「交点」について
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国立 香川大学 2013年 第4問$a>0$のとき，$2$つの放物線$y=x^2-2,\ y=-ax^2+ax-1$について，次の問に答えよ．
(1)$2$つの放物線の交点の座標を求めよ．
(2)$2$つの放物線で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)$2$つの放物線の交点の座標を求めよ．
(2)$2$つの放物線で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 三重大学 2013年 第2問$\theta$を$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{6}$となる実数とし，平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$，$\mathrm{Q}(\cos 3\theta,\ -\sin 3\theta)$をとる．さらに線分$\mathrm{PQ}$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．以下の問いに答えよ．
(1)加法定理を用いて$\cos 3\theta$を$\cos \theta$だけで表す式を導け．同様に$\sin 3\theta$を$\sin \theta$だけで表す式を導け．
(2)$\mathrm{PR}:\mathrm{RQ}=5:11$のとき，$\sin \theta,\ \cos \theta$の値を求めよ．
(3)$(2)$の条件下で$\triangle \mathrm{POR}$の面積を求めよ．
(1)加法定理を用いて$\cos 3\theta$を$\cos \theta$だけで表す式を導け．同様に$\sin 3\theta$を$\sin \theta$だけで表す式を導け．
(2)$\mathrm{PR}:\mathrm{RQ}=5:11$のとき，$\sin \theta,\ \cos \theta$の値を求めよ．
(3)$(2)$の条件下で$\triangle \mathrm{POR}$の面積を求めよ．
国立 鹿児島大学 2013年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)四角形$\mathrm{ABCD}$において，線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{P}$とし，$\angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{CBD}$，$\mathrm{AC}=8$，$\mathrm{AP}=2$，$\mathrm{PD}=4$とする．このとき$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．
(2)平面上で$2$つの円を考える．共通接線がちょうど$3$本引けるような$2$つの円の位置関係の例を図示せよ．また，$3$本の共通接線も描け．
(3)$3$個のさいころを同時に投げるとき，$3$個の目の積が$3$の倍数である確率を求めよ．
(4)$a,\ b$を実数とする．命題「$ab=0$ならば，$a=0$かつ$b=0$」の逆と対偶を書き，それぞれの真偽を答えよ．
(1)四角形$\mathrm{ABCD}$において，線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{P}$とし，$\angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{CBD}$，$\mathrm{AC}=8$，$\mathrm{AP}=2$，$\mathrm{PD}=4$とする．このとき$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．
(2)平面上で$2$つの円を考える．共通接線がちょうど$3$本引けるような$2$つの円の位置関係の例を図示せよ．また，$3$本の共通接線も描け．
(3)$3$個のさいころを同時に投げるとき，$3$個の目の積が$3$の倍数である確率を求めよ．
(4)$a,\ b$を実数とする．命題「$ab=0$ならば，$a=0$かつ$b=0$」の逆と対偶を書き，それぞれの真偽を答えよ．
国立 鹿児島大学 2013年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)四角形$\mathrm{ABCD}$において，線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{P}$とし，$\angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{CBD}$，$\mathrm{AC}=8$，$\mathrm{AP}=2$，$\mathrm{PD}=4$とする．このとき$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．
(2)平面上で$2$つの円を考える．共通接線がちょうど$3$本引けるような$2$つの円の位置関係の例を図示せよ．また，$3$本の共通接線も描け．
(3)$3$個のさいころを同時に投げるとき，$3$個の目の積が$3$の倍数である確率を求めよ．
(4)$a,\ b$を実数とする．命題「$ab=0$ならば，$a=0$かつ$b=0$」の逆と対偶を書き，それぞれの真偽を答えよ．
(1)四角形$\mathrm{ABCD}$において，線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{P}$とし，$\angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{CBD}$，$\mathrm{AC}=8$，$\mathrm{AP}=2$，$\mathrm{PD}=4$とする．このとき$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．
(2)平面上で$2$つの円を考える．共通接線がちょうど$3$本引けるような$2$つの円の位置関係の例を図示せよ．また，$3$本の共通接線も描け．
(3)$3$個のさいころを同時に投げるとき，$3$個の目の積が$3$の倍数である確率を求めよ．
(4)$a,\ b$を実数とする．命題「$ab=0$ならば，$a=0$かつ$b=0$」の逆と対偶を書き，それぞれの真偽を答えよ．
私立 東北学院大学 2013年 第3問関数$y=-x^3+x$について以下の問いに答えよ．
(1)極値を求めグラフの概形を描け．
(2)グラフ上の点$\mathrm{P}(t,\ -t^3+t) (t>0)$における接線とグラフとの交点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)$(2)$の接線が点$(0,\ 2)$を通るとき線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．
(1)極値を求めグラフの概形を描け．
(2)グラフ上の点$\mathrm{P}(t,\ -t^3+t) (t>0)$における接線とグラフとの交点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)$(2)$の接線が点$(0,\ 2)$を通るとき線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．
私立 自治医科大学 2013年 第8問曲線$C:y=|x^2-9|-4x$と直線$L:y=k$（$k$は実数）が，すべて異なる$4$つの交点をもつとき，$k$のとりうる範囲は，$m<k<M$となる．$M-m$の値を求めよ．
私立 自治医科大学 2013年 第12問円$C_1:x^2+y^2+2x-4y-3=0$，円$C_2:x^2+y^2-4x-2y-1=0$について考える．円$C_1$と円$C_2$の$2$つの異なる交点と原点を通る円の方程式を$x^2+y^2+ax+by+c=0$とするとき，$b-c-a$の値を求めよ．
私立 自治医科大学 2013年 第20問放物線$y=x^2-6x+5$と直線$y=k (-4<k<0)$（$k$は実数）との$2$つの異なる交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$と点$\mathrm{C}(3,\ 0)$で作られる三角形$\mathrm{ABC}$の面積の最大値を$M$とするとき，$\displaystyle \frac{3 \sqrt{3}}{4}M$の値を求めよ．
私立 倉敷芸術科学大学 2013年 第5問$2$次関数$y=ax^2+bx+c$について次の問いに答えよ．
(1)この関数のグラフが$3$点$(2,\ 6)$，$\displaystyle \left( -1,\ -\frac{3}{2} \right)$，$\displaystyle \left( -5,\ \frac{5}{2} \right)$を通るとき，$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(2)この関数のグラフと直線$y=6$との交点の座標を求めよ．
(1)この関数のグラフが$3$点$(2,\ 6)$，$\displaystyle \left( -1,\ -\frac{3}{2} \right)$，$\displaystyle \left( -5,\ \frac{5}{2} \right)$を通るとき，$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(2)この関数のグラフと直線$y=6$との交点の座標を求めよ．
私立 倉敷芸術科学大学 2013年 第6問$\triangle \mathrm{ABC}$の$\angle \mathrm{A}$の二等分線と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円との交点を$\mathrm{D}$とし，辺$\mathrm{BC}$と辺$\mathrm{AD}$の交点を$\mathrm{E}$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{AC}=4$，$\angle \mathrm{BDC}=120^\circ$とする．
(1)辺$\mathrm{BD}$，$\mathrm{BC}$のそれぞれの長さを求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．
(1)辺$\mathrm{BD}$，$\mathrm{BC}$のそれぞれの長さを求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．