「交点」について
タグ「交点」の検索結果
（61ページ目：全1364問中601問～610問を表示）
私立 西南学院大学 2014年 第5問$a>0$とする．関数$f(x)$を
\[ f(x)=(x-1)(x^2-2x-3ax+2a+2a^2) \]
とし，$y=f(x)$で表される曲線を$C$とする．$C$は$x$軸と$3$つの異なる交点を持ち，その中の$1$つを点$\mathrm{P}(1,\ 0)$とし，残り$2$つを$x$座標の小さい方から点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の間にあるとき，以下の問に答えよ．
(1)点$\mathrm{P}$における$C$の接線$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)$a$の範囲を求めよ．また，点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の座標を$a$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{P}$を通る放物線$D$を$y=g(x)$とする．$D$の点$\mathrm{P}$における接線が$(1)$で求めた$\ell$と一致するとき，$g(x)$を$a$を用いて表せ．さらに，定積分
\[ I=\int_0^1 g(x) \, dx \]
の値を$a$を用いて表せ．
\[ f(x)=(x-1)(x^2-2x-3ax+2a+2a^2) \]
とし，$y=f(x)$で表される曲線を$C$とする．$C$は$x$軸と$3$つの異なる交点を持ち，その中の$1$つを点$\mathrm{P}(1,\ 0)$とし，残り$2$つを$x$座標の小さい方から点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の間にあるとき，以下の問に答えよ．
(1)点$\mathrm{P}$における$C$の接線$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)$a$の範囲を求めよ．また，点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の座標を$a$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{P}$を通る放物線$D$を$y=g(x)$とする．$D$の点$\mathrm{P}$における接線が$(1)$で求めた$\ell$と一致するとき，$g(x)$を$a$を用いて表せ．さらに，定積分
\[ I=\int_0^1 g(x) \, dx \]
の値を$a$を用いて表せ．
公立 大阪市立大学 2014年 第2問$a>0$，$b>0$とし，座標平面上の楕円$\displaystyle K:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上の$2$点
\[ \mathrm{A}(a \cos \theta,\ b \sin \theta),\qquad \mathrm{B} \left( a \cos \left( \theta+\frac{\pi}{2} \right),\ b \sin \left( \theta+\frac{\pi}{2} \right) \right) \]
のそれぞれにおける$K$の接線を$\ell$，$m$とする．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$とする．$2$直線$\ell$と$m$の交点を$\mathrm{C}(c,\ d)$とし，さらに$2$点$\displaystyle \mathrm{D} \left( a \cos \left( \theta+\frac{\pi}{2} \right),\ 0 \right)$，$\mathrm{E}(c,\ 0)$をとる．台形$\mathrm{CBDE}$の面積を$S$とする．次の問いに答えよ．
(1)$c$および$d$を$a,\ b,\ \theta$を用いて表せ．
(2)$S$を$a,\ b,\ \theta$を用いて表せ．
(3)$\theta$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$の範囲を動くときの$S$の最大値，および，$S$が最大値をとるときの$m$の傾きを$a,\ b$を用いて表せ．
\[ \mathrm{A}(a \cos \theta,\ b \sin \theta),\qquad \mathrm{B} \left( a \cos \left( \theta+\frac{\pi}{2} \right),\ b \sin \left( \theta+\frac{\pi}{2} \right) \right) \]
のそれぞれにおける$K$の接線を$\ell$，$m$とする．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$とする．$2$直線$\ell$と$m$の交点を$\mathrm{C}(c,\ d)$とし，さらに$2$点$\displaystyle \mathrm{D} \left( a \cos \left( \theta+\frac{\pi}{2} \right),\ 0 \right)$，$\mathrm{E}(c,\ 0)$をとる．台形$\mathrm{CBDE}$の面積を$S$とする．次の問いに答えよ．
(1)$c$および$d$を$a,\ b,\ \theta$を用いて表せ．
(2)$S$を$a,\ b,\ \theta$を用いて表せ．
(3)$\theta$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$の範囲を動くときの$S$の最大値，および，$S$が最大値をとるときの$m$の傾きを$a,\ b$を用いて表せ．
公立 首都大学東京 2014年 第3問$f(x)=xe^{-x}$，$t>1$とするとき，以下の問いに答えなさい．
(1)曲線$y=f(x)$と直線$\displaystyle y=\frac{x}{t}$のすべての交点の座標を求めなさい．
(2)$(1)$のような$y=f(x)$と$\displaystyle y=\frac{x}{t}$で囲まれる部分の面積$S(t)$を求めなさい．
(3)$t$が$1$より大きい実数全体を動くとき，関数$\displaystyle g(t)=\frac{t}{\log t}(1-S(t))$の最小値を求めなさい．
(1)曲線$y=f(x)$と直線$\displaystyle y=\frac{x}{t}$のすべての交点の座標を求めなさい．
(2)$(1)$のような$y=f(x)$と$\displaystyle y=\frac{x}{t}$で囲まれる部分の面積$S(t)$を求めなさい．
(3)$t$が$1$より大きい実数全体を動くとき，関数$\displaystyle g(t)=\frac{t}{\log t}(1-S(t))$の最小値を求めなさい．
公立 岡山県立大学 2014年 第1問$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=\sqrt{5}$，$\mathrm{CA}=1$である三角形$\mathrm{ABC}$において，点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{BC}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$，辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{M}$，直線$\mathrm{AH}$と直線$\mathrm{BM}$の交点を$\mathrm{P}$とする．次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$で表せ．
(3)三角形$\mathrm{ABP}$の面積を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$で表せ．
(3)三角形$\mathrm{ABP}$の面積を求めよ．
公立 大阪府立大学 2014年 第2問$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$をみたす二等辺三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{AB}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{Q}$，直線$\mathrm{OP}$と直線$\mathrm{AQ}$の交点を$\mathrm{R}$，直線$\mathrm{BR}$と辺$\mathrm{OA}$の交点を$\mathrm{S}$とし，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおく．このとき，直線$\mathrm{BS}$は辺$\mathrm{OA}$と直交しているとする．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BS}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(4)三角形$\mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BS}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(4)三角形$\mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
公立 大阪府立大学 2014年 第4問$a$は正の定数とし，曲線$C_1:y=ax^2 (0 \leqq x \leqq 1)$と$\displaystyle C_2:y=\frac{1}{a}(x-1)^2 (0 \leqq x \leqq 1)$および$x$軸で囲まれる部分の面積を$S(a)$とする．
(1)$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を求めよ．
(2)$S(a)$を求めよ．
(3)$a$がすべての正の実数を動くとき，$S(a)$の最大値とそれを与える$a$の値を求めよ．
(1)$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を求めよ．
(2)$S(a)$を求めよ．
(3)$a$がすべての正の実数を動くとき，$S(a)$の最大値とそれを与える$a$の値を求めよ．
公立 岩手県立大学 2014年 第1問以下の問いに答えなさい．
$y=2(x-1)(x^2-2x-2)$で与えられる平面上の曲線$C$を考える．
(1)曲線$C$と$x$軸との交点の座標をすべて答えなさい．
(2)$x=a$で曲線$C$と接する接線の方程式を$a$を用いて答えなさい．
(3)$x=a$で曲線$C$と接する接線と$y$軸との交点の$y$座標を$b$とする．$\displaystyle -\frac{1}{4} \leqq a \leqq 3$における$b$の最小値と最大値を答えなさい．また，$b$の値が最小，最大となるときの$a$の値をそれぞれ答えなさい．
$y=2(x-1)(x^2-2x-2)$で与えられる平面上の曲線$C$を考える．
(1)曲線$C$と$x$軸との交点の座標をすべて答えなさい．
(2)$x=a$で曲線$C$と接する接線の方程式を$a$を用いて答えなさい．
(3)$x=a$で曲線$C$と接する接線と$y$軸との交点の$y$座標を$b$とする．$\displaystyle -\frac{1}{4} \leqq a \leqq 3$における$b$の最小値と最大値を答えなさい．また，$b$の値が最小，最大となるときの$a$の値をそれぞれ答えなさい．
公立 兵庫県立大学 2014年 第3問互いに異なる$2$つの正の実数$a,\ b$をそれぞれ底とする$2$つの対数関数を考え，これらのグラフ$C_a:y=\log_ax$，および，$C_b:y=\log_bx$を図に示した．また，図中の点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{T}$はそれぞれ，直線$x=t (t>0,\ t \neq 1)$と$C_a$，$C_b$，および$x$軸との交点である．$t=a$のとき，$\mathrm{AT}:\mathrm{BT}=3:2$であった．次の問に答えなさい．
（図は省略）
(1)$a,\ b,\ 1$それぞれの間に成り立つ大小関係を調べなさい．
(2)条件$t \neq 1$，$t>0$を満たす任意の実数$t$に対して定まる$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{T}$について，$\mathrm{AT}:\mathrm{BT}$を求めなさい．
(3)図中の点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は各々$C_a$，$C_b$上の点であり，各々の$y$座標は互いに等しく，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$8$である．このとき，点$\mathrm{P}$の$x$座標$u$の値を求めなさい．
（図は省略）
(1)$a,\ b,\ 1$それぞれの間に成り立つ大小関係を調べなさい．
(2)条件$t \neq 1$，$t>0$を満たす任意の実数$t$に対して定まる$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{T}$について，$\mathrm{AT}:\mathrm{BT}$を求めなさい．
(3)図中の点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は各々$C_a$，$C_b$上の点であり，各々の$y$座標は互いに等しく，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$8$である．このとき，点$\mathrm{P}$の$x$座標$u$の値を求めなさい．
公立 岐阜薬科大学 2014年 第4問$xy$平面において，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$4$の円$C$の内側を半径$1$の円$C^\prime$が内接しながら滑ることなく転がるとき，円$C^\prime$上の点$\mathrm{P}$が描く曲線を$X$とする．ただし，点$\mathrm{P}$のはじめの位置は点$\mathrm{P}_0(4,\ 0)$とする．円$C^\prime$の中心$\mathrm{O}^\prime$が原点$\mathrm{O}$の周りを$\theta$だけ回転したときの点$\mathrm{P}$の座標を$(x,\ y)$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OO}^\prime}$の成分を$\theta$を用いて表せ．
(2)$x,\ y$を$\theta$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$における曲線$X$の接線と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とするとき，線分$\mathrm{QR}$の長さは一定であることを示せ．ただし，点$\mathrm{P}$は座標軸上の点ではないものとする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OO}^\prime}$の成分を$\theta$を用いて表せ．
(2)$x,\ y$を$\theta$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$における曲線$X$の接線と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とするとき，線分$\mathrm{QR}$の長さは一定であることを示せ．ただし，点$\mathrm{P}$は座標軸上の点ではないものとする．
公立 釧路公立大学 2014年 第4問以下の各問に答えよ．
(1)年利率$r \, \%$，$1$年ごとの複利で$y$万円を預けると，$x$年後に元利合計は$y(1+0.01r)^x$万円となる．ただし，$r$は整数とする．このとき，以下の各問について別添の常用対数表（省略）を用いて答えよ．
(i) 年利率$2 \, \%$で$10$万円を預けると，元利合計が初めて$15$万円を超えるのは何年後か求めよ．
(ii) 元利合計が$10$年で預けた金額の倍以上になるような最小の$r$を求めよ．
(2)曲線：$y=x^3-5x^2+2x+8$がある．以下の各問に答えよ．
(i) 曲線と$x$軸との交点の座標をすべて求めよ．
(ii) 曲線と$y$軸との交点における曲線の接線の方程式を求めよ．
(iii) 曲線と$(2)$で求めた直線で囲まれる図形の面積を求めよ．
(1)年利率$r \, \%$，$1$年ごとの複利で$y$万円を預けると，$x$年後に元利合計は$y(1+0.01r)^x$万円となる．ただし，$r$は整数とする．このとき，以下の各問について別添の常用対数表（省略）を用いて答えよ．
(i) 年利率$2 \, \%$で$10$万円を預けると，元利合計が初めて$15$万円を超えるのは何年後か求めよ．
(ii) 元利合計が$10$年で預けた金額の倍以上になるような最小の$r$を求めよ．
(2)曲線：$y=x^3-5x^2+2x+8$がある．以下の各問に答えよ．
(i) 曲線と$x$軸との交点の座標をすべて求めよ．
(ii) 曲線と$y$軸との交点における曲線の接線の方程式を求めよ．
(iii) 曲線と$(2)$で求めた直線で囲まれる図形の面積を求めよ．