得る値の範囲を求めよ．
(4)$C_1$上の相異なる$2$点$\mathrm{Q}_1(q_1,\ {q_1}^2)$，$\mathrm{Q}_2(q_2,\ {q_2}^2)$について，直線$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2$が$C_2$と接するための条件を求めよ．
(5)$C_1$上の点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$を通る直線で$C_2$と接するものがちょうど$2$本引け，さらにその$2$本の接線がいずれも$C_1$と$\mathrm{P}$以外の点でも交わるとする．いま，その$2$本の接線と$C_1$との交点のうち，$\mathrm{P}$以外の交点をそれぞれ$\mathrm{Q}_1$および$\mathrm{Q}_2$とする．このとき，直線$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2$は再び$C_2$と接することを示せ．

$xy$平面上に，円
\[ \begin{array}{l}
C_1:x^2-12x+y^2-4y+15=0 \\
C_2:x^2-4x+y^2-2y-15=0
\end{array} \]
があり，$C_1$と$C_2$との$2$つの交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．次の問に答えよ．

(1)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$および原点を通る円の方程式を求めよ．
(3)原点を中心とし，$C_1$に外接する円の半径を求めよ．

$0 \leqq k \leqq 1$のとき，直線$x-2+ky=0$と直線$-k(x+2)+y=0$について，次の各問に答えよ．

(1)$2$つの直線の交点$\mathrm{P}(x,\ y)$の座標を$k$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$の$x$座標の動く範囲を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$の軌跡を求め，図示せよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AC}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，線分$\mathrm{BD}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=[　]$である．また，直線$\mathrm{AE}$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{F}$とするとき，比$\mathrm{BF}:\mathrm{FC}$を求めると$[　]$である．

次の$[　]$に適切な答えを入れよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1},\ y=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$のとき，$x^2+y^2=[ア]$，$x^3+y^3=[イ]$である．
(2)放物線$y=x^2-2x+3$を$x$軸方向に$[ウ]$，$y$軸方向に$[エ]$だけ平行移動すると，放物線$y=x^2+4x+3$が得られる．
(3)$xy$平面上に，$2$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 0)$を端点とする線分$\mathrm{OA}$と点$\mathrm{P}$がある．$\mathrm{P}$が$\mathrm{OP}:\mathrm{AP}=1:1$を満たしながら動くとき，$\mathrm{P}$の描く軌跡は直線であり，その方程式は$[オ]$である．また，$\mathrm{P}$が$\mathrm{OP}:\mathrm{AP}=1:2$を満たしながら動くとき，$\mathrm{P}$の描く軌跡は円であり，その方程式は$[カ]$である．
(4)放物線$C_1:y=x^2+2x$と放物線$C_2:y=-2x^2-10x$との$2$つの交点のうち，原点ではない交点の$x$座標を$x_0$とすると，$x_0=[キ]$である．$C_1$と$C_2$によって囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$C_1$，$C_2$および直線$\ell:x=-5$によって囲まれた部分の面積を$S_2$とするとき，$S_1+S_2=[ク]$である．

$\angle \mathrm{B}=90^\circ$の直角三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AC}=1$，$\angle \mathrm{A}=\theta$とする．点$\mathrm{B}$から辺$\mathrm{AC}$に下ろした垂線と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{H}$とする．さらに，点$\mathrm{H}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{K}$とする．

(1)$\mathrm{HK}$を$\theta$をもちいて表しなさい．
(2)$\theta$が変化するとき，$\mathrm{HK}$の最大値を求めなさい．

平面上で点$\mathrm{P}$から直線$\ell$に引いた垂線と$\ell$との交点を，点$\mathrm{P}$から直線$\ell$に下ろした垂線の足という．

(1)点$\mathrm{P}(p,\ q)$から直線$ax+by+c=0$に下ろした垂線の足の座標を求めよ．
(2)$3$点$\mathrm{A}(5,\ 0)$，$\mathrm{B}(4,\ 3)$，$\mathrm{C}(3,\ 4)$を考える．$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell_1$，$2$点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る直線を$\ell_2$，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{C}$を通る直線を$\ell_3$とする．点$\mathrm{P}(p,\ q)$から$\ell_1$，$\ell_2$，$\ell_3$へ下ろした垂線の足をそれぞれ$\mathrm{H}_1$，$\mathrm{H}_2$，$\mathrm{H}_3$とする．$3$点$\mathrm{H}_1$，$\mathrm{H}_2$，$\mathrm{H}_3$が一直線上にあるような点$\mathrm{P}(p,\ q)$の軌跡を求めよ．

以下の$[　]$にあてはまる式または数値を入れよ．

$a$を正の実数とし，$xy$平面上に放物線$C:y=ax^2$とその上の点$\mathrm{P}(p,\ ap^2)$とが与えられている．ただし，$p>0$とする．原点を$\mathrm{O}$とする．
(1)放物線$C$と$x$軸および直線$x=p$で囲まれた部分の面積を$S_1(p)$とすると，$S_1(p)=[ア]$である．
(2)放物線$C$の$\mathrm{P}$における接線$\ell_1$の方程式は$y=[イ]$である．
(3)$\mathrm{P}$を通り$\ell_1$に垂直な直線$\ell_2$の方程式は$y=[ウ]$であり，$\ell_2$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とすると，$\mathrm{Q}$の$x$座標は$[エ]$である．
(4)点$\mathrm{R}(0,\ 1)$とする．$\mathrm{OQ}$，$\mathrm{OR}$を$2$辺とする長方形の面積を$S_2(p)$とし，$f(p)=S_1(p)-S_2(p) (p>0)$とおく．関数$f(p)$が極値をもつような$a$の値の範囲は$[オ]$である．
(5)$\displaystyle a=\frac{1}{10}$のとき，$f(p)$の極値を求めて，さらに$f(p)$のグラフを描け．

$t$は正の実数とする．放物線$C:y=-x^2$上の点$\mathrm{P}(t,\ -t^2)$を頂点とする放物線$y=3x^2+bx+c$を$D$とする．また，点$\mathrm{P}(t,\ -t^2)$における$C$の接線を$L$とする．

(1)$b,\ c$を$t$で表せ．
(2)$L$と$D$の交点を求めよ．
(3)$C$と$D$の上側にあって$L$の下側にある部分の面積を求めよ．

$xy$平面上に$2$曲線
\[ C_1:y=2x \sqrt{1-x^2},\quad C_2:y=\sqrt{1-x^2} \]
がある．$C_1$，$C_2$上に$2$点$\mathrm{P}_1(t,\ 2t \sqrt{1-t^2})$，$\mathrm{P}_2 (t,\ \sqrt{1-t^2}) (-1<t<1)$をとり，$\mathrm{P}_1$における$C_1$の接線$\ell_t$と，$\mathrm{P}_2$における$C_2$の接線$m_t$について考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$C_1$および$C_2$の概形を同じ$xy$平面上に描け．ただし，曲線の凹凸と変曲点は調べなくてよい．また，$\mathrm{P}_1$と$\mathrm{P}_2$が一致するときの$t$の値を求めよ．
(2)$2$直線$\ell_t$と$m_t$が平行になるときの$t$がみたすべき条件を，$t$についての$2$次方程式で表し，その解$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$を求めよ．
(3)$\ell_t$と$m_t$が交点をもつとき，その交点の$y$座標を$y_t$とする．

(i) $y_t$を$t$を用いて表せ．
(ii) $y_t>0$となる$t$の値の範囲を$(2)$で求めた$\alpha,\ \beta$を用いて表し，この範囲における$y_t$の最小値を求めよ．