「交点」について
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国立 新潟大学 2015年 第3問$f(x)=x^2-2x+2$とする．放物線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$における接線を$\ell_1$とし，放物線$y=f(x)$上の点$\mathrm{Q}(p+1,\ f(p+1))$における接線を$\ell_2$とする．$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$の交点を$\mathrm{R}$とする．ただし$p$は定数である．次の問いに答えよ．
(1)直線$\ell_1,\ \ell_2$の方程式をそれぞれ$p$を用いて表せ．
(2)交点$\mathrm{R}$の座標を$p$を用いて表せ．
(3)放物線$y=f(x)$と$2$直線$\ell_1,\ \ell_2$とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)直線$\ell_1,\ \ell_2$の方程式をそれぞれ$p$を用いて表せ．
(2)交点$\mathrm{R}$の座標を$p$を用いて表せ．
(3)放物線$y=f(x)$と$2$直線$\ell_1,\ \ell_2$とで囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 横浜国立大学 2015年 第3問点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円に内接する三角形$\mathrm{ABC}$があり，
\[ 2\overrightarrow{\mathrm{OA}}+3\overrightarrow{\mathrm{OB}}+4\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
をみたしている．この円上に点$\mathrm{P}$があり，線分$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{CP}$は直交している．次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$をそれぞれ求めよ．
(2)線分$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{H}$とするとき，$\mathrm{AH}:\mathrm{HB}$を求めよ．
(3)四角形$\mathrm{APBC}$の面積を求めよ．
\[ 2\overrightarrow{\mathrm{OA}}+3\overrightarrow{\mathrm{OB}}+4\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
をみたしている．この円上に点$\mathrm{P}$があり，線分$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{CP}$は直交している．次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$をそれぞれ求めよ．
(2)線分$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{H}$とするとき，$\mathrm{AH}:\mathrm{HB}$を求めよ．
(3)四角形$\mathrm{APBC}$の面積を求めよ．
国立 横浜国立大学 2015年 第2問点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円に内接する三角形$\mathrm{ABC}$があり，
\[ 2\overrightarrow{\mathrm{OA}}+3\overrightarrow{\mathrm{OB}}+4\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
をみたしている．この円上に点$\mathrm{P}$があり，線分$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{CP}$は直交している．次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$をそれぞれ求めよ．
(2)線分$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{H}$とするとき，$\mathrm{AH}:\mathrm{HB}$を求めよ．
(3)四角形$\mathrm{APBC}$の面積を求めよ．
\[ 2\overrightarrow{\mathrm{OA}}+3\overrightarrow{\mathrm{OB}}+4\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
をみたしている．この円上に点$\mathrm{P}$があり，線分$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{CP}$は直交している．次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$をそれぞれ求めよ．
(2)線分$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{H}$とするとき，$\mathrm{AH}:\mathrm{HB}$を求めよ．
(3)四角形$\mathrm{APBC}$の面積を求めよ．
国立 旭川医科大学 2015年 第3問曲線$C:y=\sin^2 x$について，$C$上の点$\displaystyle (t,\ \sin^2 t) \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$における$C$の接線と直線$x=a$との交点を$\mathrm{P}$とする．ただし，$a$は$\displaystyle 0 \leqq a \leqq \frac{\pi}{2}$を満たす定数とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{P}$の$y$座標を$f(t)$とおくとき，$f(t)$を求めよ．
(2)関数$f(t)$の増減を調べ，その最大値と最小値を求めよ．
(3)$t$が$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，点$(t,\ \sin^2 t)$における$C$の接線が通るすべての点のうち，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$となるものの範囲を$xy$平面に図示せよ．
(1)点$\mathrm{P}$の$y$座標を$f(t)$とおくとき，$f(t)$を求めよ．
(2)関数$f(t)$の増減を調べ，その最大値と最小値を求めよ．
(3)$t$が$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，点$(t,\ \sin^2 t)$における$C$の接線が通るすべての点のうち，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$となるものの範囲を$xy$平面に図示せよ．
国立 金沢大学 2015年 第1問平面上の三角形$\mathrm{ABC}$で，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=7$，$|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|=5$，$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=6$となるものを考える．また，三角形$\mathrm{ABC}$の内部の点$\mathrm{P}$は，
\[ \overrightarrow{\mathrm{PA}}+s \overrightarrow{\mathrm{PB}}+3 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \quad (s>0) \]
を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{AC}}$とするとき，$\alpha$と$\beta$を$s$を用いて表せ．
(2)$2$直線$\mathrm{AP}$，$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{BD}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{DC}}|}$と$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{PD}}|}$を$s$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(4)三角形$\mathrm{APC}$の面積が$2 \sqrt{6}$となるような$s$の値を求めよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{PA}}+s \overrightarrow{\mathrm{PB}}+3 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \quad (s>0) \]
を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{AC}}$とするとき，$\alpha$と$\beta$を$s$を用いて表せ．
(2)$2$直線$\mathrm{AP}$，$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{BD}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{DC}}|}$と$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{PD}}|}$を$s$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(4)三角形$\mathrm{APC}$の面積が$2 \sqrt{6}$となるような$s$の値を求めよ．
国立 名古屋工業大学 2015年 第3問次の$\tocichi$，$\tocni$に答えよ．
\mon[$\tocichi$] 次の$5$つの定積分を求めよ．（$\tocni \ (4)$で用いる．）
$\displaystyle I_1=\int_0^\pi x \sin x \, dx,\quad I_2=\int_0^\pi x^2 \cos x \, dx,\quad I_3=\int_0^\pi \sin^2 x \, dx$
$\displaystyle I_4=\int_0^\pi x \cos x \sin x \, dx,\quad I_5=\int_0^\pi \sin^2 x \cos x \, dx$
\mon[$\tocni$] 関数$y=\sin x$のグラフを曲線$C$とする．$C$上の点$\mathrm{O}(0,\ 0)$における接線を$\ell_1$，点$\mathrm{A}(\pi,\ 0)$における接線を$\ell_2$とする．
$\ell_1$と$\ell_2$の交点を$\mathrm{B}$，$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ \sin t) (0 \leqq t \leqq \pi)$から$\ell_1$に下ろした垂線を$\mathrm{PQ}$とする．ただし，$t=0$のときは$\mathrm{Q}=\mathrm{P}$とする．$\mathrm{OQ}=s$とおく．
\mon[$(1)$] $\angle \mathrm{OBA}$の大きさを求めよ．
\mon[$(2)$] $s$を$t$を用いて表せ．
\mon[$(3)$] 線分$\mathrm{PQ}$の長さを$t$を用いて表せ．
\mon[$(4)$] 曲線$C$と$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$で囲まれた部分を，直線$\ell_1$の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．
\mon[$\tocichi$] 次の$5$つの定積分を求めよ．（$\tocni \ (4)$で用いる．）
$\displaystyle I_1=\int_0^\pi x \sin x \, dx,\quad I_2=\int_0^\pi x^2 \cos x \, dx,\quad I_3=\int_0^\pi \sin^2 x \, dx$
$\displaystyle I_4=\int_0^\pi x \cos x \sin x \, dx,\quad I_5=\int_0^\pi \sin^2 x \cos x \, dx$
\mon[$\tocni$] 関数$y=\sin x$のグラフを曲線$C$とする．$C$上の点$\mathrm{O}(0,\ 0)$における接線を$\ell_1$，点$\mathrm{A}(\pi,\ 0)$における接線を$\ell_2$とする．
$\ell_1$と$\ell_2$の交点を$\mathrm{B}$，$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ \sin t) (0 \leqq t \leqq \pi)$から$\ell_1$に下ろした垂線を$\mathrm{PQ}$とする．ただし，$t=0$のときは$\mathrm{Q}=\mathrm{P}$とする．$\mathrm{OQ}=s$とおく．
\mon[$(1)$] $\angle \mathrm{OBA}$の大きさを求めよ．
\mon[$(2)$] $s$を$t$を用いて表せ．
\mon[$(3)$] 線分$\mathrm{PQ}$の長さを$t$を用いて表せ．
\mon[$(4)$] 曲線$C$と$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$で囲まれた部分を，直線$\ell_1$の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．
国立 静岡大学 2015年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおき，$|\overrightarrow{b}|=1$，$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{3}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=1$であるとする．辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{AD}$に関して$\mathrm{B}$と対称な点を$\mathrm{E}$，直線$\mathrm{AE}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S_1$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(4)$\mathrm{DF}:\mathrm{BC}$を求めよ．
(5)$\triangle \mathrm{DEF}$の面積$S_2$を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S_1$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(4)$\mathrm{DF}:\mathrm{BC}$を求めよ．
(5)$\triangle \mathrm{DEF}$の面積$S_2$を求めよ．
国立 静岡大学 2015年 第1問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおき，$|\overrightarrow{b}|=1$，$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{3}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=1$であるとする．辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{AD}$に関して$\mathrm{B}$と対称な点を$\mathrm{E}$，直線$\mathrm{AE}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S_1$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(4)$\mathrm{DF}:\mathrm{BC}$を求めよ．
(5)$\triangle \mathrm{DEF}$の面積$S_2$を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S_1$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(4)$\mathrm{DF}:\mathrm{BC}$を求めよ．
(5)$\triangle \mathrm{DEF}$の面積$S_2$を求めよ．
国立 静岡大学 2015年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおき，$|\overrightarrow{b}|=1$，$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{3}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=1$であるとする．辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{AD}$に関して$\mathrm{B}$と対称な点を$\mathrm{E}$，直線$\mathrm{AE}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{DF}:\mathrm{BC}$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{DF}:\mathrm{BC}$を求めよ．
国立 東京工業大学 2015年 第2問四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{BC}=1$，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=x$とする．頂点$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{ABC}$に垂線を下ろし，平面$\mathrm{ABC}$との交点を$\mathrm{H}$とする．頂点$\mathrm{A}$から平面$\mathrm{OBC}$に垂線を下ろし，平面$\mathrm{OBC}$との交点を$\mathrm{H}^\prime$とする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=p \overrightarrow{a}+q \overrightarrow{b}+r \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OH}^\prime}=s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}$と表す．このとき，$p,\ q,\ r$および$s,\ t$を$x$の式で表せ．
(2)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を$x$の式で表せ．また，$x$が変化するときの$V$の最大値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=p \overrightarrow{a}+q \overrightarrow{b}+r \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OH}^\prime}=s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}$と表す．このとき，$p,\ q,\ r$および$s,\ t$を$x$の式で表せ．
(2)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を$x$の式で表せ．また，$x$が変化するときの$V$の最大値を求めよ．