「交点」について
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国立 宮崎大学 2014年 第3問下図の平行六面体において，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$とし，$\triangle \mathrm{ACD}$と線分$\mathrm{OF}$の交点を$\mathrm{H}$とする．さらに，四面体$\mathrm{OACD}$が$1$辺の長さ$1$の正四面体であるとする．このとき，次の各問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{ACD}$の重心が点$\mathrm{H}$に一致することを示し，$2$つの線分$\mathrm{OH}$と$\mathrm{HF}$の比$\mathrm{OH}:\mathrm{HF}$を求めよ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{HE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HF}}$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{HEF}$の面積を求めよ．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{ACD}$の重心が点$\mathrm{H}$に一致することを示し，$2$つの線分$\mathrm{OH}$と$\mathrm{HF}$の比$\mathrm{OH}:\mathrm{HF}$を求めよ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{HE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HF}}$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{HEF}$の面積を求めよ．
国立 鹿児島大学 2014年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$を，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$をとり，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が同一円周上にあり，さらに角のあいだに
\[ \angle \mathrm{AEB}=2 \angle \mathrm{ABE}=4 \angle \mathrm{ACD} \]
という関係が成り立つとき，$\angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(2)$4$個のさいころを同時に投げるとき，$3$の倍数の目のみが出る確率を求めよ．
(3)正の実数$x,\ y$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(i) $x$が無理数かつ$y$が有理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(ii) $x$が無理数かつ$y$が無理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$を，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$をとり，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が同一円周上にあり，さらに角のあいだに
\[ \angle \mathrm{AEB}=2 \angle \mathrm{ABE}=4 \angle \mathrm{ACD} \]
という関係が成り立つとき，$\angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(2)$4$個のさいころを同時に投げるとき，$3$の倍数の目のみが出る確率を求めよ．
(3)正の実数$x,\ y$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(i) $x$が無理数かつ$y$が有理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(ii) $x$が無理数かつ$y$が無理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
国立 鹿児島大学 2014年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$を，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$をとり，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が同一円周上にあり，さらに角のあいだに
\[ \angle \mathrm{AEB}=2 \angle \mathrm{ABE}=4 \angle \mathrm{ACD} \]
という関係が成り立つとき，$\angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(2)$4$個のさいころを同時に投げるとき，$3$の倍数の目のみが出る確率を求めよ．
(3)正の実数$x,\ y$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(i) $x$が無理数かつ$y$が有理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(ii) $x$が無理数かつ$y$が無理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$を，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$をとり，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が同一円周上にあり，さらに角のあいだに
\[ \angle \mathrm{AEB}=2 \angle \mathrm{ABE}=4 \angle \mathrm{ACD} \]
という関係が成り立つとき，$\angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(2)$4$個のさいころを同時に投げるとき，$3$の倍数の目のみが出る確率を求めよ．
(3)正の実数$x,\ y$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(i) $x$が無理数かつ$y$が有理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(ii) $x$が無理数かつ$y$が無理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
国立 鹿児島大学 2014年 第4問次の各問いに答えよ．
(1)$\theta$を媒介変数として，
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=\theta-\sin \theta \\
y=1-\cos \theta
\end{array} \right. \]
で表される曲線の$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}$に対応する点における接線の方程式を求めよ．
(2)$2$つの曲線$y=e^{-x}+1$，$y=3(e^{-x}-1)$の交点の座標を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．
(3)$(2)$の$2$曲線と$y$軸で囲まれた図形を$D$とする．$D$の面積を求めよ．
(4)$(3)$で与えられた$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
(1)$\theta$を媒介変数として，
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=\theta-\sin \theta \\
y=1-\cos \theta
\end{array} \right. \]
で表される曲線の$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}$に対応する点における接線の方程式を求めよ．
(2)$2$つの曲線$y=e^{-x}+1$，$y=3(e^{-x}-1)$の交点の座標を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．
(3)$(2)$の$2$曲線と$y$軸で囲まれた図形を$D$とする．$D$の面積を求めよ．
(4)$(3)$で与えられた$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
国立 鹿児島大学 2014年 第6問$c$と$d$を$0$ではない実数とする．$C$と$D$をそれぞれ$s$と$t$を媒介変数として
\[ C: \left\{ \begin{array}{l}
x=\displaystyle\frac{c}{s^2+c^2} \\ \\
y=\displaystyle\frac{s}{s^2+c^2}
\end{array} \right. \quad D: \left\{ \begin{array}{l}
x=\displaystyle\frac{t}{t^2+d^2} \\ \\
y=\displaystyle\frac{d}{t^2+d^2}
\end{array} \right. \]
で与えられる曲線とする．このとき，次の各問いに答えよ．
(1)$C$と$D$は円から$1$点を除いた曲線になっている．それぞれの円を表す方程式と除かれる点を求めよ．
(2)$C$と$D$の交点の座標を求めよ．
(3)$C$と$D$の交点における$C$の接線の方程式を求めよ．
\[ C: \left\{ \begin{array}{l}
x=\displaystyle\frac{c}{s^2+c^2} \\ \\
y=\displaystyle\frac{s}{s^2+c^2}
\end{array} \right. \quad D: \left\{ \begin{array}{l}
x=\displaystyle\frac{t}{t^2+d^2} \\ \\
y=\displaystyle\frac{d}{t^2+d^2}
\end{array} \right. \]
で与えられる曲線とする．このとき，次の各問いに答えよ．
(1)$C$と$D$は円から$1$点を除いた曲線になっている．それぞれの円を表す方程式と除かれる点を求めよ．
(2)$C$と$D$の交点の座標を求めよ．
(3)$C$と$D$の交点における$C$の接線の方程式を求めよ．
国立 鳴門教育大学 2014年 第4問$2$次関数$y=2x^2-(3k+1)x+k+5$，および$y=-x^2+(k+2)x+k-1$で表されるグラフを，それぞれ$C_1$，$C_2$とするとき，次の問いに答えなさい．
(1)$C_1$，$C_2$が$2$つの異なる交点をもつような定数$k$の値の範囲を求めなさい．また，$k$がその範囲にあるとき，$2$つの交点を結ぶ線分の中点の$x$座標を求めなさい．
(2)$C_1$，$C_2$が$2$つの異なる交点をもち，これら$2$つの交点を通る直線の傾きが$3$となるときの$k$の値を求めなさい．
(1)$C_1$，$C_2$が$2$つの異なる交点をもつような定数$k$の値の範囲を求めなさい．また，$k$がその範囲にあるとき，$2$つの交点を結ぶ線分の中点の$x$座標を求めなさい．
(2)$C_1$，$C_2$が$2$つの異なる交点をもち，これら$2$つの交点を通る直線の傾きが$3$となるときの$k$の値を求めなさい．
国立 鹿児島大学 2014年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$を，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$をとり，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が同一円周上にあり，さらに角のあいだに
\[ \angle \mathrm{AEB}=2 \angle \mathrm{ABE}=4 \angle \mathrm{ACD} \]
という関係が成り立つとき，$\angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(2)$4$個のさいころを同時に投げるとき，$3$の倍数の目のみが出る確率を求めよ．
(3)正の実数$x,\ y$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(i) $x$が無理数かつ$y$が有理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(ii) $x$が無理数かつ$y$が無理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$を，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$をとり，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が同一円周上にあり，さらに角のあいだに
\[ \angle \mathrm{AEB}=2 \angle \mathrm{ABE}=4 \angle \mathrm{ACD} \]
という関係が成り立つとき，$\angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(2)$4$個のさいころを同時に投げるとき，$3$の倍数の目のみが出る確率を求めよ．
(3)正の実数$x,\ y$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(i) $x$が無理数かつ$y$が有理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(ii) $x$が無理数かつ$y$が無理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
国立 滋賀医科大学 2014年 第3問$\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{e^x},\ g(x)=\frac{\cos x}{e^x}$とする．
(1)関数$f(x)$の第$4$次までの導関数を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq 2\pi$の範囲において，$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$の概形をかけ．
(3)$x \geqq 0$の範囲において，$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$の交点を$x$座標の小さい順に$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\cdots$，$\mathrm{P}_n$，$\cdots$とするとき，$\mathrm{P}_n$の座標を求めよ．
(4)$\mathrm{P}_n$の$x$座標を$a_n$とする．$a_n \leqq x \leqq a_{n+1}$の範囲において，$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$で囲まれた部分の面積を$S_n$とする．$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$を求めよ．
(1)関数$f(x)$の第$4$次までの導関数を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq 2\pi$の範囲において，$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$の概形をかけ．
(3)$x \geqq 0$の範囲において，$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$の交点を$x$座標の小さい順に$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\cdots$，$\mathrm{P}_n$，$\cdots$とするとき，$\mathrm{P}_n$の座標を求めよ．
(4)$\mathrm{P}_n$の$x$座標を$a_n$とする．$a_n \leqq x \leqq a_{n+1}$の範囲において，$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$で囲まれた部分の面積を$S_n$とする．$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$を求めよ．
国立 豊橋技術科学大学 2014年 第2問$xy$平面上に$2$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(4,\ 3)$を直径の両端とする円がある．図のようにこの円と$x$軸との原点以外の交点を$\mathrm{B}$，線分$\mathrm{OA}$に関して$\mathrm{B}$と反対側の円周上に$\angle \mathrm{COA}={45}^\circ$を満たす点$\mathrm{C}$をとり，線分$\mathrm{CA}$の延長線と$x$軸との交点を$\mathrm{D}$とする．以下の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{AOD}$の外心を$\mathrm{P}$として，$\angle \mathrm{OPD}$の大きさを求めよ．
(2)点$\mathrm{D}$の座標を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{AOD}$の外接円の方程式を求めよ．
(4)$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線と線分$\mathrm{AD}$との交点を$\mathrm{E}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を成分表示せよ．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{AOD}$の外心を$\mathrm{P}$として，$\angle \mathrm{OPD}$の大きさを求めよ．
(2)点$\mathrm{D}$の座標を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{AOD}$の外接円の方程式を求めよ．
(4)$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線と線分$\mathrm{AD}$との交点を$\mathrm{E}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を成分表示せよ．
国立 豊橋技術科学大学 2014年 第3問$xy$平面内の直線$L$を$x-ay+a^2-1=0$とするとき，以下の問いに答えよ．ただし，$a$は実数とする．
(1)直線$L$と$x$軸との交点の座標を$a$を用いて表せ．
(2)直線$L$は$a$が$0$でないとき$y$軸と交わる．このときの$y$軸との交点の座標を$a$を用いて表せ．
(3)直線$L$上の点$(x,\ y)$がとりえる範囲を，$x$と$y$に関する不等式で表せ．
(4)$(3)$で求めた範囲の境界を曲線$C$とする．直線$L$と曲線$C$が接することを示し，接点の座標を$a$を用いて表せ．
(5)$a>0$のとき，直線$L$と$(4)$の曲線$C$および$x$軸で囲まれ，かつ$x \geqq 0$の部分の面積を$a$を用いて表せ．
(1)直線$L$と$x$軸との交点の座標を$a$を用いて表せ．
(2)直線$L$は$a$が$0$でないとき$y$軸と交わる．このときの$y$軸との交点の座標を$a$を用いて表せ．
(3)直線$L$上の点$(x,\ y)$がとりえる範囲を，$x$と$y$に関する不等式で表せ．
(4)$(3)$で求めた範囲の境界を曲線$C$とする．直線$L$と曲線$C$が接することを示し，接点の座標を$a$を用いて表せ．
(5)$a>0$のとき，直線$L$と$(4)$の曲線$C$および$x$軸で囲まれ，かつ$x \geqq 0$の部分の面積を$a$を用いて表せ．