曲線$C:y=e^x$と直線$\ell:y=x$について，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)曲線$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ e^t)$を通り，直線$\ell$と直交する直線の方程式を求めよ．
(2)$(1)$で求めた直線と直線$\ell$との交点$\mathrm{Q}$の座標を$t$で表せ．
(3)点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の距離を$t$で表せ．
(4)$(3)$で求めた距離の最小値を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とおく．このとき，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=2$，$\mathrm{AD}=\mathrm{BD}$とする．

(1)辺$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において線分$\mathrm{AB}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{N}$とする．また，$2$直線$\mathrm{CM}$と$\mathrm{BN}$の交点を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{AP}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{CM}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$をそれぞれ，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$で表せ．

以下の問いに答えよ．

$y=\sin x (0 \leqq x<2\pi) \cdots\cdots①$
$y=\cos x (0 \leqq x<2\pi) \cdots\cdots②$

(1)$①$式と$②$式で表される$2$曲線の交点の座標を求めよ．
(2)$①$式と$②$式で表される$2$曲線で囲まれる図形の面積を求めよ．

次の空欄$[ア]$～$[カ]$を適当に補え．

(1)円$x^2+y^2=3$と直線$x-y+k=0$が異なる$2$点で交わるとき，定数$k$の値の範囲は$[ア]$である．
(2)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，方程式$\cos 2x=5 \sin x-2$を解くと$x=[イ]$である．
(3)$t$を実数とする．$x$の$2$次関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}x^2-2tx+t$の最小値を$k$とする．$k$を最大にする$t$の値は$t=[ウ]$であり，そのときの$k$の値は$k=[エ]$である．
(4)$f(x)=x^3+3x^2$，$g(x)=2x^2$とする．$y=g(x)$のグラフを$x$軸方向に$-1$，$y$軸方向に$2$平行移動して得られるグラフの方程式を，$y=h(x)$とする．このとき，$y=h(x)$のグラフと$y=f(x)$のグラフの交点のうち，$x$座標の最も大きいものは$(x,\ y)=([オ],\ [カ])$である．

以下の文中の$[　]$の中にいれるべき数または式を求めよ．

(1)四角形$\mathrm{ABCD}$の$2$つの対角線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$2 \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\overrightarrow{\mathrm{PC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{BP}}=\overrightarrow{\mathrm{PD}}$をみたすとき，

(i) $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=[　] \overrightarrow{\mathrm{AD}}+[　] \overrightarrow{\mathrm{BC}}$
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{CD}}=[　] \overrightarrow{\mathrm{AD}}+[　] \overrightarrow{\mathrm{BC}}$

である．
(2)$1$回のろ過で溶液の不純物を$20 \, \%$除去できるろ過装置で，不純物を含む溶液をろ過したい．

(i) $n$回ろ過したときの不純物は元の不純物の$[　] \, \%$である．
(ii) この装置を使って不純物の$95 \, \%$以上を除去するには最低限$[　]$回のろ過操作が必要である．$\log_{10}2=0.3010$とする．

以下の問いに答えなさい．

(1)$s$を$0 \leqq s \leqq \sqrt{2}$を満たす実数とする．直線$y = x$と直線$y = -x+ \sqrt{2}s$の交点をPとする．直線$y = -x+\sqrt{2}s$と曲線$y =-x^2 +2x$の交点で$x$座標が1以下である点をQとし，Qの$x$座標を$t$とする．このとき，点Pと点Qの距離および$s$を，$t$を用いて表しなさい．
(2)直線$y = x$と曲線$y =-x^2 +2x$で囲まれた図形を直線$y = x$のまわりに回転させてできる立体の体積を求めなさい．

関数$f(x)=xe^x$について，以下の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の最小値を求めよ．
(2)$f(x)$の接線の傾きが負であるとき，接線と$x$軸との交点の$x$座標の最大値を求めよ．

Oを原点とする座標平面において，曲線$y=x^3$上の点P$(t,\ t^3)$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点をHとする．ただし，$t>0$である．Hを通り線分OPに垂直な直線と$y$軸との交点をQとし，線分HQと線分OPの交点をRとする．$\triangle$ORQの面積を$S_1$，$\triangle$HPRの面積を$S_2$とする．以下の問いに答えよ．

(1)点Qの$y$座標を求めよ．
(2)点Rの$x$座標を求めよ．
(3)$S_1$と$S_2$を$t$の式で表せ．
(4)$\displaystyle \lim_{t \to \infty} S_1S_2$の値を求めよ．
(5)$S_1+S_2$の最小値を求めよ．

$\displaystyle f(x)=\frac{4}{3+4x^2}$とする．次の問いに答えよ．

(1)直線$y=1$と曲線$y=f(x)$の交点のうち，$x$座標が正であるものをPとする．点Pにおける$y=f(x)$の接線の方程式を求めよ．
(2)直線$y=1$と曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(3)直線$y=1$と曲線$y=f(x)$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積を求めよ．