$\triangle \mathrm{ABC}$において，内部の点を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{AP}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PB}}+2 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{AP}}$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(2)比$\mathrm{AP}:\mathrm{PD}$と$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}$を求めよ．
(3)直線$\mathrm{AP}$が$\triangle \mathrm{PBC}$の外接円の中心を通るとする．その外接円の半径を$1$とし，$\angle \mathrm{BPC}=120^\circ$とするとき，辺$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(4)(3)と同じ条件のもとで，$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PC}}$の内積を求めよ．

関数$f(x)$を
\[ f(x)=2 \sin \left( \frac{1}{2} \left( x+\frac{\pi}{3} \right) \right) \quad (0 \leqq x \leqq 2\pi) \]
とする．このとき，次の設問に答えよ．

(1)曲線$y=f(x)$と$y$軸との交点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸との交点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$のグラフを描け．
(4)$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$を結んだ直線を$\ell$とする．曲線$y=f(x)$と直線$\ell$で囲まれた領域の面積を求めよ．

平面上で$2$つの円$S,\ S^\prime$が点$\mathrm{P}$で内接している．ただし$S^\prime$が$S$より小さいとする．円$S,\ S^\prime$の中心をそれぞれ$\mathrm{O}$，$\mathrm{O}^\prime$とおく．円$S^\prime$上にあって直線$\mathrm{PO}^\prime$上にはない点$\mathrm{Q}$をとる．直線$\mathrm{PQ}$と円$S$との$\mathrm{P}$とは異なる交点を$\mathrm{A}$，直線$\mathrm{AO}$と円$S$との$\mathrm{A}$とは異なる交点を$\mathrm{B}$，直線$\mathrm{BO}^\prime$と円$S$との$\mathrm{B}$とは異なる交点を$\mathrm{C}$，直線$\mathrm{CQ}$と円$S$との$\mathrm{C}$とは異なる交点を$\mathrm{D}$とする．

(1)$\mathrm{AO} \para \, \mathrm{QO}^\prime$を示せ．
(2)$\mathrm{DB}=\mathrm{BP}$を示せ．

円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AD}=2 \mathrm{AB}$とする．また，対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点$\mathrm{E}$が$\mathrm{BD}$を$3:2$に内分するとき，次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S_1$，$\triangle \mathrm{ACD}$の面積を$S_2$とするとき，$S_1:S_2$を求めよ．
(2)$\mathrm{BC}:\mathrm{CD}$を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{BAD}={120}^\circ$，$\mathrm{AB}=2$とするとき，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．

平面上の$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が，$\mathrm{OA}=5$，$\mathrm{OB}=3$，$\angle \mathrm{AOB}=75^\circ$，$4 \overrightarrow{\mathrm{OC}}+3 \overrightarrow{\mathrm{CA}}+5 \overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たしている．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$2$直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{OC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}:\mathrm{DB}$および$\mathrm{OD}:\mathrm{DC}$を求めよ．
(3)四角形$\mathrm{OACB}$および三角形$\mathrm{OAC}$の面積を求めよ．

平面上の$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が，$\mathrm{OA}=5$，$\mathrm{OB}=3$，$\angle \mathrm{AOB}=75^\circ$，$4 \overrightarrow{\mathrm{OC}}+3 \overrightarrow{\mathrm{CA}}+5 \overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たしている．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$2$直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{OC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}:\mathrm{DB}$および$\mathrm{OD}:\mathrm{DC}$を求めよ．
(3)四角形$\mathrm{OACB}$および三角形$\mathrm{OAC}$の面積を求めよ．

座標平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の半円$C:x^2+y^2=1 \ (y>0)$上の点を$\mathrm{P}$とする．$a>1$に対して$x$軸上の定点を$\mathrm{A}(a,\ 0)$とし，直線$\mathrm{AP}$と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{Q}$を通り$x$軸に平行な直線と直線$\mathrm{OP}$との交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$\mathrm{OP}$が$x$軸の正の方向となす角を$\theta$，$\mathrm{OR}=r$とするとき，直線$\mathrm{AQ}$の方程式を$a,\ \theta,\ r$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，点$\mathrm{R}$のえがく曲線の方程式を求めよ．
(3)(2)で得られた曲線の$a=\sqrt{2}$であるときの概形をかけ．

座標平面上で原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円の第$1$象限の部分を$C$とする．曲線$y=f(x) \ (0<x<1)$は第$4$象限にあり，かつすべての$x_1 \ (0<x_1<1)$について，点$(x_1,\ f(x_1))$における接線が$C$上の点$(x_1,\ y_1)$における$C$の接線と直交しているとする．曲線$y=f(x)$上の動点を$\mathrm{P}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$における$y=f(x)$の接線と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さは常に$1$であることを示せ．
(3)$x$軸上と$y$軸上に$2$辺をもち，線分$\mathrm{OP}$を対角線とする長方形の面積を$S$とする．点$\mathrm{P}$が$S$を最大にする位置にあるとき，$\mathrm{P}$は$\mathrm{P}$における曲線の接線と座標軸が交わってできる$2$点の中点であることを示せ．
(4)$f(x)$を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to 1-0}f(x)=0$であるとする．

座標平面上に，直線$\displaystyle y=\frac{4}{3}x$と$y$軸の両方に接する円$C$がある．その円$C$の中心の座標を$(a,\ b)$とする．ただし，$a>0$かつ$b<0$とする．次の問いに答えよ．

(1)$b$を$a$を用いて表せ．
(2)点$(0,\ 3)$と点$(a,\ b)$を通る直線を$\ell$とし，$\ell$と$x$軸との交点の座標を$(t,\ 0)$とおく．このとき，$t$を$a$を用いて表せ．また，$a \to \infty$のときの$t$の極限値を求めよ．

$t$を$0 \leqq t \leqq \sqrt{3}-1$をみたす実数とする．座標平面上に$6$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(\sqrt{3},\ 0)$，$\mathrm{P}(t-1,\ 0)$，$\mathrm{Q}(t,\ 1)$，$\mathrm{R}(t+1,\ 0)$がある．$2$直線$\mathrm{PQ}$と$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{M}$，$2$直線$\mathrm{QR}$と$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{N}$とする．次の問いに答えよ．

(1)$2$点$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$の$x$座標をそれぞれ求めよ．
(2)三角形$\mathrm{OAB}$と三角形$\mathrm{PQR}$の共通部分の面積を$S$とおく．$S$を$t$を用いて表せ．
(3)(2)で求めた$S$が最大となるような$t$の値を求めよ．