曲線$y=\sin x (0 \leqq x \leqq 2\pi)$を$F$，曲線$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{3}} \sin 2x (0 \leqq x \leqq 2\pi)$を$G$とする．

(1)$F$と$G$の交点の座標をすべて求めよ．
(2)$xy$平面上に$F$と$G$を図示せよ．$(1)$で求めた交点の座標に加え，軸との交点の座標もかくこと．
(3)$F$と$G$で囲まれた部分（境界線を含む）に含まれる点のうち，$x$と$y$がともに整数となる点の座標をすべて求めよ．

二次関数$y=x^2+2x-15$について，次の設問に答えよ．

(1)二次関数の頂点の座標を求めよ．
(2)$x=-3,\ x=5$のときの二次関数の値を求めよ．
(3)二次関数と$x$軸との交点を求めよ．
(4)$(2)$で求めた二次関数の値の大きい方の座標と，$(3)$で求めた交点のうちの$x$の値が小さい方の座標を結ぶ直線の式を求めよ．

一辺の長さが$2$の正三角形$\mathrm{ABC}$の$3$辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の中点をそれぞれ$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．$0<a<1$として，線分$\mathrm{AD}$を$(1-a):a$に内分する点を$\mathrm{O}$，線分$\mathrm{CE}$を$a:(1-a)$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{OP}$と直線$\mathrm{EF}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\overrightarrow{y}$とするとき，以下の各問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{x},\ \overrightarrow{y},\ a$で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}},\ a$で表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OP}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos^2 \theta$を$a$で表せ．
(4)$\theta={45}^\circ$のときの$a$の値を求めよ．

関数$y=-ax^2+4ax+b (a>0) \cdots\cdots①$について次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．

(1)$a=1,\ b=8$とする．関数$①$の最大値は$[$18$]$である．また$①$のグラフと$x$軸との交点の$x$座標は$[$19$] \pm [$20$] \sqrt{[$21$]}$である．

(2)$①$のグラフが$x$軸に接するとき$\displaystyle a=-\frac{[$22$]}{[$23$]}b$である．

(3)関数$①$の最大値が$5$でそのグラフが点$(3,\ 2)$を通るとき$a=[$24$]$，$b=-[$25$]$である．
(4)$2 \leqq x \leqq 3$における関数$①$の最大値が$10$，最小値が$8$であるとき$a=[$26$]$，$b=[$27$]$である．

二次関数$y=x^2-4x+1$について，次の設問に答えよ．

(1)二次関数の頂点の座標を求めよ．
(2)$1 \leqq x \leqq 4$において，二次関数の最大値と最小値を求めよ．
(3)二次関数と$x$軸との交点の$x$座標を求めよ．
(4)二次関数に直線$y=-2x+a$が接するとき，定数$a$の値を求めよ．

辺$\mathrm{BC}$を斜辺とする直角三角形$\mathrm{ABC}$を考える．いま，$\angle \mathrm{B}={30}^\circ$，$\mathrm{AC}=1$であるとする．辺$\mathrm{AB}$上に$\mathrm{AD}=1$となる点$\mathrm{D}$をとる．点$\mathrm{D}$を通る$\mathrm{BC}$に垂直な直線と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{H}$とする．

(1)$\angle \mathrm{BCD}$の大きさを求めよ．
(2)$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．
(3)$\mathrm{DH}$の長さを求めよ．
(4)$\sin {15}^\circ,\ \cos {15}^\circ$の値を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{C}={90}^\circ$，$\angle \mathrm{B}={30}^\circ$とする．辺$\mathrm{BC}$を$1:1$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{CA}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．ただし，$0<t<1$とする．また，線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{QR}$の交点を$\mathrm{X}$とする．

(1)線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{QR}$が垂直になるように，実数$t$の値を定めよ．
(2)$(1)$で定めた$t$の値に対して，面積の比$\triangle \mathrm{ARX}:\triangle \mathrm{ABC}$を求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CA}=x$，$\angle \mathrm{ABC}$の二等分線と辺$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{D}$とするとき，以下の各問いに答えよ．

(1)$x$の値の範囲を求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{BCA}$を$x$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{BD}=\mathrm{CD}$が成り立つとき，$x$の値を求め，三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$の値を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)空間に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 2,\ 3)$，$\mathrm{B}(2,\ -1,\ 4)$がある．次の問に答えよ．
$(1$-$1)$ $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を求めよ．
$(1$-$2)$ $\cos \angle \mathrm{AOB}$の値を求めよ．
$(1$-$3)$ $\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(2)$\displaystyle \left( 2x^3-\frac{1}{3x} \right)^9$の展開式における$\displaystyle \frac{1}{x}$の係数を求めよ．
(3)実数全体で定義された関数$\displaystyle f(x)=\frac{x^4+5x^2+11}{x^2+2}$の最小値を求めよ．
(4)曲線$y=\sqrt{2+|4x-2x^2|}$と直線$y=m(x+3)$が相異なる$4$個の交点をもつような定数$m$の値の範囲を求めよ．

放物線$y=2x^2$を平行移動して得られる放物線について次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．

(1)$x$軸方向に$-3$，$y$軸方向に$-5$平行移動した放物線の方程式は
$y=[$18$]x^2+[$19$]x+[$20$]$である．
(2)頂点が点$(2,\ 3)$である放物線の方程式は
$y=[$21$]x^2-[$22$]x+[$23$]$である．
(3)$x$軸との交点の$x$座標が$-2$と$4$である放物線の方程式は
$y=[$24$]x^2-[$25$]x-[$26$]$である．
(4)点$\displaystyle \left( 0,\ -\frac{1}{2} \right)$を通り，頂点が直線$y=2x$上にある放物線の方程式は
$\displaystyle y=[$27$]x^2+[$28$]x-\frac{[$29$]}{[$30$]}$である．
(5)放物線の軸は直線$x=3$であり，この放物線を表す関数の$1 \leqq x \leqq 4$における最大値は$5$であるとする．このとき，放物線の方程式は
$y=[$31$]x^2-[$32$]x+[$33$]$である．