$a$は$a>1$を満たす定数とし，$2$つの関数$f(x)$と$g(x)$を$f(x)=|x^2-a|$，$g(x)=-|x+1|+a$とする．

(1)$y=f(x)$のグラフの概形を書け．
(2)$y=g(x)$のグラフの概形を書け．
(3)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフの交点が$2$個，$3$個，$4$個になるときの$a$の範囲または値をそれぞれ求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)四角形$\mathrm{ABCD}$において，線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{P}$とし，$\angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{CBD}$，$\mathrm{AC}=8$，$\mathrm{AP}=2$，$\mathrm{PD}=4$とする．このとき$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．
(2)平面上で$2$つの円を考える．共通接線がちょうど$3$本引けるような$2$つの円の位置関係の例を図示せよ．また，$3$本の共通接線も描け．
(3)$3$個のさいころを同時に投げるとき，$3$個の目の積が$3$の倍数である確率を求めよ．
(4)$a,\ b$を実数とする．命題「$ab=0$ならば，$a=0$かつ$b=0$」の逆と対偶を書き，それぞれの真偽を答えよ．

$xy$平面において，点$\mathrm{F}(p,\ 0)$と$y$軸から等距離にある点の軌跡を$C$とする．ただし$p>0$とする．次の各問いに答えよ．

(1)$C$を表す方程式を求めよ．
(2)$C$上の点$\mathrm{P}(x_0,\ y_0)$における$C$の接線$\ell$の方程式を求めよ．ただし$y_0 \neq 0$とする．
(3)(2)の$\ell$と$x$軸の交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\mathrm{FP}=\mathrm{FQ}$であることを証明せよ．

座標平面において，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周$C$上に定点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 0)$をとる．$C$の上半円周（$y$座標が正の部分）上を動く点を$\mathrm{P}$，下半円周（$y$座標が負の部分）上を動く点を$\mathrm{Q}$とする．$\displaystyle \angle \mathrm{PAB}=\alpha \ \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2} \right)$，$\displaystyle \angle \mathrm{QAB}=\beta \ \left( 0<\beta<\frac{\pi}{2} \right)$とし，直線$\mathrm{PQ}$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}(t,\ 0)$とする．

(1)$t$を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \alpha+\beta=\frac{\pi}{4}$のとき，$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)線分$\mathrm{PR}$の長さと線分$\mathrm{RQ}$の長さの比が$2:1$のとき，$t$を$\alpha$を用いて表せ．

空間内に$4$点$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 2)$，$\mathrm{B}(6,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{C}(4,\ 2,\ 2)$，$\mathrm{D}(5,\ 1,\ 7)$がある．

(1)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を含む平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{D}$から$\alpha$に下ろした垂線と$\alpha$の交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{E}$を，$\mathrm{H}$が線分$\mathrm{DE}$の中点となるようにとるとき，$\mathrm{E}$の座標を求めよ．
(2)$0<t<1$とする．線分$\mathrm{AB}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{BC}$を$t^2:1-t^2$に内分する点を$\mathrm{Q}$，線分$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{R}$とするとき，四面体$\mathrm{BPQR}$の体積の最大値を求めよ．

$\triangle \mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$3:4$に内分する点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．また，$t$を$0<t<1$を満たす実数とするとき，辺$\mathrm{AB}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{BD}$と線分$\mathrm{OP}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$として，次の問いに答えなさい．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$および$t$を用いて表しなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$および$t$を用いて表しなさい．
(3)点$\mathrm{Q}$が直線$\mathrm{AE}$上にあるとき，$t$の値を求めなさい．

四面体$\mathrm{OABC}$の各辺の長さをそれぞれ$\mathrm{AB}=\sqrt{7}$，$\mathrm{BC}=3$，$\mathrm{CA}=\sqrt{5}$，$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=\sqrt{3}$，$\mathrm{OC}=\sqrt{7}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{OAB}$を含む平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{C}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．

四面体$\mathrm{OABC}$の各辺の長さを$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=\sqrt{5}$，$\mathrm{OC}=\sqrt{7}$，$\mathrm{AB}=\sqrt{3}$，$\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{CA}=\sqrt{5}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{OAB}$を含む平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{C}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とする．このとき$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表し，さらにその大きさを求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．

双曲線$\displaystyle C:\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$上に点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{4}{\cos \theta},\ 3 \tan \theta \right)$，$\mathrm{B}(4,\ 0)$をとる．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．$\mathrm{A}$における$C$の接線と$\mathrm{B}$における$C$の接線との交点を$\mathrm{D}$とし，$C$の焦点のうち$x$座標が正であるものを$\mathrm{F}$とおく．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{D}$の座標を求めよ．
(2)$\displaystyle \tan \frac{\theta}{2}=m$とおく．$\tan \angle \mathrm{DFB}$を$m$を用いて表せ．
(3)直線$\mathrm{DF}$は$\angle \mathrm{AFB}$を$2$等分することを証明せよ．

$xy$平面において，曲線$\displaystyle y=\frac{x}{x^2+1}$と$\displaystyle y=\frac{x^2}{2}$の原点以外の交点を$\mathrm{P}$とする．また，この$2$つの曲線で囲まれた図形を$D$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)点$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．
(2)$D$の面積を求めなさい．
(3)$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めなさい．