次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{\sin {2014}^\circ}{\log_{10}25}$の値を求めよ．ただし，$\sin {34}^\circ=0.56$，$\log_{10}2=0.30$とする．

(2)$1$から$6$までの整数が$1$つずつ書かれた$6$枚のカードから$3$枚のカードを無作為に取り出す．$1$枚目に取り出したカードに書かれた数字を$a$，$2$枚目を$b$，$3$枚目を$c$とする．このとき，$a,\ b,\ c$を係数に含む$x$に関する$2$次方程式$ax^2+2bx+c=0$が重解を持つ確率を求めよ．

(3)$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{5y}=\frac{1}{5}$を満たす自然数の組$(x,\ y)$をすべて求めよ．

(4)下の図において，$\mathrm{AB}=a$，$\mathrm{AC}=b$，$\mathrm{AD}=c$のとき，$\cos \angle \mathrm{ABD}$を$a,\ b,\ c$を用いて表しなさい．ただし，$\mathrm{BC}$は円$\mathrm{O}$の直径とし，点$\mathrm{A}$における円の接線と直線$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．
（図は省略）

辺の長さが$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{BC}=k \ (0<k<1)$の長方形$\mathrm{ABCD}$を考える．辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{AM}$で三角形$\mathrm{ADM}$を折り返したとき頂点$\mathrm{D}$が重なる点を$\mathrm{E}$とする．ただし，点$\mathrm{E}$は長方形の外にはみ出る場合もある．このとき下記の設問に答えよ．

(1)$\angle \mathrm{AMD}=\alpha$とするとき，$\sin \alpha$および$\cos \alpha$をそれぞれ$k$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{E}$を通り，辺$\mathrm{CD}$に垂直な直線と辺$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき辺$\mathrm{CF}$の長さを$k$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{E}$を通り，辺$\mathrm{AM}$に垂直な直線と辺$\mathrm{AM}$の交点を$\mathrm{G}$とする．三角形$\mathrm{BCE}$の面積が三角形$\mathrm{AEG}$の面積のちょうど2倍になるときの$k$の値を求めよ．

平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{AB}$を$1:1$に内分する点を$\mathrm{E}$，辺$\mathrm{BC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{F}$，辺$\mathrm{CD}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{G}$とする．線分$\mathrm{CE}$と線分$\mathrm{FG}$の交点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{AP}$を延長した直線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{Q}$とするとき，比$\mathrm{AP}:\mathrm{PQ}$を求めよ．

平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{AB}$を$1:1$に内分する点を$\mathrm{E}$，辺$\mathrm{BC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{F}$，辺$\mathrm{CD}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{G}$とする．線分$\mathrm{CE}$と線分$\mathrm{FG}$の交点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{AP}$を延長した直線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{Q}$とするとき，比$\mathrm{AP}:\mathrm{PQ}$を求めよ．

四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1$とする．$\angle \mathrm{AOB}=60^\circ$，$\angle \mathrm{BOC}=45^\circ$，$\angle \mathrm{COA}=45^\circ$とし，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく．点$\mathrm{C}$から面$\mathrm{OAB}$に垂線を引き，その交点を$\mathrm{H}$とする．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{CH}$の長さを求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．

四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1$とする．$\angle \mathrm{AOB}=60^\circ$，$\angle \mathrm{BOC}=45^\circ$，$\angle \mathrm{COA}=45^\circ$とし，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく．点$\mathrm{C}$から面$\mathrm{OAB}$に垂線を引き，その交点を$\mathrm{H}$とする．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{CH}$の長さを求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．

関数$f(x)=xe^{-x}$について，実数$a,\ b$は次の条件を満たすものとする．

$(\mathrm{A})$ $\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx=f(a) \quad (0<a<1),$
$(\mathrm{B})$ $f(1)-f(0)=f^\prime(b) \quad (0<b<1)$

また，点$(0,\ 0)$，$(a,\ e^a)$を通る直線を$\ell_1$とし，点$(1,\ 0)$，$(b,\ e^b)$を通る直線を$\ell_2$とする．

(1)$(\mathrm{A})$，$(\mathrm{B})$を利用して，$\ell_1,\ \ell_2$の方程式を$a,\ b$を用いずに表せ．
(2)$\ell_1$と$\ell_2$の交点を求めよ．さらに，曲線$y=e^x$上の点$(1,\ e)$における接線と直線$\ell_2$の交点を求めよ．
(3)次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ a<\frac{e-2}{e-1}<b<\frac{1}{2} \]
ただし，必要ならば$e=2.718 \cdots,\ \log(e-1)=0.541 \cdots$を用いてよい．

$a$と$b$を正の実数とする．$\displaystyle y=a \cos x \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$のグラフを$C_1$，$\displaystyle y=b \sin x \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$のグラフを$C_2$とし，$C_1$と$C_2$の交点を$\mathrm{P}$とする．

(1)$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とする．このとき，$\sin t$および$\cos t$を$a$と$b$で表せ．
(2)$C_1,\ C_2$と$y$軸で囲まれた領域の面積$S$を$a$と$b$で表せ．
(3)$C_1,\ C_2$と直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$で囲まれた領域の面積を$T$とする．このとき，$T=2S$となるための条件を$a$と$b$で表せ．

$xy$平面において，点$(1,\ 2)$を通る傾き$t$の直線を$\ell$とする．また，$\ell$に垂直で原点を通る直線と$\ell$との交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$の軌跡が$2$次曲線$2x^2-ay=0$と$3$点のみを共有するような$a$の値を求めよ．また，そのとき$3$つの共有点の座標を求めよ．ただし$a \neq 0$とする．

座標平面上で，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C$とし，$2$点$\mathrm{P}(0,\ 1)$，$\mathrm{Q}(s,\ 0)$を考える．$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る直線を$\ell$とし，$\ell$と$C$の交点のうち$\mathrm{P}$ではないものを$\mathrm{R}$とする．次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{R}$の座標を$s$を用いて表せ．
(2)$x$座標と$y$座標がともに有理数である点を有理点という．$s$が有理数のとき，$\mathrm{R}$は有理点であることを示せ．