「交点」について
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国立 信州大学 2014年 第4問$f(x)=\log (x+\sqrt{x^2+1})$とし，曲線$y=f(x)$を$C$とする．ただし，対数は自然対数である．
(1)$f(x)$の導関数を求めよ．
(2)曲線$C$と直線$y=1$の交点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)曲線$C$，直線$y=1$および$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(1)$f(x)$の導関数を求めよ．
(2)曲線$C$と直線$y=1$の交点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)曲線$C$，直線$y=1$および$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
国立 名古屋工業大学 2014年 第2問放物線$y=x^2$上の動点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$，$\mathrm{Q}(q,\ q^2)$が次の条件をみたしている．
\[ 0<p<q,\quad \angle \mathrm{POQ}=\frac{\pi}{4} \]
ただし$\mathrm{O}$は原点である．点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$における接線の交点を$\mathrm{R}$とする．
(1)$p$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)$q$を$p$の式で表せ．
(3)点$\mathrm{R}$の$x$座標，$y$座標それぞれのとり得る値の範囲を求めよ．
(4)点$\mathrm{R}$が描く曲線の方程式を求めよ．
(5)点$\mathrm{R}$が描く曲線の漸近線を求めよ．
\[ 0<p<q,\quad \angle \mathrm{POQ}=\frac{\pi}{4} \]
ただし$\mathrm{O}$は原点である．点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$における接線の交点を$\mathrm{R}$とする．
(1)$p$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)$q$を$p$の式で表せ．
(3)点$\mathrm{R}$の$x$座標，$y$座標それぞれのとり得る値の範囲を求めよ．
(4)点$\mathrm{R}$が描く曲線の方程式を求めよ．
(5)点$\mathrm{R}$が描く曲線の漸近線を求めよ．
国立 信州大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$0<\theta<\pi$のとき，不等式$\cos 3\theta+4 \cos^2 \theta<0$を満たす$\theta$の値の範囲を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{E}$とする．$2$直線$\mathrm{BE}$と$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2+4+6+\cdots +2n}$の和を求めよ．
{\bf 補足説明}
設問中の式の意味は
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2+4+6+\cdots +2n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2+4}+\frac{1}{2+4+6}+\frac{1}{2+4+6+8}+\cdots \]
である．
(1)$0<\theta<\pi$のとき，不等式$\cos 3\theta+4 \cos^2 \theta<0$を満たす$\theta$の値の範囲を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{E}$とする．$2$直線$\mathrm{BE}$と$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2+4+6+\cdots +2n}$の和を求めよ．
{\bf 補足説明}
設問中の式の意味は
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2+4+6+\cdots +2n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2+4}+\frac{1}{2+4+6}+\frac{1}{2+4+6+8}+\cdots \]
である．
国立 岩手大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)次の不等式を解け．ただし，$a$は定数で，$a>0$，$a \neq 1$を満たすものとする．
\[ a^{2x}-a^x-6<0 \]
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=5$，$\angle \mathrm{A}={60}^\circ$とする．$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\mathrm{BP}$の長さを求めよ．
(3)赤玉$4$個と白玉$5$個が入った袋がある．無作為に玉を$2$個同時に取り出したとき，赤玉の出る個数の期待値を求めよ．
(1)次の不等式を解け．ただし，$a$は定数で，$a>0$，$a \neq 1$を満たすものとする．
\[ a^{2x}-a^x-6<0 \]
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=5$，$\angle \mathrm{A}={60}^\circ$とする．$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\mathrm{BP}$の長さを求めよ．
(3)赤玉$4$個と白玉$5$個が入った袋がある．無作為に玉を$2$個同時に取り出したとき，赤玉の出る個数の期待値を求めよ．
国立 岩手大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)次の不等式を解け．ただし，$a$は定数で，$a>0$，$a \neq 1$を満たすものとする．
\[ a^{2x}-a^x-6<0 \]
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=5$，$\angle \mathrm{A}={60}^\circ$とする．$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\mathrm{BP}$の長さを求めよ．
(3)赤玉$4$個と白玉$5$個が入った袋がある．無作為に玉を$2$個同時に取り出したとき，赤玉の出る個数の期待値を求めよ．
(1)次の不等式を解け．ただし，$a$は定数で，$a>0$，$a \neq 1$を満たすものとする．
\[ a^{2x}-a^x-6<0 \]
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=5$，$\angle \mathrm{A}={60}^\circ$とする．$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\mathrm{BP}$の長さを求めよ．
(3)赤玉$4$個と白玉$5$個が入った袋がある．無作為に玉を$2$個同時に取り出したとき，赤玉の出る個数の期待値を求めよ．
国立 岩手大学 2014年 第2問$a$を正の実数とする．平面上の$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=a$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=1$，$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}-3 \overrightarrow{\mathrm{OB}}|=\sqrt{a^2+9}$を満たしている．点$\mathrm{P}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=2 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$となるように定め，線分$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{OP}$の交点を$\mathrm{Q}$，線分$\mathrm{BQ}$の中点を$\mathrm{R}$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が垂直になるとき，$a$の値と三角形$\mathrm{OQR}$の面積を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が垂直になるとき，$a$の値と三角形$\mathrm{OQR}$の面積を求めよ．
国立 岩手大学 2014年 第3問座標平面上に点$\mathrm{A}(\pi,\ 1)$がある．また，関数$y=\cos x$のグラフ上に点$\mathrm{P}$をとり，$\mathrm{A}$と$\mathrm{P}$との中点を$\mathrm{Q}$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{P}$の座標を$(t,\ \cos t)$とするとき，$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{Q}$の座標を$(x,\ y)$とするとき，$y$を$x$の関数として表せ．また，$y$の最大値と最小値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた関数を$f(x)$とする．$2$つの関数$y=\cos x$と$y=f(x)$のグラフを同一の座標平面上に描け．ただし，どちらも$0 \leqq x \leqq 2\pi$の範囲で描け．
(4)$(2)$で求めた関数を$f(x)$とする．$2$つの関数$y=\cos x$と$y=f(x)$のグラフの交点について，その$y$座標の取り得る値をすべて求めよ．ただし，$x$の範囲はすべての実数とする．
(1)$\mathrm{P}$の座標を$(t,\ \cos t)$とするとき，$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{Q}$の座標を$(x,\ y)$とするとき，$y$を$x$の関数として表せ．また，$y$の最大値と最小値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた関数を$f(x)$とする．$2$つの関数$y=\cos x$と$y=f(x)$のグラフを同一の座標平面上に描け．ただし，どちらも$0 \leqq x \leqq 2\pi$の範囲で描け．
(4)$(2)$で求めた関数を$f(x)$とする．$2$つの関数$y=\cos x$と$y=f(x)$のグラフの交点について，その$y$座標の取り得る値をすべて求めよ．ただし，$x$の範囲はすべての実数とする．
国立 福岡教育大学 2014年 第2問正六角形$\mathrm{ABCDEF}$において，辺$\mathrm{DE}$の中点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{AP}$と$\mathrm{BF}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{AQ}:\mathrm{QP}$を最も簡単な整数の比で表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=1$のとき，$\triangle \mathrm{BPQ}$の面積を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{AQ}:\mathrm{QP}$を最も簡単な整数の比で表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=1$のとき，$\triangle \mathrm{BPQ}$の面積を求めよ．
国立 琉球大学 2014年 第1問$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とし，線分$\mathrm{CD}$，$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{P}$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{AC}=4$，$\mathrm{AP}=\sqrt{7}$のとき，$\angle \mathrm{BAC}$の大きさを求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{AC}=4$，$\mathrm{AP}=\sqrt{7}$のとき，$\angle \mathrm{BAC}$の大きさを求めよ．
国立 宮崎大学 2014年 第2問曲線$\displaystyle C_1:y=\cos x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$上の点$\displaystyle (t,\ \cos t) \left( 0<t<\frac{\pi}{2} \right)$における曲線$C_1$の接線を$\ell$とする．また，$2$直線$x=0$，$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$と接線$\ell$との交点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とし，放物線$\displaystyle C_2:y=-\frac{x^2}{2}+ax+c$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通るものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$2$曲線$C_1$，$C_2$と$2$直線$x=0$，$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$で囲まれる部分の面積を$S$とする．$S$を，$a$と$c$を用いて表せ．
(3)$(2)$の$S$が最小となる$t$の値を求めよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$2$曲線$C_1$，$C_2$と$2$直線$x=0$，$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$で囲まれる部分の面積を$S$とする．$S$を，$a$と$c$を用いて表せ．
(3)$(2)$の$S$が最小となる$t$の値を求めよ．