$k$を正の定数とする．$2$つの曲線
\[ C_1:y=\cos x \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right),\quad C_2:y=k \tan x \ \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right) \]
について，次の問いに答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$の交点におけるそれぞれの曲線の接線を$\ell_1,\ \ell_2$とする．直線$\ell_1,\ \ell_2$がなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$とするとき，$\theta$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle k=\frac{3}{2}$のとき，曲線$C_1,\ C_2$と$y$軸で囲まれる図形を$x$軸のまわりに回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

三角形$\mathrm{OAB}$がある．点$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{M}$を通り辺$\mathrm{AB}$に垂直な直線と直線$\mathrm{OA}$との交点を$\mathrm{N}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とし，$|\overrightarrow{a}|=3$，$|\overrightarrow{b}|=2$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=p$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$p$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$p$を用いて表せ．
(3)$p \geqq 0$であるとき$\displaystyle \frac{\mathrm{ON}}{\mathrm{OA}}$の値の範囲を求めよ．
(4)点$\mathrm{N}$が線分$\mathrm{OA}$を$1:3$に内分するとき，三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S$を求めよ．

曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x} \ (x>0)$を曲線$C$とする．曲線$C$と直線$y=mx$の交点を点$\mathrm{P}$，曲線$C$と直線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x$との交点を点$\mathrm{Q}$とする．ここで傾き$m$を$\displaystyle m>\frac{1}{2}$の実数とする．以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$における曲線$C$の接線$L$の方程式を求めよ．
(3)接線$L$と直線$y=mx$の交点の座標を，$m$を用いて表せ．
(4)原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{Q}$を結ぶ線分をそれぞれ$\mathrm{OP}$，$\mathrm{OQ}$とする．曲線$C$と$\mathrm{OP}$，$\mathrm{OQ}$で囲まれた部分の面積$A$を，$m$を用いて表せ．
(5)点$\mathrm{P}$および点$\mathrm{Q}$から$y$軸に垂直に引いたそれぞれの線分と，$y$軸および曲線$C$で囲まれた領域を$y$軸のまわりに$1$回転してできる体積を，$m$を用いて表せ．

$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$を満たす実数$t$に対して，$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(1+2t,\ (1+t)\cos t+\sin t)$，$\mathrm{B}(-1,\ -(1+t)\cos t+\sin t)$を考える．$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell_t$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$\ell_t$の方程式を求めよ．
(2)$k$を定数とし，直線$\ell_t$と直線$x=k$との交点を$\mathrm{P}$とする．$t$が$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，点$\mathrm{P}$の$y$座標のとりうる値の範囲を$k$を用いて表せ．
(3)$t$が$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，直線$\ell_t$の通りうる領域を図示せよ．

$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$を満たす実数$t$に対して，$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(1+2t,\ (1+t)\cos t+\sin t)$，$\mathrm{B}(-1,\ -(1+t)\cos t+\sin t)$を考える．$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell_t$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$\ell_t$の方程式を求めよ．
(2)$k$を定数とし，直線$\ell_t$と直線$x=k$との交点を$\mathrm{P}$とする．$t$が$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，点$\mathrm{P}$の$y$座標のとりうる値の範囲を$k$を用いて表せ．
(3)$t$が$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，直線$\ell_t$の通りうる領域を図示せよ．

$2$つの曲線$C_1:y=|x^2-1|$，$C_2:y=m(x+1)^2 \ (0<m<1)$を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$x>0$の範囲における$C_1$と$C_2$の$2$つの交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta \ (\alpha<\beta)$とする．$\alpha,\ \beta$を$m$を用いて表せ．
(2)$C_1$と$C_2$で囲まれた図形のうち，$x \leqq \alpha$を満たす部分の面積を$S_1$，$x \geqq \alpha$を満たす部分の面積を$S_2$とおく．$S_1,\ S_2$を，$m$を用いて表せ．
(3)$S_1=S_2$のとき$m$の値を求めよ．

同一直線上にない$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$がある．線分$\mathrm{OB}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{C}$，線分$\mathrm{AB}$を$s:(1-s) \ (0<s<1)$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，線分$\mathrm{OD}$と線分$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{E}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$と$s$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{OAE}$と$\triangle \mathrm{OCE}$の面積が等しくなるような$s$の値を求めよ．

座標平面上の円$C:x^2+y^2=1$と点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$に対し，点$\mathrm{A}$を通る傾き$m \ (m>0)$の直線と円$C$との交点で，点$\mathrm{A}$とは異なる点を$\mathrm{P}$とする．また，点$\mathrm{P}$から$x$軸に下した垂線を$\mathrm{PQ}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の座標を$m$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{APQ}$の面積を最大とする$m$の値を求めよ．

$s,\ t,\ u$を正の実数とする．点$\mathrm{O}$を内部に含む$\triangle \mathrm{ABC}$について，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とすると，$s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}+u \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$が成り立っている．直線$\mathrm{CO}$と線分$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{D}$とし，$\triangle \mathrm{BCO}$の面積を$S_A$，$\triangle \mathrm{CAO}$の面積を$S_B$，$\triangle \mathrm{ABO}$の面積を$S_C$とする．

(1)面積の比$S_A:S_B$は，線分の長さの比$\mathrm{BD}:\mathrm{AD}$に等しいことを示せ．
(2)比$\mathrm{BD}:\mathrm{AD}$を$s,\ t,\ u$を用いて表せ．
(3)比$S_A:S_B:S_C$を$s,\ t,\ u$を用いて表せ．

$2$つの円$x^2+y^2=1$と$\displaystyle (x-a)^2+y^2=\frac{a^2}{4} \ (a>0)$が相異なる$2$点で交わるとき，次の問いに答えよ．

(1)$a$の値の範囲を求めよ．
(2)第$1$象限の交点における$2$つの円の接線が直交するとき，$a$の値を求めよ．