座標空間内の$3$点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(3,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{C}(1,\ 2,\ 0)$を含む平面を$H$とする．以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}(-3,\ 2,\ 2)$は$H$上の点であることを示せ．
(2)点$\mathrm{Q}(1,\ -3,\ -4)$を通る直線が$H$と直交するとき，その交点の座標を求めよ．

頂点が点$\mathrm{A}(0,\ 4)$で，点$\mathrm{B}(2,\ 0)$を通る放物線を考える．次の問いに答えよ．

(1)この放物線をグラフとする$2$次関数を求めよ．
(2)この放物線上にあり，$x$座標が$2a (a>0)$である点を$\mathrm{C}$とする．この放物線と$x$軸との交点で，点$\mathrm{B}$と異なる点を$\mathrm{D}$とする．点$\mathrm{C}$における放物線の接線$\ell_1$と点$\mathrm{D}$における放物線の接線$\ell_2$との交点$\mathrm{E}$の座標を，$a$を使って表せ．
(3)この放物線と直線$\ell_2$，および点$\mathrm{E}$を通り$y$軸に平行な直線で囲まれた部分の面積を求めよ．

$a$と$b$を正の実数とする．$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{B}$と$\angle \mathrm{C}$は鋭角とする．点$\mathrm{A}$を通り辺$\mathrm{BC}$に直交する直線を引き，辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{X}_1$とし，線分$\mathrm{AX}_1$の長さを$1$とする．また，$\mathrm{BX}_1=a$，$\mathrm{CX}_1=b$とする．各$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して以下の操作を行う．

辺$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{X}_n$を通り辺$\mathrm{AC}$に平行な直線を引き，辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Y}_n$とする．また，点$\mathrm{Y}_n$を通り辺$\mathrm{BC}$に平行な直線を引き，辺$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{Z}_n$とする．点$\mathrm{Z}_n$を通り辺$\mathrm{BC}$に直交する直線を引き，辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{X}_{n+1}$とする．

線分$\mathrm{Z}_n \mathrm{X}_{n+1}$の長さを$l_n$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$l_1$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$l_{n+1}$を$l_n$，$a$，$b$を用いて表せ．
(3)$b=8a$のとき，$\displaystyle l_n>\frac{1}{2}$となる最小の奇数$n$を求めよ．必要ならば，$3.169<\log_2 9<3.17$を用いてよい．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{B}$と$\angle \mathrm{C}$は鋭角とする．点$\mathrm{A}$を通り辺$\mathrm{BC}$に直交する直線を引き，辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{X}_1$とし，線分$\mathrm{AX}_1$の長さを$1$とする．また，$\mathrm{BX}_1=1$，$\mathrm{CX}_1=8$とする．各$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して以下の操作を行う．

辺$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{X}_n$を通り辺$\mathrm{AC}$に平行な直線を引き，辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Y}_n$とする．また，点$\mathrm{Y}_n$を通り辺$\mathrm{BC}$に平行な直線を引き，辺$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{Z}_n$とする．点$\mathrm{Z}_n$を通り辺$\mathrm{BC}$に直交する直線を引き，辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{X}_{n+1}$とする．

線分$\mathrm{Z}_n \mathrm{X}_{n+1}$の長さを$l_n$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$l_1$を求めよ．
(2)$l_{n+1}$を$l_n$を用いて表せ．
(3)数列$\{l_n\}$の一般項を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{B}$と$\angle \mathrm{C}$は鋭角とする．点$\mathrm{A}$を通り辺$\mathrm{BC}$に直交する直線を引き，辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{X}_1$とし，線分$\mathrm{AX}_1$の長さを$1$とする．また，$\mathrm{BX}_1=1$，$\mathrm{CX}_1=8$とする．各$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して以下の操作を行う．

辺$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{X}_n$を通り辺$\mathrm{AC}$に平行な直線を引き，辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Y}_n$とする．また，点$\mathrm{Y}_n$を通り辺$\mathrm{BC}$に平行な直線を引き，辺$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{Z}_n$とする．点$\mathrm{Z}_n$を通り辺$\mathrm{BC}$に直交する直線を引き，辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{X}_{n+1}$とする．

線分$\mathrm{Z}_n \mathrm{X}_{n+1}$の長さを$l_n$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$l_1$を求めよ．
(2)$l_{n+1}$を$l_n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle l_n>\frac{1}{2}$となる最小の奇数$n$を求めよ．必要ならば，$3.169<\log_2 9<3.17$を用いてもよい．

点$\mathrm{O}$を原点とし，$x$軸，$y$軸，$z$軸を座標軸とする座標空間において，$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{C}(1,\ 0,\ 1)$がある．点$\mathrm{A}$を中心とする$xy$平面上の半径$1$の円周上に点$\mathrm{P}$をとり，図のように$\theta=\angle \mathrm{BAP}$とおく．ただし，$\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\frac{3}{2}\pi$とする．また，直線$\mathrm{CP}$と$yz$平面の交点を$\mathrm{Q}$とおく．このとき，次の問に答えよ．
（図は省略）

(1)点$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)$\theta$の値が$\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\frac{3}{2}\pi$の範囲で変化するとき，$yz$平面における点$\mathrm{Q}$の軌跡の方程式を求め，その概形を図示せよ．

点$\mathrm{O}$を原点とし，$x$軸，$y$軸，$z$軸を座標軸とする座標空間において，$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{C}(1,\ 0,\ 1)$がある．点$\mathrm{A}$を中心とする$xy$平面上の半径$1$の円周上に点$\mathrm{P}$をとり，図のように$\theta=\angle \mathrm{BAP}$とおく．ただし，$\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\frac{3}{2}\pi$とする．また，直線$\mathrm{CP}$と$yz$平面の交点を$\mathrm{Q}$とおく．このとき，次の問に答えよ．
（図は省略）

(1)点$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)$\theta$の値が$\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\frac{3}{2}\pi$の範囲で変化するとき，$yz$平面における点$\mathrm{Q}$の軌跡の方程式を求め，その概形を図示せよ．

点$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において，$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(1,\ 1,\ 2)$を頂点とする四面体がある．点$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{ABC}$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろし，直線$\mathrm{AH}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)実数$s,\ t,\ u$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}+u \overrightarrow{c}$とおくとき，$s,\ t,\ u$を求めよ．
(2)線分$\mathrm{BP}$と線分$\mathrm{PC}$の長さの比$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}$を求めよ．
(3)線分$\mathrm{AP}$の長さを求めよ．

点$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において，$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(1,\ 1,\ 2)$を頂点とする四面体がある．点$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{ABC}$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろし，直線$\mathrm{AH}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)実数$s,\ t,\ u$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}+u \overrightarrow{c}$とおくとき，$s,\ t,\ u$を求めよ．
(2)線分$\mathrm{BP}$と線分$\mathrm{PC}$の長さの比$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}$を求めよ．
(3)線分$\mathrm{AP}$の長さを求めよ．

点$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において，$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(1,\ 1,\ 2)$を頂点とする四面体がある．点$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{ABC}$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろし，直線$\mathrm{AH}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)実数$s,\ t,\ u$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}+u \overrightarrow{c}$とおくとき，$s,\ t,\ u$を求めよ．
(2)線分$\mathrm{BP}$と線分$\mathrm{PC}$の長さの比$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}$を求めよ．
(3)線分$\mathrm{AP}$の長さを求めよ．