「交点」について
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(5ページ目:全1364問中41問~50問を表示)![福島大学](./img/univ/fukushima.png)
次の問いに答えなさい.
(1)次の極限を求めなさい.
\[ \lim_{n \to \infty} (\sqrt{(n+1)(n+3)}-\sqrt{n(n+2)}) \]
(2)複素数平面上の$2$点$\alpha=4-2i,\ \beta=3-3i$に対して,次の問いに答えなさい.
(i) 点$\alpha$を点$\beta$の周りに${30}^\circ$回転した点を表す複素数$\gamma$を求めなさい.
(ii) $\beta^6$の値を求めなさい.
(3)三角形$\mathrm{ABC}$があり$\mathrm{AB}=5$,$\mathrm{AC}=3$,$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{1}{3}$とする.点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$へ下ろした垂線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{H}$とする.
(i) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表しなさい.
(ii) 線分$\mathrm{AH}$の長さを求めなさい.
(1)次の極限を求めなさい.
\[ \lim_{n \to \infty} (\sqrt{(n+1)(n+3)}-\sqrt{n(n+2)}) \]
(2)複素数平面上の$2$点$\alpha=4-2i,\ \beta=3-3i$に対して,次の問いに答えなさい.
(i) 点$\alpha$を点$\beta$の周りに${30}^\circ$回転した点を表す複素数$\gamma$を求めなさい.
(ii) $\beta^6$の値を求めなさい.
(3)三角形$\mathrm{ABC}$があり$\mathrm{AB}=5$,$\mathrm{AC}=3$,$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{1}{3}$とする.点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$へ下ろした垂線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{H}$とする.
(i) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表しなさい.
(ii) 線分$\mathrm{AH}$の長さを求めなさい.
![千葉大学](./img/univ/chiba.png)
$2$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$,$\mathrm{A}(0,\ 2)$を直径とする円周から$\mathrm{O}$を除いた部分を点$\mathrm{Q}$が動く.点$\mathrm{A}$を通り$x$軸に平行な直線と直線$\mathrm{OQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする.点$\mathrm{Q}$を通り$x$軸と平行な直線と,点$\mathrm{R}$を通り$y$軸と平行な直線との交点を$\mathrm{P}$とする.点$\mathrm{P}$の軌跡を$C$とする.
(1)$C$の方程式を求めよ.
(2)正の実数$a$に対して,$C$と$x$軸と$2$直線$x=a$,$x=-a$によって囲まれる図形を,$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積を$V(a)$とする.このとき,$\displaystyle \lim_{a \to \infty}V(a)$を求めよ.
(1)$C$の方程式を求めよ.
(2)正の実数$a$に対して,$C$と$x$軸と$2$直線$x=a$,$x=-a$によって囲まれる図形を,$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積を$V(a)$とする.このとき,$\displaystyle \lim_{a \to \infty}V(a)$を求めよ.
![徳島大学](./img/univ/tokushima.png)
曲線$y=x^3 (x>0)$を$C$とする.$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ t^3)$における法線を$\ell$とし,$\ell$と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}$とする.
(1)法線$\ell$の方程式を求めよ.
(2)$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$間の距離を$t$を用いて表せ.
(3)点$\mathrm{P}$が曲線$C$上を動くとき,$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$間の距離の最小値を求めよ.
(1)法線$\ell$の方程式を求めよ.
(2)$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$間の距離を$t$を用いて表せ.
(3)点$\mathrm{P}$が曲線$C$上を動くとき,$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$間の距離の最小値を求めよ.
![千葉大学](./img/univ/chiba.png)
座標平面上に$5$点$\mathrm{A}(0,\ 0)$,$\mathrm{B}(0,\ 1)$,$\mathrm{C}(1,\ 1)$,$\mathrm{D}(1,\ 0)$,$\displaystyle \mathrm{E} \left( 0,\ \frac{2}{3} \right)$がある.点$\mathrm{E}$と点$\mathrm{P}_1(s,\ 1) (0<s<1)$を通る直線を$\ell_1$とする.直線$y=1$に関して$\ell_1$と対称な直線を$\ell_2$とし,$\ell_2$と直線$x=1$の交点を$\mathrm{P}_2$とする.さらに,直線$x=1$に関して$\ell_2$と対称な直線$\ell_3$は$x$軸と線分$\mathrm{AD}$上で交わるとし,その交点を$\mathrm{P}_3$とする.
(1)直線$\ell_2$が点$\mathrm{D}$を通るときの$s$の値を求めよ.
(2)線分$\mathrm{DP}_3$の長さを$s$を用いて表せ.
(3)$\mathrm{EP}_1+\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2+\mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$の最大値と最小値を求めよ.
(1)直線$\ell_2$が点$\mathrm{D}$を通るときの$s$の値を求めよ.
(2)線分$\mathrm{DP}_3$の長さを$s$を用いて表せ.
(3)$\mathrm{EP}_1+\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2+\mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$の最大値と最小値を求めよ.
![徳島大学](./img/univ/tokushima.png)
媒介変数$\theta$を用いて$x=\sqrt{2} \cos \theta$,$y=\sqrt{3} \sin \theta (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$で表される曲線を$C$とする.
(1)$C$と$x$軸との交点の座標を求めよ.また,$C$と$y$軸との交点の座標を求めよ.
(2)$C$上の点$(x,\ y)$に対して,$x-y$のとる値の最大値および最小値と,そのときの$x,\ y$の値を求めよ.
(3)$C$上の点$(x,\ y)$に対して,$(x+y)(x-y)$のとる値の最大値および最小値と,そのときの$x,\ y$の値を求めよ.
(1)$C$と$x$軸との交点の座標を求めよ.また,$C$と$y$軸との交点の座標を求めよ.
(2)$C$上の点$(x,\ y)$に対して,$x-y$のとる値の最大値および最小値と,そのときの$x,\ y$の値を求めよ.
(3)$C$上の点$(x,\ y)$に対して,$(x+y)(x-y)$のとる値の最大値および最小値と,そのときの$x,\ y$の値を求めよ.
![千葉大学](./img/univ/chiba.png)
座標平面上に$5$点$\mathrm{A}(0,\ 0)$,$\mathrm{B}(0,\ 1)$,$\mathrm{C}(1,\ 1)$,$\mathrm{D}(1,\ 0)$,$\displaystyle \mathrm{E} \left( 0,\ \frac{2}{3} \right)$がある.点$\mathrm{E}$と点$\mathrm{P}_1(s,\ 1) (0<s<1)$を通る直線を$\ell_1$とする.直線$y=1$に関して$\ell_1$と対称な直線を$\ell_2$とし,$\ell_2$と直線$x=1$の交点を$\mathrm{P}_2$とする.さらに,直線$x=1$に関して$\ell_2$と対称な直線$\ell_3$は$x$軸と線分$\mathrm{AD}$上で交わるとし,その交点を$\mathrm{P}_3$とする.
(1)直線$\ell_2$が点$\mathrm{D}$を通るときの$s$の値を求めよ.
(2)線分$\mathrm{DP}_3$の長さを$s$を用いて表せ.
(3)$\mathrm{EP}_1+\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2+\mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$の最大値と最小値を求めよ.
(1)直線$\ell_2$が点$\mathrm{D}$を通るときの$s$の値を求めよ.
(2)線分$\mathrm{DP}_3$の長さを$s$を用いて表せ.
(3)$\mathrm{EP}_1+\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2+\mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$の最大値と最小値を求めよ.
![千葉大学](./img/univ/chiba.png)
座標平面上にすべての内角が${180}^\circ$未満の四角形$\mathrm{ABCD}$がある.原点を$\mathrm{O}$とし,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおく.$k$は$0 \leqq k \leqq 1$を満たす定数とする.$0$以上の実数$s,\ t,\ u$が$k+s+t+u=1$を満たしながら変わるとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}+u \overrightarrow{d} \]
で定められる点$\mathrm{P}$の存在範囲を$E(k)$とする.
(1)$E(1)$および$E(0)$を求めよ.
(2)$\displaystyle E \left( \frac{1}{3} \right)$を求めよ.
(3)対角線$\mathrm{AC}$,$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする.どの$\displaystyle E(k) \left( \frac{1}{3} \leqq k \leqq \frac{1}{2} \right)$にも属するような点$\mathrm{P}$を考える.このような点$\mathrm{P}$が存在するための必要十分条件を,線分$\mathrm{AC}$,$\mathrm{AM}$の長さを用いて答えよ.
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}+u \overrightarrow{d} \]
で定められる点$\mathrm{P}$の存在範囲を$E(k)$とする.
(1)$E(1)$および$E(0)$を求めよ.
(2)$\displaystyle E \left( \frac{1}{3} \right)$を求めよ.
(3)対角線$\mathrm{AC}$,$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする.どの$\displaystyle E(k) \left( \frac{1}{3} \leqq k \leqq \frac{1}{2} \right)$にも属するような点$\mathrm{P}$を考える.このような点$\mathrm{P}$が存在するための必要十分条件を,線分$\mathrm{AC}$,$\mathrm{AM}$の長さを用いて答えよ.
![千葉大学](./img/univ/chiba.png)
座標平面上に$5$点$\mathrm{A}(0,\ 0)$,$\mathrm{B}(0,\ 1)$,$\mathrm{C}(1,\ 1)$,$\mathrm{D}(1,\ 0)$,$\displaystyle \mathrm{E} \left( 0,\ \frac{2}{3} \right)$がある.点$\mathrm{E}$と点$\mathrm{P}_1(s,\ 1) (0<s<1)$を通る直線を$\ell_1$とする.直線$y=1$に関して$\ell_1$と対称な直線を$\ell_2$とし,$\ell_2$と直線$x=1$の交点を$\mathrm{P}_2$とする.さらに,直線$x=1$に関して$\ell_2$と対称な直線$\ell_3$は$x$軸と線分$\mathrm{AD}$上で交わるとし,その交点を$\mathrm{P}_3$とする.
(1)直線$\ell_2$が点$\mathrm{D}$を通るときの$s$の値を求めよ.
(2)線分$\mathrm{DP}_3$の長さを$s$を用いて表せ.
(3)$\mathrm{EP}_1+\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2+\mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$の最大値と最小値を求めよ.
(1)直線$\ell_2$が点$\mathrm{D}$を通るときの$s$の値を求めよ.
(2)線分$\mathrm{DP}_3$の長さを$s$を用いて表せ.
(3)$\mathrm{EP}_1+\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2+\mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$の最大値と最小値を求めよ.
![千葉大学](./img/univ/chiba.png)
座標平面上にすべての内角が${180}^\circ$未満の四角形$\mathrm{ABCD}$がある.原点を$\mathrm{O}$とし,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおく.$k$は$0 \leqq k \leqq 1$を満たす定数とする.$0$以上の実数$s,\ t,\ u$が$k+s+t+u=1$を満たしながら変わるとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}+u \overrightarrow{d} \]
で定められる点$\mathrm{P}$の存在範囲を$E(k)$とする.
(1)$E(1)$および$E(0)$を求めよ.
(2)$\displaystyle E \left( \frac{1}{3} \right)$を求めよ.
(3)対角線$\mathrm{AC}$,$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする.どの$\displaystyle E(k) \left( \frac{1}{3} \leqq k \leqq \frac{1}{2} \right)$にも属するような点$\mathrm{P}$を考える.このような点$\mathrm{P}$が存在するための必要十分条件を,線分$\mathrm{AC}$,$\mathrm{AM}$の長さを用いて答えよ.
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}+u \overrightarrow{d} \]
で定められる点$\mathrm{P}$の存在範囲を$E(k)$とする.
(1)$E(1)$および$E(0)$を求めよ.
(2)$\displaystyle E \left( \frac{1}{3} \right)$を求めよ.
(3)対角線$\mathrm{AC}$,$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする.どの$\displaystyle E(k) \left( \frac{1}{3} \leqq k \leqq \frac{1}{2} \right)$にも属するような点$\mathrm{P}$を考える.このような点$\mathrm{P}$が存在するための必要十分条件を,線分$\mathrm{AC}$,$\mathrm{AM}$の長さを用いて答えよ.
![千葉大学](./img/univ/chiba.png)
座標平面上にすべての内角が${180}^\circ$未満の四角形$\mathrm{ABCD}$がある.原点を$\mathrm{O}$とし,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおく.$k$は$0 \leqq k \leqq 1$を満たす定数とする.$0$以上の実数$s,\ t,\ u$が$k+s+t+u=1$を満たしながら変わるとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}+u \overrightarrow{d} \]
で定められる点$\mathrm{P}$の存在範囲を$E(k)$とする.
(1)$E(1)$および$E(0)$を求めよ.
(2)$\displaystyle E \left( \frac{1}{3} \right)$を求めよ.
(3)対角線$\mathrm{AC}$,$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする.どの$\displaystyle E(k) \left( \frac{1}{3} \leqq k \leqq \frac{1}{2} \right)$にも属するような点$\mathrm{P}$を考える.このような点$\mathrm{P}$が存在するための必要十分条件を,線分$\mathrm{AC}$,$\mathrm{AM}$の長さを用いて答えよ.
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}+u \overrightarrow{d} \]
で定められる点$\mathrm{P}$の存在範囲を$E(k)$とする.
(1)$E(1)$および$E(0)$を求めよ.
(2)$\displaystyle E \left( \frac{1}{3} \right)$を求めよ.
(3)対角線$\mathrm{AC}$,$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする.どの$\displaystyle E(k) \left( \frac{1}{3} \leqq k \leqq \frac{1}{2} \right)$にも属するような点$\mathrm{P}$を考える.このような点$\mathrm{P}$が存在するための必要十分条件を,線分$\mathrm{AC}$,$\mathrm{AM}$の長さを用いて答えよ.