$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=5$，$\angle \mathrm{A}=60^\circ$である三角形$\mathrm{ABC}$において，点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{E}$，また線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$として，次の設問に答えよ．

(1)$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$で表せ．
(3)三角形$\mathrm{ABP}$と三角形$\mathrm{DCE}$の面積比を求めよ．

放物線$y=x^2+2ax+c$の頂点が，原点を通る傾き$-1$の直線上にある．以下の問に答えよ．

(1)放物線の$y$軸との交点の$y$座標の最小値を求めよ．
(2)$(1)$において，$x$軸との交点があればその座標を求めよ．交点のないときは「なし」と書け．

放物線$y=3x^2-30x+48$の$y$軸交点と頂点と原点を通る円の方程式は
\[ x^2+y^2-[　] x-[　] y=[　] \]
である．

下の図のように円$\mathrm{O}$に内接する$\mathrm{AC}=\mathrm{BC}$である二等辺三角形がある．直線$\mathrm{BO}$と，$\mathrm{C}$を接点とする直線および$\mathrm{AC}$との交点をそれぞれ$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$とする．$\angle \mathrm{ACB}=30^\circ$のとき，$\angle \mathrm{BDC}$を求めなさい．
（図は省略）

三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=4$，$A=120^\circ$であるとき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[　]$である．また，この三角形$\mathrm{ABC}$の$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さは$[　]$である．
（図は省略）

直線$\ell:y-2x-4=0$と，直線$\ell$に垂直で原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を通る直線$m$との交点を$\mathrm{X}$とする．点$\mathrm{X}$の座標は$[　]$であり，線分$\mathrm{OX}$の長さは$[　]$である．

正方形$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{BC}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{BD}$と線分$\mathrm{AM}$の交点を$\mathrm{N}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$で表すと，$\overrightarrow{\mathrm{AM}}=[　]$であり，$\overrightarrow{\mathrm{AN}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$で表すと，$\overrightarrow{\mathrm{AN}}=[　]$である．

$2$次関数$f(x)=x^2+2x+2,\ g(x)=x^2-2x+4,\ h(x)=2x^2$について次の問いに答えよ．

(1)放物線$y=f(x)$と$y=g(x)$の交点の$x$座標を求めよ．
(2)放物線$y=f(x)$と$y=h(x)$の交点の$x$座標を求めよ．
(3)放物線$y=g(x)$と$y=h(x)$の交点の$x$座標を求めよ．
(4)連立不等式$y \leqq f(x)$，$y \leqq g(x)$，$y \geqq h(x)$の表す領域を$D$とする．$D$の面積を$a+b \sqrt{3}+c \sqrt{5}$（ただし，$a,\ b,\ c$は有理数）とするとき，$a,\ b,\ c$の値を求めよ．

連立方程式
\[ \left\{ \begin{array}{lll}
0 \leqq y \leqq 1 & & \cdots\cdots① \\
\log_{\frac{1}{2}}(2x^2+3x-2) \geqq \log_{\frac{1}{2}}(x^2+2x) & & \cdots\cdots② \\
y^2 \leqq 2x-1 & & \cdots\cdots③ \\
4x+y-3 \geqq 0 & & \cdots\cdots④
\end{array} \right. \]
が表す領域$D$を考える．

(1)$②$の解は，$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}<x \leqq [　]$である．
(2)放物線$y^2=2x-1$と直線$4x+y-3=0$の$2$交点のうち，$y$座標が正となる交点の座標は$\displaystyle \left( \frac{[　]}{[　]},\ \frac{[　]}{[　]} \right)$である．
(3)領域$D$の面積は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$である．

$1$辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{OC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．

(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=-\frac{[　]}{[　]} \overrightarrow{a}+\frac{[　]}{[　]} \overrightarrow{b}$，$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|=\frac{\sqrt{[　]}}{[　]}$

$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PR}}=-\frac{[　]}{[　]} \overrightarrow{a}+\frac{[　]}{[　]} \overrightarrow{c}$，$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{PR}}|=\frac{\sqrt{[　]}}{[　]}$

である．
(2)$\triangle \mathrm{PQR}$の面積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[　]}}{[　]}$である．

(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，線分$\mathrm{OG}$と平面$\mathrm{PQR}$の交点を$\mathrm{D}$とする．このとき，$\displaystyle \mathrm{OG}:\mathrm{OD}=1:\frac{[　]}{[　]}$である．