座標平面上の曲線$C:y=x^3-x$を考える．$C$上の点$(-a,\ -a^3+a)$と$(a,\ a^3-a)$ $(a>0)$における$C$の接線をそれぞれ$\ell_1$，$\ell_2$とする．また，$\ell_1$と$C$との$(-a,\ -a^3+a)$以外の共有点を$\mathrm{P}_1$，$\ell_2$と$C$との$(a,\ a^3-a)$以外の共有点を$\mathrm{P}_2$とする．さらに，$\mathrm{P}_2$を通り$y$軸に平行な直線と$\ell_1$の交点を$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{P}_1$を通り$y$軸に平行な直線と$\ell_2$の交点を$\mathrm{Q}_2$とする．

(1)$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_2$の座標を求めよ．
(2)$2$点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$を通る直線と$C$で囲まれる$2$つの図形の面積の和を$S_1$，四角形$\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{Q}_2$の面積を$S_2$とする．$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$を求めよ．ただし，$\displaystyle \int x^3 \, dx=\frac{x^4}{4}+D$（$D$は積分定数）を用いてよい．

$xy$平面上の曲線$C:y=\sqrt{x}$がある．曲線$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ \sqrt{t}) (t>0)$における接線を$\ell$とする．さらに，直線$\ell$と$x$軸の交点を$\mathrm{Q}$とする．次の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$から$x$軸に下ろした垂線を$\mathrm{PR}$とするとき，$\triangle \mathrm{PQR}$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$t$を用いて表せ．
(4)曲線$C$，直線$\ell$および$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$t$を用いて表せ．

三角形$\mathrm{ABC}$の各辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$を$1:2$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{AQ}$と$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{S}$，$\mathrm{BR}$と$\mathrm{AQ}$の交点を$\mathrm{T}$，$\mathrm{CP}$と$\mathrm{BR}$の交点を$\mathrm{U}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問に答えよ．
（図は省略）

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$を通り辺$\mathrm{AC}$と平行な直線と，$\mathrm{BR}$の交点を$\mathrm{V}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{VQ}}$を$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AT}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(5)$|\overrightarrow{b}|=1$，$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{3}$，$\angle \mathrm{BAC}={90}^\circ$であるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{ST}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{SU}}|$，$\angle \mathrm{TSU}$および三角形$\mathrm{STU}$の面積を求めよ．

$a$を正の実数とする．$xy$平面上の放物線$y=x^2$上に，点$\displaystyle \mathrm{A} \left( -\frac{1}{a},\ \frac{1}{a^2} \right)$および点$\mathrm{B}(2a,\ 4a^2)$をとる．また点$\mathrm{O}$を原点とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$\mathrm{AB}$と$y$軸の交点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S(a)$とする．$a$が正の実数全体を動くとき，$S(a)$を最小にする$a$の値と，そのときの$S(a)$の値を求めよ．

曲線$y=\log x$上の点$\mathrm{P}(1,\ 0)$における接線と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{Q}$を通り$x$軸に平行な直線と曲線$y=\log x$の交点を$\mathrm{R}$とする．ここで，対数は自然対数である．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)線分$\mathrm{PR}$と曲線$y=\log x$で囲まれた図形を$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

曲線$y=\log x$上の点$\mathrm{P}(1,\ 0)$における接線と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{Q}$を通り$x$軸に平行な直線と曲線$y=\log x$の交点を$\mathrm{R}$とする．ここで，対数は自然対数である．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)線分$\mathrm{PR}$と曲線$y=\log x$で囲まれた図形を$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

辺の長さが$\mathrm{OA}=1$，$\mathrm{OB}=2$，$\mathrm{OC}=3$である四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA} \perp \mathrm{AB}$，$\mathrm{OA} \perp \mathrm{AC}$とする．辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{D}$とし，辺$\mathrm{OB}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{E}$，辺$\mathrm{OC}$を$1:8$に内分する点を$\mathrm{F}$とする．$3$点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$を通る平面上の点$\mathrm{G}$が，$\mathrm{EG} \perp \mathrm{DE}$，$\mathrm{FG} \perp \mathrm{DF}$をみたすとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=t$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$および$t$を用いて表せ．
(3)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面と直線$\mathrm{OG}$が点$\mathrm{H}$で交わるとする．直線$\mathrm{AH}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{I}$とするとき，$\mathrm{BI}:\mathrm{IC}$を求めよ．

以下の問に答えよ．

(1)$\displaystyle \left[ \frac{1}{3}x+1 \right]=[2x-1]$を満たす実数$x$の範囲を求めよ．ここで，$[x]$は$x$を超えない最大の整数である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$と，$\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}+k \overrightarrow{\mathrm{MC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} (k>0)$を満たす点$\mathrm{M}$が存在する．点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{M}$を通る直線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{N}$とする．$\displaystyle \frac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{BN}}$のとき，$k$はいくらか．
(3)初項が正の数である等比数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が，漸化式
\[ a_{n+1}+\left( \frac{1}{2} \right)^{2n+1}=3a_1a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たしているとき，以下の問に答えよ．

(i) $\{a_n\}$の初項と公比を求めよ．
(ii) 無限級数$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty a_k$が収束するかどうか調べよ．収束する場合には，その和を求めよ．

$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{AD}=4$，$\mathrm{AE}=1$である図のような直方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$において，辺$\mathrm{CG}$，$\mathrm{CD}$，$\mathrm{AD}$をそれぞれ$1-p:p (0<p<1)$に分ける点を$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$，$\mathrm{Z}$とする．点$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$，$\mathrm{Z}$が作る平面を$L$，$L$と$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{E}$を通る直線との交点，$2$点$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$を通る直線との交点，$2$点$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$を通る直線との交点をそれぞれ$\mathrm{U}$，$\mathrm{V}$，$\mathrm{W}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\overrightarrow{c}$として以下の問に答えよ．
（図は省略）

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AU}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AV}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AW}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表し，$\mathrm{U}$，$\mathrm{V}$，$\mathrm{W}$がそれぞれ辺$\mathrm{AE}$，$\mathrm{EF}$，$\mathrm{FG}$上にあることを示せ．
(2)六角形$\mathrm{UVWXYZ}$の面積はいくらか．

$1$辺の長さが$1$の正六角形$\mathrm{ABCDEF}$において，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\overrightarrow{b}$とする．線分$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{G}$とおき，正の実数$t$に対して$\mathrm{DE}$を$t:1$に内分する点を$\mathrm{H}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{FG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ t$を用いて表せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{FG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$が垂直に交わるとき，$t$を求めよ．
(5)$(4)$において，その交点を$\mathrm{O}$としたとき，$\overrightarrow{\mathrm{AO}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(6)$(5)$の点$\mathrm{O}$に対して，線分$\mathrm{AO}$の長さを求めよ．