$xy$平面において，点$\mathrm{P}(x,\ y)$と点$(2,\ 0)$の距離が，点$\mathrm{P}$と直線$x=1$の距離の$\sqrt{2}$倍と等しくなるような点$\mathrm{P}$の描く曲線を$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)曲線$C$の方程式を求めよ．
(2)$t$を$0$でない実数とし，曲線$C$と直線$x+y=t$との交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた点$\mathrm{Q}$から$x$軸に下ろした垂線を$\mathrm{QH}$とする．$t$が$2 \leqq t \leqq 4$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{QH}$が通過してできる図形の面積を求めよ．

自然対数の底を$e$とする．区間$x \geqq 0$上で定義される関数
\[ f(x)=e^{-x} \sin x \]
を考え，曲線$y=f(x)$と$x$軸との交点を，$x$座標の小さい順に並べる．それらを，$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\cdots$とする．点$\mathrm{P}_0$は原点である．

自然数$n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$に対して，線分$\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n$と$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を$S_n$とする．以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}_n$の$x$座標を求めよ．
(2)面積$S_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle I_n=\sum_{k=1}^n S_k$とする．このとき，$I_n$と$\displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n$を求めよ．

平面上に$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=3$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{3}$とする．点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{OB}$に垂線を下ろし，直線$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{H}$とする．また，点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{OA}$に垂線を下ろし，直線$\mathrm{OA}$との交点を$\mathrm{I}$とする．直線$\mathrm{AH}$と直線$\mathrm{BI}$の交点を$\mathrm{P}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{OP}$の長さを求めよ．

平面上に$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=3$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{3}$とする．点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{OB}$に垂線を下ろし，直線$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{H}$とする．また，点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{OA}$に垂線を下ろし，直線$\mathrm{OA}$との交点を$\mathrm{I}$とする．直線$\mathrm{AH}$と直線$\mathrm{BI}$の交点を$\mathrm{P}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{OP}$の長さを求めよ．

下図の$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の延長上に$\mathrm{AB}=\mathrm{BD}$となる点$\mathrm{D}$がある．同様に，辺$\mathrm{BC}$の延長上に$\mathrm{BC}=\mathrm{CE}$となる点$\mathrm{E}$が，辺$\mathrm{CA}$の延長上に$\mathrm{CA}=\mathrm{AF}$となる点$\mathrm{F}$がそれぞれある．$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，直線$\mathrm{GE}$と線分$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AB}$，$\mathrm{FD}$との交点をそれぞれ$\mathrm{H}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{J}$とする．このとき，次の比を求めよ．
（図は省略）

(1)$\mathrm{CH}:\mathrm{HA}$
(2)$\mathrm{BI}:\mathrm{IA}$
(3)$\mathrm{DJ}:\mathrm{JF}$

座標平面上で原点$\mathrm{O}$を中心，半径$1$の円を$S$とする．点$\mathrm{P}$が円$S$上を動くとき，$\mathrm{P}$における$S$の接線に点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{1}{2},\ 0 \right)$から下ろした垂線の交点$\mathrm{Q}$のなす軌跡を$C$とする．$x$軸の正の方向に対して$\mathrm{OP}$のなす角を$t$として，$\mathrm{P}$の座標を$(\cos t,\ \sin t)$で表す．このときの$\mathrm{Q}$の座標を$(f(t),\ g(t))$とする．

(1)$f(t),\ g(t)$を求めよ．
(2)$g(t)$の最大値を求めよ．
(3)$C$で囲まれた図形の$y \geqq 0$の部分の面積を求めよ．

座標平面上に関数$f(x)=x^2-2x+2-|2x-2|$を用いて表される曲線$C:y=f(x)$がある．

(1)$y=f(x)$のグラフの概形を描け．
(2)$m$を定数とする．点$(0,\ 1)$を通る傾き$m$の直線と曲線$C$の交点の数を求めよ．
(3)直線$y=a^2$と曲線$C$によって囲まれる領域のうち，$a^2 \leqq y \leqq f(x)$かつ$0 \leqq x \leqq 2$を満たす部分の面積を求めよ．ただし，$0<a<1$とする．

$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{6}$を満たす$\theta$について，$r(\theta)=\sqrt{2 \cos 2\theta}$とするとき，座標平面上で円$x^2+y^2=\{r(\theta)\}^2$と直線$y=(\tan \theta)x$は$2$つの交点をもつ．そのうち，$x$座標が正であるものを$\mathrm{P}$とし，$\mathrm{P}$の$x$座標を$f(\theta)$，$y$座標を$g(\theta)$とする．$\theta$を$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{6}$の範囲で動かしたときの点$\mathrm{P}$の軌跡を$C$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)$f(\theta),\ g(\theta)$を求めよ．
(2)$g(\theta)$の最大値を求めよ．
(3)曲線$C$と$x$軸，直線$\displaystyle x=f \left( \frac{\pi}{6} \right)$で囲まれた部分の面積を求めよ．

座標平面上に点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 2)$，$\mathrm{D}(0,\ 1)$をとる．直線$x=1$を$\ell$，直線$x=-1$を$m$とする．また，$x$軸上に$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{P}(t,\ 0)$をとり，直線$\mathrm{CP}$と直線$\ell$の交点を$\mathrm{Q}(1,\ u)$，直線$\mathrm{DP}$と直線$m$の交点を$\mathrm{R}(-1,\ v)$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)$u,\ v$を$t$を用いて表せ．
(2)$u,\ v$が共に正となるような$t$の範囲と，そのときの台形$\mathrm{QABR}$の面積のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)線分$\mathrm{QR}$は$t$に依存しないある定点$\mathrm{E}$を通ることを示せ．また，$\mathrm{E}$の座標を求めよ．

座標平面上に点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 2)$，$\mathrm{D}(0,\ 1)$をとる．直線$x=1$を$\ell$，直線$x=-1$を$m$とする．また，$x$軸上に$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{P}(t,\ 0)$をとり，直線$\mathrm{CP}$と直線$\ell$の交点を$\mathrm{Q}(1,\ u)$，直線$\mathrm{DP}$と直線$m$の交点を$\mathrm{R}(-1,\ v)$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)$u,\ v$を$t$を用いて表せ．
(2)$u,\ v$が共に正となるような$t$の範囲と，そのときの台形$\mathrm{QABR}$の面積のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)線分$\mathrm{QR}$は$t$に依存しないある定点$\mathrm{E}$を通ることを示せ．また，$\mathrm{E}$の座標を求めよ．