座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(\sqrt{3},\ -2)$，$\mathrm{B}(3 \sqrt{3},\ 0)$，$\mathrm{C}(4 \sqrt{3},\ -5)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{D}$とする．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\frac{[サ]}{[シ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[ス]}{[セ]} \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
である．また，直線$\mathrm{AD}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$とすると，$\displaystyle \frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{EC}}=\frac{[ソ]}{[タ]}$である．

$k$を定数とする．$2$つの曲線$C_1$，$C_2$を，
\[ C_1:y=3x^2-6x+k,\quad C_2:y=x^2 \]
と定義する．曲線$C_1$，$C_2$はただひとつの共有点$\mathrm{A}$をもつ．

(1)$k$の値は$\displaystyle \frac{[チ]}{[ツ]}$である．
(2)点$\mathrm{A}$を通る直線$\ell$をひき，直線$\ell$と曲線$C_1$との交点を$\mathrm{B}$，直線$\ell$と曲線$C_2$との交点を$\mathrm{C}$とする．ただし，点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$はいずれも点$\mathrm{A}$とは異なる点である．点$\mathrm{B}$の$x$座標を$p$とすると，点$\mathrm{C}$の$x$座標は$[テ]p+[ト]$であり，直線$\ell$および曲線$C_1$，$C_2$で囲まれる部分の面積は
\[ [ナ] {|\frac{[ニ]|{[ヌ]}-p}}^3 \]
となる．

放物線$\displaystyle p:y=\frac{1}{4}x^2$がある．点$\mathrm{A}(1,\ 1)$から$y$軸に平行な直線を引き，放物線$p$との交点を点$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{B}$を通り，放物線$p$に接する直線を$\ell_1$とする．

(1)点$\mathrm{B}$を通り，直線$\ell_1$に垂直な直線を$\ell_2$とすると，直線$\ell_2$の方程式は
\[ y=[ク] \]
で表される．
(2)直線$\ell_2$に関して，点$\mathrm{A}$に対称な点$\mathrm{C}$の座標は，
\[ (x,\ y)=([ケ],\ [コ]) \]
である．
(3)点$\mathrm{B}$と点$\mathrm{C}$を通る直線を$\ell_3$とすると，直線$\ell_3$と$y$軸との交点の座標は
\[ (x,\ y)=(0,\ [サ]) \]
となる．
(4)点$\mathrm{B}$とは異なる直線$\ell_3$と放物線$p$との交点を点$\mathrm{D}$とする．点$\mathrm{B}$と点$\mathrm{D}$を通る直線と放物線$p$で囲まれた部分の面積は$[シ]$となる．
(5)点$\mathrm{D}$を通る放物線$p$の接線を$\ell_4$とする．点$\mathrm{D}$を通り，接線$\ell_4$に垂直な直線を$\ell_5$とする．直線$\ell_5$に関して，点$\mathrm{C}$に対称な点を点$\mathrm{E}$とする．点$\mathrm{D}$と点$\mathrm{E}$を通る直線の方程式は
\[ x=[ス] \]
で表される．

座標平面上の$2$つの直線$\ell_1$，$\ell_2$と円$C$を，$\ell_1:3x-y-1=0$，$\ell_2:x+3y-3=0$，$C:x^2+y^2-4x-2y+3=0$と定めるとき，次の問に答えよ．

(1)直線$\ell_1$と直線$\ell_2$の交点の座標を求めよ．
(2)円$C$と直線$\ell_1$との共有点の座標を求めよ．
(3)円$C$と直線$\ell_2$との共有点の座標を求めよ．
(4)連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
(3x-y-1)(x+3y-3) \leqq 0 \\
x^2+y^2-4x-2y+3 \leqq 0 \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
の表す領域の面積を求めよ．

$a$と$b$は$1$以上$5$以下の自然数とし，放物線$C:y=-x^2+ax-b$を定める．このとき，次の問に答えよ．

(1)放物線$C$が$x$軸と相異なる$2$点で交わるような$(a,\ b)$の組は何通りあるか求めよ．
(2)放物線$C$が$x$軸と相異なる$2$点で交わり，それらの$x$座標がともに整数であるような$(a,\ b)$の組は何通りあるか求めよ．
(3)$(2)$のとき，放物線$C$と$x$軸の$2$つの交点の間の距離の最大値と，そのときの$(a,\ b)$の組を求めよ．
(4)$k$は自然数であり，直線$y=kx+1$は放物線$C$と接している．このときの$k$の最大値と，$k$を最大にする$(a,\ b)$の組を求めよ．

楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$と直線$L:x-2y+10=0$について考える．楕円$C$上の点$\mathrm{P}$から直線$L$に下ろした垂線と直線$L$の交点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$の最大値を$M$，最小値を$m$とするとき，$\displaystyle \frac{M}{m}$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)次の問いに答えよ．

(i) $f(x,\ y)=2x^2+11xy+12y^2-5y-2$を因数分解すると，
\[ \left(x+[$1$]y+[$2$] \right) \left([$3$]x+[$4$]y-[$5$] \right) \]
である．
(ii) $f(x,\ y)=56$を満たす自然数$x,\ y$の値は，$x=[$6$]$，$y=[$7$]$である．

(2)$xy$平面上の$2$直線$y=x+4 \sin \theta+1$，$y=-x+4 \cos \theta-3$の交点を$\mathrm{P}$とおく．ただし，$\theta$は実数とする．

(i) $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{12}$のとき，点$\mathrm{P}$の座標は$\displaystyle \left( \sqrt{[$8$]}-[$9$],\ \sqrt{[$10$]}-[$11$] \right)$である．
(ii) $\theta$が実数全体を動くとき，点$\mathrm{P}$の軌跡は
\[ x^2+y^2+[$12$]x+[$13$]y-[$14$]=0 \]
である．

(3)$2$次関数$f(x)$は，すべての実数$x$について
\[ \int_0^x f(t) \, dt=xf(x)-\frac{4}{3}x^3+ax^2 \]
を満たす．ただし，$a$は実数である．また，$f(0)=a^2-a-6$である．このとき，

(i) $f(x)=[$15$]x^2-[$16$]ax+\left( a+[$17$] \right) \left( a-[$18$] \right)$である．
(ii) 方程式$f(x)=0$が少なくとも$1$つの正の実数解をもつような$a$の値の範囲は
\[ [$19$][$20$]<a \leqq [$21$]+\sqrt{[$22$][$23$]} \]
である．

(4)$\{a_n\}$は，数字の$1$と$2$だけで作ることのできる自然数を小さい順に並べた数列である．
\[ \{a_n\} : \ 1,\ 2,\ 11,\ 12,\ 21,\ 22,\ 111,\ \cdots \]
このとき，

(i) $a_{10}=[$24$][$25$][$26$]$，$a_{15}=\kakkofour{$27$}{$28$}{$29$}{$30$}$である．
(ii) $\displaystyle \sum_{k=7}^{14} a_k=\kakkofour{$31$}{$32$}{$33$}{$34$}$である．
(iii) $\{a_n\}$のうち，$m$桁である項の総和は$\displaystyle \frac{{[$35$]}^{m-1} \left\{ \left([$36$][$37$] \right)^m-[$38$] \right\}}{[$39$]}$である．

円$C_1:x^2+y^2=a^2$（$a$は正の実数）のとき，円$C_1$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}(-a,\ 0)$，$\mathrm{B}(a,\ 0)$とする．円$C_2$は点$\mathrm{A}$を中心とする円であり，円$C_1$上の点$\mathrm{P}$（$\mathrm{P}$の$y$座標は正の実数とする）で円$C_1$と交わることとする．線分$\mathrm{AB}$と円$C_2$の交点を$\mathrm{Q}$としたとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値を$M$とする．$\displaystyle \frac{3 \sqrt{6}M}{2a}$の値を求めよ．

以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．

$p,\ q$を正の実数として，曲線$C$を$\displaystyle x^{\frac{1}{p}}+y^{\frac{1}{q}}=1 (0 \leqq x \leqq 1,\ 0 \leqq y \leqq 1)$により定義する．

(1)曲線$C$の方程式を$y$について解いて得られる関数を$y=f(x) (0 \leqq x \leqq 1)$とおく．$y=f(x)$のグラフが$0<x<1$において変曲点をもつためには$p,\ q$が条件$[あ]$を満たすことが必要十分である．
(2)曲線$C$と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形の面積を$S(p,\ q)$とすると，$S(1,\ q)=[い]$であり，$p>1$ならば$S(p,\ q)$と$S(p-1,\ q+1)$の間には$S(p,\ q)=[う]S(p-1,\ q+1)$の関係がある．$p,\ q$がともに自然数であるときに$S(p,\ q)$を$p,\ q$の式で表すと$S(p,\ q)=[え]$である．
(3)$p=q=3$のとき，直線$\ell:x+y=\alpha$が曲線$C$と$2$点を共有するための必要十分条件は$[お]<\alpha \leqq 1$である．この条件が成り立つとき，直線$\ell$と曲線$C$の交点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標を$x_1,\ x_2$とすると$\displaystyle x_1^{\frac{1}{3}}x_2^{\frac{1}{3}}=[か]$かつ$\displaystyle \left( x_1^{\frac{1}{3}}-x_2^{\frac{1}{3}} \right)^2=[き]$である．さらに$\alpha_0=[お]$とおくとき$\displaystyle \lim_{\alpha \to \alpha_0+0} \frac{\mathrm{PQ}^2}{\alpha-\alpha_0}=[く]$が成り立つ．

次の問いに答えよ．

(1)座標平面上の原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と点$\mathrm{A}(0,\ 2)$を通る$2$円
\[ C_1:(x+1)^2+(y-1)^2=2,\quad C_2:(x-2)^2+(y-1)^2=5 \]
が与えられている．原点$\mathrm{O}$を通る直線$L$と$C_1$，$C_2$との交点（$\neq \mathrm{O}$）をそれぞれ$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$とする．$\mathrm{D} \neq \mathrm{E}$のとき，線分$\mathrm{DE}$の内点$\mathrm{P}$を$\mathrm{DP}:\mathrm{PE}=3:1$となるようにとる．$\mathrm{D}=\mathrm{E}$のとき，$\mathrm{P}=\mathrm{D}$とする．直線$L$を原点を中心に回転させると，点$\mathrm{P}$は
\[ \left( \frac{[$13$][$14$]}{[$15$][$16$]},\ [$17$][$18$] \right) \]
を中心とする円周上にある．
(2)$\displaystyle \frac{\pi}{12}$における$\sin,\ \cos$の値は
\[ \begin{array}{l}
\displaystyle\sin \frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{[$19$][$20$]}-\sqrt{[$21$][$22$]}}{4} \\
\displaystyle\cos \frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{[$19$][$20$]}+\sqrt{[$21$][$22$]}}{4} \phantom{\displaystyle\frac{\frac{[　]^2}{2}}{2}}
\end{array} \]
である．これを用いて，$0<x<\pi$の範囲で方程式
\[ \frac{\sqrt{3}+1}{\cos x}-\frac{\sqrt{3}-1}{\sin x}-4 \sqrt{2}=0 \]
を解けば
\[ x=\frac{[$23$][$24$]}{[$25$][$26$]}\pi \]
を得る．