以下の問いに答えなさい．

下図のように，外接円と内接円の中心が同一となる$\triangle \mathrm{ABC}$を考える．この中心を$\mathrm{O}$とし，$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円との交点をそれぞれ$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円は$\triangle \mathrm{DEF}$の外接円にあたる．すなわち，$\triangle \mathrm{ABC}$の内心が$\triangle \mathrm{DEF}$の外心となっている．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$および$\triangle \mathrm{DEF}$がいずれも正三角形であることを示しなさい．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径$\mathrm{OA}$と$\triangle \mathrm{DEF}$の外接円の半径$\mathrm{OD}$との長さの比を求めなさい．
(3)ここで，改めて，$\triangle \mathrm{ABC}$を$(\triangle \mathrm{ABC})_1$，$\triangle \mathrm{DEF}$を$(\triangle \mathrm{ABC})_2$のように表し，一辺の長さが$a$である$(\triangle \mathrm{ABC})_1$の内接円をもとに$(\triangle \mathrm{ABC})_2$を描き，この$(\triangle \mathrm{ABC})_2$の内接円をもとに$(\triangle \mathrm{ABC})_3$を描くということを繰り返していく．このようにして，$(\triangle \mathrm{ABC})_n$を描いたとき，$(\triangle \mathrm{ABC})_n$の一辺の長さを$a$を用いて表しなさい．

$xy$平面上に動点$\mathrm{P}(t,\ 2t)$，$\mathrm{Q}(t-1,\ 1-t)$がある．ただし，$0 \leqq t \leqq 1$とする．次の問いに答えよ．

(1)実数$k$に対して直線$x=k$と直線$\mathrm{PQ}$との交点を求めよ．
(2)閉区間$[-1,\ 1]$内の定数$a$に対し，直線$x=a$と線分$\mathrm{PQ}$との交点の$y$座標のとり得る範囲を$a$で表せ．
(3)$t$が$0$から$1$まで動くとき，線分$\mathrm{PQ}$が動く領域$S$の面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$を$1:1$に内分する点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{BD}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{E}$，線分$\mathrm{CE}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{F}$，直線$\mathrm{OF}$と平面$\mathrm{ABC}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$で表せ．
(2)$\sqrt{x^2+84}$が整数となるような正の整数$x$をすべて求めよ．

$xy$平面上に動点$\mathrm{P}(t,\ 2t)$，$\mathrm{Q}(t-1,\ 1-t)$がある．ただし，$0 \leqq t \leqq 1$とする．次の問いに答えよ．

(1)実数$k$に対して直線$x=k$と直線$\mathrm{PQ}$との交点を求めよ．
(2)閉区間$[-1,\ 1]$内の定数$a$に対し，直線$x=a$と線分$\mathrm{PQ}$との交点の$y$座標のとり得る範囲を$a$で表せ．
(3)$t$が$0$から$1$まで動くとき，線分$\mathrm{PQ}$が動く領域$S$の面積を求めよ．
(4)$S$を$x$軸の周りに$1$回転させた回転体の体積を求めよ．

$1$辺の長さが$10$の正三角形$\mathrm{ABC}$がある．辺$\mathrm{AB}$上に$\mathrm{AD}=5$となるように点$\mathrm{D}$をとり，辺$\mathrm{AC}$上に$\mathrm{AE}=8$となるように点$\mathrm{E}$をとる．また，$\mathrm{BE}$と$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とし，直線$\mathrm{AF}$と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{G}$とする．以下の各問に答えよ．

(1)線分$\mathrm{BG}$の長さを求めよ．
(2)線分$\mathrm{GF}$の長さを求めよ．
(3)$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に垂線$\mathrm{AH}$を下ろす．$\mathrm{AH}$と$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{I}$とするとき，線分$\mathrm{IH}$の長さを求めよ．
(4)三角形$\mathrm{IFH}$の面積を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標空間内に$3$点$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(-2,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(2,\ -2,\ 4)$がある．以下の問いに答えよ．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|$を求めよ．また，$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とするとき$\cos \theta$の値を求めよ．
(2)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の定める平面を$\alpha$とし，$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に引いた垂線と平面$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}+u \overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$s+t+u=1$とする．このときの$\mathrm{H}$の座標を$s,\ t,\ u$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{H}$の座標と線分$\mathrm{OH}$の長さを求めよ．
(4)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする$xyz$空間内に$5$点$\mathrm{A}(10,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(10,\ 5 \sqrt{3},\ 15)$，$\mathrm{C}(8,\ -\sqrt{3},\ -3)$，$\mathrm{D}(8,\ 5 \sqrt{3},\ 15)$，$\mathrm{E}(-4,\ \sqrt{3},\ 3)$をとる．$2$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$を通る直線を$\ell_1$，$2$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell_2$，$2$点$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$を通る直線を$\ell_3$，$2$点$\mathrm{C}$，$\mathrm{E}$を通る直線を$\ell_4$とする．$2$つの直線$\ell_1$，$\ell_3$の交点を$\mathrm{F}$，$2$つの直線$\ell_2$，$\ell_3$の交点を$\mathrm{G}$，$2$つの直線$\ell_2$，$\ell_4$の交点を$\mathrm{H}$，$2$つの直線$\ell_1$，$\ell_4$の交点を$\mathrm{I}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$6$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$は同一平面上にあることを示せ．
(2)$4$点$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$，$\mathrm{I}$の座標を求めよ．
(3)四角形$\mathrm{FGHI}$の面積を求めよ．
(4)四角形$\mathrm{FGHI}$に外接する円の中心座標と半径を求めよ．

$0<t<1$とする．$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とする．$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\frac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{AB}}$となる点を$\mathrm{C}$とし，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=t \overrightarrow{b}$となる点を$\mathrm{D}$，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=(1-t) \overrightarrow{a}$となる点を$\mathrm{E}$，$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=(1-t) \overrightarrow{\mathrm{AB}}$となる点を$\mathrm{F}$とする．線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{OC}$の交点を$\mathrm{G}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$3|\overrightarrow{a}|^2+6|\overrightarrow{b}|^2-9|\overrightarrow{c}|^2=2|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^2$となることを示せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$および$t$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S_1$，$\triangle \mathrm{DEF}$の面積を$S_2$とする．$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を$t$を用いて多項式で表し，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$および辺$\mathrm{AC}$上に，それぞれ点$\mathrm{D}$および点$\mathrm{E}$がある．直線$\mathrm{AD}$と直線$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{P}$，点$\mathrm{C}$から点$\mathrm{P}$を通る直線が辺$\mathrm{AB}$と交わる点を$\mathrm{F}$とする．$\mathrm{AE}:\mathrm{EC}=1:2$，$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=2:3$のとき，次の$(1)$および$(2)$の設問に答えなさい．

(1)$\mathrm{AF}$と$\mathrm{FB}$の長さの比を簡単な整数比で求めなさい．
(2)$\mathrm{AP}$と$\mathrm{PD}$の長さの比を簡単な整数比で求めなさい．

放物線$C:y=x^2$，直線$\ell_1:y=-x+2$とする．このとき，次の$(1)$と$(2)$の設問に答えなさい．$(2)$では図も示しなさい．

(1)放物線$C$と直線$\ell_1$の交点における接線の方程式を求めなさい．
(2)放物線$C$と$(1)$で求めた接線とで囲まれた部分の面積を求めなさい．