座標平面上の原点を$\mathrm{O}$とし，$3$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 1)$，$\mathrm{C}(1,\ 0)$を考える．$x$軸上に点$\mathrm{P}$をとり，線分$\mathrm{AP}$の垂直二等分線を$\ell$とする．点$\mathrm{P}$を通り$x$軸に垂直な直線と$\ell$との交点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)$\mathrm{AQ}=\mathrm{QP}$であることを証明せよ．
(2)点$\mathrm{P}$が$x$軸上を動くとき，点$\mathrm{Q}$の軌跡はどのような曲線を描くか図示せよ．
(3)点$\mathrm{P}$は$x$軸の閉区間$[0,\ 1]$にあるとする．このとき，直線$\ell$が正方形$\mathrm{ABCO}$を二つの部分に切る．そのうちの点$\mathrm{C}$を含む部分の面積を$S$とする．$S$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

円$C:x^2+y^2=1$上に$2$点$\mathrm{N}(0,\ 1)$，$\mathrm{S}(0,\ -1)$をとる．また$x$軸上に点$\mathrm{P}(a,\ 0) (a>1)$をとり，直線$\mathrm{NP}$と円$C$との交点で，点$\mathrm{N}$とは異なる点を$\mathrm{Q}$とする．さらに，直線$\mathrm{SQ}$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)直線$\mathrm{NP}$の方程式を求め，点$\mathrm{Q}$の座標を$a$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{SQ}$の方程式を求め，点$\mathrm{R}$の座標を$a$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{PR}$の長さが$2$になるときの$a$の値を求めよ．

$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$とする．座標平面上に，原点$\mathrm{O}$を中心とする単位円$C$上の点$\mathrm{P}(\cos t,\ \sin t)$と，$x$軸上の点$\mathrm{Q}(\cos t,\ 0)$をとり，点$\mathrm{P}$における$C$の接線を$\ell$とする．また，点$\mathrm{Q}$から$\ell$に下ろした垂線と$\ell$との交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{PR}$と$\mathrm{QR}$を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた$\mathrm{PR}$を$x(t)$，$\mathrm{QR}$を$y(t)$とする．点$\mathrm{S}(x(t),\ y(t))$の軌跡を求めよ．

曲線$\displaystyle C:y=\frac{4}{x}$上に$2$点$\mathrm{P}(1,\ 4)$，$\mathrm{Q}(4,\ 1)$をとる．直線$\ell:y=kx (k<0)$に垂直な直線で$\mathrm{P}$を通るものを$\ell_{\mathrm{P}}$とし，$\mathrm{Q}$を通るものを$\ell_{\mathrm{Q}}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\ell_{\mathrm{P}}$，$\ell_{\mathrm{Q}}$の方程式を求めよ．
(2)$\ell_{\mathrm{P}}$と$\ell$の交点$\mathrm{R}$の$x$座標を求めよ．また，$\ell_{\mathrm{Q}}$と$\ell$の交点$\mathrm{S}$の$x$座標を求めよ．
(3)$C,\ \ell,\ \ell_{\mathrm{P}},\ \ell_{\mathrm{Q}}$で囲まれた図形の面積$M$を求めよ．
(4)$k$を動かすとき，$M$の最大値を求めよ．

$a$は定数で$0 \leqq a \leqq 1$とする．$3$次関数$f(x)=(x+1)x(x-a)$および$g(x)=f(x-1)$を考える．

(1)$2$曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$のすべての交点の$x$座標を求めよ．
(2)$2$曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた部分を$A$とする．$A$の面積$S(a)$および$A$の$x \leqq a$をみたす部分の面積$S_1(a)$を求めよ．
(3)$(2)$の$A$で不等式$x \geqq a$をみたす部分の面積を$S_2(a)$とする．$S_2(a)$が最大となるときの$a$の値とその最大値を求めよ．

座標平面上の原点を$\mathrm{O}$，曲線$y=x^3$上の点$\mathrm{P}(t,\ t^3) (t>0)$における接線と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とし，また$\alpha=\angle \mathrm{POQ}$，$\beta=\angle \mathrm{OPQ}$とする．

(1)点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いた式で表せ．
(2)$\tan \alpha$および$\tan \beta$を$t$を用いた式で表せ．
(3)$\tan \beta$が最大となるような$t$とそのときの$\beta$の値を求めよ．

楕円$\displaystyle E:\frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{2^2}=1$および直線$\ell:y=kx (k>0)$とそれらの交点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$について，次の問いに答えよ．

(1)線分$\mathrm{AB}$の長さを$k$を用いた式で表せ．
(2)楕円$E$上の点$\mathrm{P}$での接線が直線$\ell$に平行なとき，点$\mathrm{P}$の座標を$k$を用いた式で表せ．
(3)楕円$E$上の点$\mathrm{C}$を三角形$\mathrm{ABC}$の面積が最大となる点とするとき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2 \sqrt{2}$の球面$S$上に$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$があり，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=4,\quad \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=5,\quad \overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=6 \]
をみたしている．三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，直線$\mathrm{OG}$と球面$S$の交点のうち$\mathrm{G}$から遠い方を$\mathrm{P}$とする．

(1)$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{OG}}|$の値を求めなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表しなさい．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$のなす角を求めなさい．

原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2 \sqrt{2}$の球面$S$上に$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$があり，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=4,\quad \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=5,\quad \overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=6 \]
をみたしている．三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，直線$\mathrm{OG}$と球面$S$の交点のうち$\mathrm{G}$から遠い方を$\mathrm{P}$とする．

(1)$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{OG}}|$の値を求めなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表しなさい．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$のなす角を求めなさい．

原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2 \sqrt{2}$の球面$S$上に$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$があり，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=4,\quad \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=5,\quad \overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=6 \]
をみたしている．三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，直線$\mathrm{OG}$と球面$S$の交点のうち$\mathrm{G}$から遠い方を$\mathrm{P}$とする．

(1)$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{OG}}|$の値を求めなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表しなさい．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$のなす角を求めなさい．