座標平面において，曲線$y=e^x$を$C$とし，点$(1,\ 0)$を$\mathrm{P}_1$，点$\mathrm{P}_1$を通り$x$軸に垂直な直線と$C$との交点を$\mathrm{Q}_1$とする．

点$\mathrm{Q}_1$における$C$の接線と$x$軸との交点を$\mathrm{P}_2$，点$\mathrm{P}_2$を通り$x$軸に垂直な直線と$C$との交点を$\mathrm{Q}_2$とする．さらに，点$\mathrm{Q}_2$における$C$の接線と$x$軸との交点を$\mathrm{P}_3$，点$\mathrm{P}_3$を通り$x$軸に垂直な直線と$C$との交点を$\mathrm{Q}_3$とする．
以下同様の操作を繰り返し，$x$軸上の点列$\mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \mathrm{P}_3,\ \cdots$と曲線$C$上の点列$\mathrm{Q}_1,\ \mathrm{Q}_2,\ \mathrm{Q}_3,\ \cdots$を定める．
また，各自然数$n$について，曲線$C$と$2$つの線分$\mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n+1}$，$\mathrm{P}_{n+1} \mathrm{Q}_{n+1}$で囲まれた図形の面積を$S_n$として，数列
\[ S_1,\ S_2,\ \cdots,\ S_n,\ \cdots \]
を定める．次の各問に答えよ．


(1)$S_1$を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}_n$の座標を求めよ．
(3)無限級数
\[ S_1+S_2+\cdots +S_n+\cdots \]
の和を求めよ．

次の条件によって定められる数列$\{p_n\},\ \{q_n\},\ \{r_n\}$がある．

$p_1=2,\ p_{n+1}=2p_n,$
$q_1=3,\ q_{n+1}=q_n+p_n,$
$r_1=4,\ r_{n+1}=2r_n-q_n+p_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

また，点$\mathrm{C}_n(p_n,\ q_n)$を中心とし，半径が$r_n$の円を$O_n$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)数列$\{q_n\},\ \{r_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．
(2)円$O_n$は$x$軸と$2$点で交わることを示せ．
(3)円$O_n$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}_n$，$\mathrm{B}_n$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \cos \angle \mathrm{A}_n \mathrm{C}_n \mathrm{B}_n$の値を求めよ．

楕円$\displaystyle O:\frac{x^2}{3}+y^2=1$，直線$\ell:y=x-\alpha (\alpha>0)$，直線$m_t:y=-x+t$がある．楕円$O$と直線$\ell$が接しているとき，次の問いに答えよ．

(1)$\alpha$の値を求めよ．また，楕円$O$と直線$m_t$が$2$個の共有点をもつように，$t$の値の範囲を定めよ．
(2)直線$\ell$と直線$m_t$の交点を点$\mathrm{H}$とするとき，点$\mathrm{A}(0,\ -2)$と点$\mathrm{H}$との距離$s$を$t$を用いて表せ．また，楕円$O$と直線$m_t$が$2$個の共有点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$をもつとき，$(\mathrm{PH})^2-(\mathrm{QH})^2$を$t$を用いて表せ．ただし，$\mathrm{PH}>\mathrm{QH}$とする．
(3)楕円$O$を直線$\ell$のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

次の$2$つの円$C_1$と円$C_2$がある．このとき，以下の各問に答えよ．
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
C_1: & x^2+y^2-9=0 \\
C_2: & x^2-2x+y^2-6y-7=0 \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]

(1)円$C_2$の中心の座標と半径を求めよ．
(2)円$C_1$と円$C_2$の$2$つの交点を通る直線の方程式を求めよ．
(3)$(2)$で求めた直線と円$C_2$の中心との距離を求めよ．
(4)円$C_1$と円$C_2$の$2$つの交点と点$(-2,\ -2)$を通る円の方程式を求めよ．