$p$を正の実数として，放物線$C:y^2=4px$を定める．$C$の頂点を$\mathrm{O}$，焦点を$\mathrm{F}$，準線を$\ell:x=-p$とする．$C$上の$2$点$\mathrm{A}(a,\ 2 \sqrt{pa}) (a>0)$と$\mathrm{B}(b,\ -2 \sqrt{pb}) (b>0)$を考えるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{A}$における$C$の接線を$\ell (\mathrm{A})$とし，$\ell(\mathrm{A})$と準線$\ell$との交点を$\mathrm{P}$とする．$\ell(\mathrm{A})$の方程式をかいて，$\mathrm{P}$の座標を求めよ．また，線分$\mathrm{AP}$の長さは線分$\mathrm{AF}$の長さより大きいことを示せ．
(2)接線$\ell(\mathrm{A})$が直線$\mathrm{AB}$と$\mathrm{A}$において直交するとき，$b$を$a,\ p$を用いて表せ．また$a$が$0<a<\infty$の範囲内を動くとき，$b$の最小値を求めよ．

以下$(2)$の最小値を実現する$C$上の$2$点を$\mathrm{A}_0$，$\mathrm{B}_0$とし，接線$\ell(\mathrm{A}_0)$と準線$\ell$の交点を$\mathrm{P}_0$とする．

(3)直線$\mathrm{OA}_0$と直線$\mathrm{P}_0 \mathrm{B}_0$は$\mathrm{O}$において直交することを示せ．
(4)$\triangle \mathrm{A}_0 \mathrm{OB}_0$の面積を$S$，線分$\mathrm{A}_0 \mathrm{B}_0$と$C$で囲まれた図形の面積を$T$とするとき，比$S:T$を求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$の各辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$を$1:2$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{AQ}$と$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{S}$，$\mathrm{BR}$と$\mathrm{AQ}$の交点を$\mathrm{T}$，$\mathrm{CP}$と$\mathrm{BR}$の交点を$\mathrm{U}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問に答えよ．
（図は省略）

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$を通り辺$\mathrm{AC}$と平行な直線と，$\mathrm{BR}$の交点を$\mathrm{V}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{VQ}}$を$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AT}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(5)$|\overrightarrow{b}|=1$，$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{3}$，$\angle \mathrm{BAC}={90}^\circ$であるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{ST}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{SU}}|$，$\angle \mathrm{TSU}$および三角形$\mathrm{STU}$の面積を求めよ．

座標平面上の点$(x,\ y)$に対し$f(x,\ y)$，$g(x,\ y)$を次で定める．
\[ \begin{array}{l}
f(x,\ y)=(x-3)^2+y^2-4 \\
g(x,\ y)=\sqrt{3}x-4y \phantom{\displaystyle\frac{[　]}{2}}
\end{array} \]
以下の問いに答えよ．

(1)連立不等式
\[ f(x,\ y) \leqq 0,\quad g(x,\ y) \leqq 0 \]
の表す領域を$D$とする．$D$を図示せよ．
(2)円$f(x,\ y)=0$と直線$g(x,\ y)=0$の交点において，円$f(x,\ y)=0$と接する直線の方程式を求めよ．
(3)$D$を$(1)$で定めた領域とする．点$(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$ax+y$の最大値，最小値を求めよ．ただし，$a$は正の定数である．

立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$がある．辺$\mathrm{AD}$，$\mathrm{AB}$をそれぞれ$1:3$に内分する点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．辺$\mathrm{FG}$上に$\mathrm{FS}:\mathrm{SG}=t:(1-t) (0<t<1)$をみたす点$\mathrm{S}$をとる．また，$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{S}$を通る平面と辺$\mathrm{BF}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{y}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\overrightarrow{z}$とするとき，次の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)$\overrightarrow{\mathrm{QR}}$を$\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{y}$，$\overrightarrow{z}$および$t$を用いて表せ．
(2)$\angle \mathrm{QRS}={120}^\circ$となるときの$t$の値を求めよ．

四面体$\mathrm{ABCD}$において，
\[ \mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\mathrm{AD}=1,\quad \mathrm{BC}=\sqrt{3},\quad \angle \mathrm{BDC}=\theta \]
のとき，次の問いに答えなさい．ただし，$\displaystyle \frac{\pi}{3}<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．

(1)点$\mathrm{A}$から$\triangle \mathrm{BCD}$を含む平面に垂線を下ろし，その平面との交点を$\mathrm{H}$とする．線分$\mathrm{AH}$，$\mathrm{BH}$，$\mathrm{CH}$，$\mathrm{DH}$の長さを，それぞれ$\theta$を用いて表しなさい．
(2)$t=\cos \theta$とする．$\theta$を一定の値に保ったまま点$\mathrm{D}$が動くときの四面体$\mathrm{ABCD}$の体積の最大値を，$t$を用いて表しなさい．
(3)$(2)$で求めた四面体$\mathrm{ABCD}$の体積の最大値を$V(t)$とする．$\displaystyle \frac{\pi}{3}<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲で$\theta$が動くときの$V(t)$の最大値を求めなさい．ただし，$V(t)$が最大値をとるときの$\theta$の値は求めなくてよい．

三角形$\mathrm{ABC}$の各辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$を$1:2$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{AQ}$と$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{S}$，$\mathrm{BR}$と$\mathrm{AQ}$の交点を$\mathrm{T}$，$\mathrm{CP}$と$\mathrm{BR}$の交点を$\mathrm{U}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問に答えよ．
（図は省略）

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$を通り辺$\mathrm{AC}$と平行な直線と，$\mathrm{BR}$の交点を$\mathrm{V}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{VQ}}$を$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AT}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(5)$|\overrightarrow{b}|=1$，$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{3}$，$\angle \mathrm{BAC}={90}^\circ$であるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{ST}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{SU}}|$，$\angle \mathrm{TSU}$および三角形$\mathrm{STU}$の面積を求めよ．

$\mathrm{OA}=\sqrt{3}$，$\mathrm{OB}=2$，$\mathrm{AB}=\sqrt{5}$となる三角形$\mathrm{OAB}$がある．三角形$\mathrm{OAB}$の内部の点$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$に下ろした垂線の足をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とすると，
\[ \mathrm{OP}:\mathrm{PA}=2:1,\quad \mathrm{OQ}:\mathrm{QB}=1:2 \]
であった．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，以下の各問に答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{b}$をそれぞれ求めよ．
(2)$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{R}$とするとき，$\mathrm{AR}:\mathrm{RB}$を求めよ．

\mon[注] 点$\mathrm{X}$から辺$\mathrm{YZ}$に下ろした垂線の足とは，点$\mathrm{X}$から辺$\mathrm{YZ}$に下ろした垂線と辺$\mathrm{YZ}$との交点のことである．

区間$0<x<\pi$で関数$y=f(x)=\cos (\sqrt{2}x)$を考え，そのグラフを$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(\theta,\ \cos (\sqrt{2} \theta))$における$C$の法線を$\ell$，$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の距離を$g(\theta)$とする．ただし，点$\mathrm{P}$における$C$の法線とは，点$\mathrm{P}$を通りかつ$\mathrm{P}$での$C$の接線に直交する直線のことである．以下の各問に答えよ．

(1)$f(x)$の増減の様子を調べ，$C$の概形をかけ．さらに，$f(x)$の最小値を与える$x$の値，および$C$と$x$軸との交点の$x$座標を求めよ．
(2)$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(4)$\theta$が$0<\theta<\pi$の範囲を動くとき，$t=\cos^2 (\sqrt{2} \theta)$の動く範囲と$g(\theta)$の最大値を求めよ．
(5)$\theta$が$0<\theta<\pi$の範囲を動くとき，$g(\theta)$の最大値を与える$\theta$の値をすべて求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$の各辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$を$1:2$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{AQ}$と$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{S}$，$\mathrm{BR}$と$\mathrm{AQ}$の交点を$\mathrm{T}$，$\mathrm{CP}$と$\mathrm{BR}$の交点を$\mathrm{U}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問に答えよ．
（図は省略）

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$を通り辺$\mathrm{AC}$と平行な直線と，$\mathrm{BR}$の交点を$\mathrm{V}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{VQ}}$を$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AT}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(5)$|\overrightarrow{b}|=1$，$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{3}$，$\angle \mathrm{BAC}={90}^\circ$であるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{ST}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{SU}}|$，$\angle \mathrm{TSU}$および三角形$\mathrm{STU}$の面積を求めよ．

放物線$y=x^2$を$C$，$y=-x^2+2x+4$を$D$とする．実数$t$を用いて表される$D$上の点$\mathrm{P}(t,\ -t^2+2t+4)$における$D$の接線を$\ell$とする．

(1)$C$と$D$が異なる$2$点で交わることを示し，その$x$座標を求めよ．
(2)接線$\ell$の方程式を$y=f(x)$とする．$f(x)$を求めよ．
(3)$(1)$で求めた$2$交点の$x$座標を$a,\ b (a<b)$とする．$a<t<b$を満たす$t$に対して，$(2)$で求めた接線$\ell$の方程式を$y=f(x)$とする．次の連立不等式の表す領域の面積を$S(t)$とする．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \geqq x^2 \\
y \leqq f(x) \\
y \geqq -x^2+2x+4
\end{array} \right. \]

$t$が$a<t<b$の範囲を動くとき，$S(t)$が最小となる$t$の値と，そのときの$S(t)$の値を求めよ．