$1$辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$がある．辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{E}$，辺$\mathrm{CD}$の$3$等分点のうち$\mathrm{C}$に近い方を$\mathrm{F}$，線分$\mathrm{AE}$と線分$\mathrm{BF}$との交点を$\mathrm{G}$とする．このとき，以下の設問に答えよ．

(1)$\sin \angle \mathrm{EAB}$の値を求めよ．
(2)線分$\mathrm{BG}$の長さを求めよ．
(3)四角形$\mathrm{AGFD}$の面積を求めよ．

平面上に長さ$5$の線分$\mathrm{AB}$がある．$\mathrm{B}$を中心とする半径$4$の円周上を点$\mathrm{C}$が動く．ただし，$\mathrm{C}$は直線$\mathrm{AB}$上にないとする．$\mathrm{A}$で直線$\mathrm{AB}$に接し$\mathrm{C}$を通る円を$\mathrm{O}$とする．直線$\mathrm{BC}$と円$\mathrm{O}$の交点のうち，$\mathrm{C}$でない点を$\mathrm{D}$とする．


(1)$\displaystyle \mathrm{CD}=\frac{[ク]}{[ケ]}$である．

(2)円$\mathrm{O}$の半径のとり得る長さの最小値は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$である．

(3)$\triangle \mathrm{ACD}$のとり得る面積の最大値は$\displaystyle \frac{[シ]}{[ス]}$である．

(4)$\cos \angle \mathrm{ADC}$のとり得る値の最小値は$\displaystyle \frac{[セ]}{[ソ]}$である．

(5)円$\mathrm{O}$の半径と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径が一致するとき$\mathrm{AD}=[タ]$である．

放物線$C:y=ax^2-bx-c$は，点$\displaystyle \left( -\frac{1}{2},\ -1 \right)$を通り，この点における$C$の接線の傾きは$-14$であり，その軸は$\displaystyle x=\frac{1}{2}$であるという．このとき，
\[ a=[ア],\quad b=[イ],\quad c=\frac{[ウ][エ]}{[オ]} \]
である．$C$と$y$軸との交点における$C$の接線を$\ell$とすると，$\ell$の方程式は
\[ y=-[カ]x-\frac{[キ][ク]}{[ケ]} \]
となり，原点を通り$\ell$に平行な直線と$C$で囲まれる部分の面積は
\[ \frac{[コ][サ][シ]}{[ス][セ]} \sqrt{[ソ]} \]
となる．

$a$は$0$以上の実数とする．放物線$y=x^2+a^2$を$C_a$とし，$y$軸と平行な直線$x=1$を$M$とする．$C_a$と$M$の交点における$C_a$の接線を$L_a$とする．$a>0$のとき，$C_0$と$L_a$で囲まれた図形のうち，$M$の右側の部分の面積を$S_a$とおく．

(1)\quad
(i) $\displaystyle S_a=\frac{[ア]}{[イ]}a^{\mkakko{ウ}}$である．
(ii) $L_3$と平行であり，かつ$C_0$と異なる$2$点で交わる直線$L$に対して，$L$と$C_0$によって囲まれた図形のうち，$M$の右側の部分の面積を$S$とおく．$\displaystyle S=\frac{1}{8}S_3$となるのは，$L$の$y$切片が$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]}$のときである．

(2)$2$つの曲線$C_0$と$C_3$，および$2$直線$L_3$，$L_5$によって囲まれた図形のうち，$M$の右側の部分の面積は$\displaystyle \frac{[カ][キ]}{[ク]}$である．

座標平面上に$3$点
\[ \mathrm{P}_1(25,\ 0),\quad \mathrm{P}_2(0,\ 0),\quad \mathrm{P}_3(3,\ 4) \]
をとる．このとき，三角形$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$の外接円$C$の半径は$\displaystyle \frac{[ア][イ]}{[ウ]} \sqrt{[エ]}$である．$\mathrm{P}_3$を通り$x$軸に平行な直線と$C$の交点のうち$\mathrm{P}_3$と異なるものを$\mathrm{P}_4$とする．四角形$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_4$の$2$本の対角線の交点を$\mathrm{Q}$とするとき
\[ \sin (\angle \mathrm{P}_2 \mathrm{QP}_3)=\frac{[オ][カ]}{[キ][ク][ケ]} \]
である．$C$の弧$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$に対する中心角を$\theta$とするとき
\[ \sin \theta=-\frac{[コ][サ]}{[シ][ス]} \]
となる．弧$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_4 \mathrm{P}_3$上の点$\mathrm{R}$を，四角形$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3 \mathrm{R}$の面積が最大になるようにとる．そのとき四角形の面積は$\displaystyle \frac{[セ][ソ][タ]}{[チ]}$である．

正の定数$a (a \neq 1)$に対して，$2$次関数$f(x)$を
\[ f(x)=ax(1-x) \]
と定める．曲線$C:y=f(x)$の点$(1,\ 0)$における接線を$\ell_1$，直線$y=-x$を$\ell_2$とする．曲線$C$の$x \leqq 1$の部分と$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$で囲まれる部分の面積を$S$で表し，また，この部分を$x$軸の周りに$1$回転してできる図形の体積を$V$で表す．

(1)直線$\ell_1,\ \ell_2$の交点の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$S$を$a$を用いて表せ．
(3)定数$a$は$a>1$を満たすものとする．$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$と$x$軸で囲まれる部分を$x$軸の周りに$1$回転してできる図形の体積を$U$で表すとき，
\[ \frac{30a^3}{(a-1)^4 \pi}(V-U) \]
を$a$の$1$次式で表せ．
(4)$\displaystyle \lim_{a \to 1+0}(a-1)^2V$の値を求めよ．

$[　]$内に$0$から$9$までの数字を$1$つずつ入れよ．

(1)$a$を正の定数とし，関数
\[ f(x)=\tan 2x \ \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{4} \right) \text{および} g(x)=a \cos x\ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
に対して，曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の交点の$x$座標を$\theta$とする．曲線$y=f(x)$と$x$軸，および直線$x=\theta$で囲まれた部分の面積$S$を考える．

(i) $a=[ア]$のとき，$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$である．このとき$\displaystyle S=\frac{[イ]}{[ウ]} \times \log [エ]$である．
(ii) $a=\sqrt{[オ]}$のとき，$\displaystyle S=\frac{1}{2} \log \frac{\sqrt{7}+1}{2}$である．

ただし，正の数$A$に対して，$\log A$は$A$の自然対数を表す．
(2)$1$個のサイコロを投げ，その出た目によって，点$\mathrm{P}$を座標平面上で移動させる試行を繰り返す．
点$\mathrm{P}$の出発点$(x_0,\ y_0)$を原点$(0,\ 0)$とし，$1$回目の試行（移動）後の点$\mathrm{P}$の座標を$(x_1,\ y_1)$，$2$回目の試行（移動）後の点$\mathrm{P}$の座標を$(x_2,\ y_2)$，以下同様に$k$回目の試行（移動）後の点$\mathrm{P}$の座標を$(x_k,\ y_k)$とする．
座標$(x_k,\ y_k) (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は次のルールによって定める．
サイコロを$k$回目に投げたとき，出た目を$3$で割った商を$q$，余りを$r$として，$x_k$を次のように$q$によって定め，
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
q=0 & \text{のとき}x_k=x_{k-1} \\
q=1 & \text{のとき}x_k=x_{k-1}+1 \\
q=2 & \text{のとき}x_k=x_{k-1}-1
\end{array} \right. \]
$y_k$を次のように$r$によって定める．
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
r=0 & \text{のとき}y_k=y_{k-1} \\
r=1 & \text{のとき}y_k=y_{k-1}+1 \\
r=2 & \text{のとき}y_k=y_{k-1}-1
\end{array} \right. \]
ただし，サイコロを投げたとき，$1$から$6$の目がそれぞれ確率$\displaystyle \frac{1}{6}$で出るものとする．

(i) $(x_2,\ y_2)=(0,\ 0)$である確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$であり，$(x_3,\ y_3)=(0,\ 0)$である確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エオ]}$である．
(ii) $x_k+y_k$が偶数である確率を$p_k$とすると，$\displaystyle p_1=\frac{[カ]}{[キ]}$であり，
\[ p_k=\frac{[ク]}{[ケ]} \cdot \left( -\frac{[コ]}{[サ]} \right)^k+\frac{[シ]}{[ス]} \quad (k=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
である．

(3)$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$を$2:1$の比に内分する点を$\mathrm{P}$（$\mathrm{OP}:\mathrm{PA}=2:1$），辺$\mathrm{OC}$を$1:2$の比に内分する点を$\mathrm{Q}$（$\mathrm{OQ}:\mathrm{QC}=1:2$），辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．


(i) $\displaystyle \mathrm{MP}=\frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}$，$\displaystyle \mathrm{MQ}=\frac{\sqrt{[ウエ]}}{[オ]}$である．

(ii) 三角形$\mathrm{MPQ}$の面積は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キク]} \times \sqrt{[ケコ]}$である．

(iii) 辺$\mathrm{BC}$上の$\displaystyle \mathrm{BR}=\frac{[サ]}{[シ]}$となる点$\mathrm{R}$は，$3$点$\mathrm{M}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で定まる平面上にある．

次の$[　]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を求めよ．

(1)座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 1)$がある．

(i) 楕円
\[ E:\quad \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1 \quad (b>0) \]
は$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を焦点としてもつとする．このとき，$b=\sqrt{[ア]}$である．
(ii) $2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{C}$を通る直線と，$(ⅰ)$で定めた楕円$E$の交点を$\mathrm{P}(x_0,\ y_0) (x_0>0)$とすると，
\[ x_0=-\frac{[イ]}{[ウ]}+\frac{[エ]}{[オ]} \sqrt{[カ]},\quad y_0=\frac{[キ]}{[ク]}+\frac{[ケ]}{[コ]} \sqrt{[サ]} \]
である．
(iii) $(ⅱ)$で定めた点$\mathrm{P}$に対して，$\mathrm{PB}+\mathrm{PC}=[シ]-\sqrt{[ス]}$である．$\mathrm{QB}+\mathrm{QC}=[シ]-\sqrt{[ス]}$となるような点$\mathrm{Q}(x,\ y)$の軌跡の方程式は
\[ \frac{(x-y)^2}{\alpha}+\frac{(x+y-\gamma)^2}{\beta}=1 \]
である．このとき，
\[ \alpha=\mkakko{セ}-\mkakko{ソ} \sqrt{\mkakko{タ}},\quad \beta=\mkakko{チ}-\mkakko{ツ} \sqrt{\mkakko{テ}},\quad \gamma=\mkakko{ト} \]
となる．

(2)座標平面上の原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，点$\mathrm{A}(2,\ 2)$，点$\mathrm{B}(k,\ 0)$を通り，軸が$y$軸に平行な放物線を$C$とする．ただし，$k>2$とする．

(i) 放物線$C$の方程式を$k$を用いて表すと，
\[ y=-\frac{[ナ]}{k-[ニ]}x^2+\frac{k}{k-[ヌ]}x \]
である．
(ii) 放物線$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を$k$を用いて表すと，
\[ S=\frac{k^{\mkakko{ネ}}}{[ノ](k-[ハ])^{\mkakko{ヒ}}} \]
である．また，$k$を$k>2$の範囲で動かすとき，$S$の最小値は$\displaystyle \frac{[フ]}{[ヘ]}$であり，そのときの$k$の値は$k=[ホ]$である．
(iii) 放物線$C$と$x$軸で囲まれた部分を放物線$C$の軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を$k$を用いて表すと，
\[ V=\frac{k^{\mkakko{マ}}}{[ミ][ム](k-[メ])^{\mkakko{モ}}} \pi \]
である．また，$k$を$k>2$の範囲で動かすとき，$V$の最小値は$\displaystyle \frac{[ヤ][ユ]}{[ヨ][ラ]}\pi$であり，そのときの$k$の値は$\displaystyle k=\frac{[リ]}{[ル]}$である．

$3$辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$が互いに直交する四面体$\mathrm{OABC}$において，$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$，辺$\mathrm{OB}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{M}$，辺$\mathrm{OC}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{N}$とする．また，$\triangle \mathrm{AMN}$と直線$\mathrm{OG}$との交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，$\mathrm{OP}$と$\mathrm{OG}$の比を求めると，$\mathrm{OP}:\mathrm{OG}=[　]$である．さらに，$\mathrm{AP} \perp \mathrm{MN}$のとき$\mathrm{OB}:\mathrm{OC}=[　]$である．

放物線$y=x^2+ax+b$と$x$軸との交点の座標は$(\sin \theta,\ 0)$，$(\sqrt{3} \cos \theta,\ 0)$である．この放物線と$x$軸とで囲まれる部分の面積を$S$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$a,\ b$は定数とし，$\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \pi$とする．

(1)$a,\ b$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$a=0$のとき，$S$の値を求めよ．
(3)$S$の最大値を求めよ．