座標平面上に

円$C:x^2+y^2=10$
直線$\ell:y=-x+4$

があり，円$C$と直線$\ell$の交点を$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$，$\mathrm{Q}(x_2,\ y_2)$とする．ただし，$x_1>x_2$とする．

(1)$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ求めよ．また，線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．
(2)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$における円$C$の接線をそれぞれ$\ell_1$，$\ell_2$とおく．$\ell_1$と$\ell_2$の方程式を求めよ．また，$\ell_1$，$\ell_2$の交点$\mathrm{R}$の座標と線分$\mathrm{PR}$の長さを求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$と直線$\ell$の距離$d$を求めよ．また，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積$S$を求めよ．

曲線$y=2e^{x-1}$と曲線$C:y=2 \log ax$は点$(b,\ c)$のみで接し，接線を共有する．ただし，$a,\ b,\ c$は定数とし，$b \geqq 1$とする．また，$e$は自然対数の底とする．

(1)曲線$C$と$x$軸との交点の座標を$a$の式で表せ．
(2)$t \geqq 1$のとき，$\displaystyle f(t)=e^{t-1}-\frac{1}{t}$の最小値を求めよ．さらに，$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(3)曲線$C$，$x$軸および直線$x=1$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$xy$平面上に直線
\[ (5k+3)x-(3k+5)y-10k+10=0 \]
がある．ただし，$k$は実数とする．

(1)$k=1$と$k=2$のときの直線の方程式をそれぞれ求め，さらに，これら$2$直線の交点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)$k=0$のときの直線に垂直で，かつ点$\mathrm{A}$を通る直線$\ell_1$の方程式を求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}$を結ぶ線分$\mathrm{OA}$を$2:3$に内分する点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．また，点$\mathrm{B}$を通り，直線$\ell_1$に平行な直線$\ell_2$の方程式を求めよ．

四角形$\mathrm{ABCD}$において$\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{CAD}=\theta$とする．線分$\mathrm{BD}$の中点を$\mathrm{E}$とし，線分$\mathrm{BD}$と線分$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$，$|\overrightarrow{a}|=a$，$|\overrightarrow{b}|=b$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=x \overrightarrow{a}+y \overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$x,\ y$は実数とし，$x \neq y$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$の式で表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{EC}}$を$x$，$y$，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$の式で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$a$，$b$，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$の式で表せ．さらに，$y$を$a,\ b,\ x$の式で表せ．
(3)$\angle \mathrm{CED}=90^\circ$であるとき，$\cos 2\theta$を$a,\ b,\ x,\ y$の式で表せ．

$xy$平面上に直線
\[ (5k+3)x-(3k+5)y-10k+10=0 \]
がある．ただし，$k$は実数とする．

(1)$k=1$と$k=2$のときの直線の方程式をそれぞれ求め，さらに，これら$2$直線の交点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)$k=0$のときの直線に垂直で，かつ点$\mathrm{A}$を通る直線$\ell_1$の方程式を求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}$を結ぶ線分$\mathrm{OA}$を$2:3$に内分する点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．また，点$\mathrm{B}$を通り，直線$\ell_1$に平行な直線$\ell_2$の方程式を求めよ．

四角形$\mathrm{ABCD}$において$\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{CAD}=\theta$とする．線分$\mathrm{BD}$の中点を$\mathrm{E}$とし，線分$\mathrm{BD}$と線分$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$，$|\overrightarrow{a}|=a$，$|\overrightarrow{b}|=b$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=x \overrightarrow{a}+y \overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$x,\ y$は実数とし，$x \neq y$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$の式で表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{EC}}$を$x$，$y$，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$の式で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$a$，$b$，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$の式で表せ．さらに，$y$を$a,\ b,\ x$の式で表せ．
(3)$\angle \mathrm{CED}=90^\circ$であるとき，$\cos 2\theta$を$a,\ b,\ x,\ y$の式で表せ．

$2$次関数$y=x^2+ax+b$と，この関数のグラフ$C$について，次の問いに答えよ．ただし，$a,\ b$は定数とする．

(1)$C$の頂点が$(2,\ -1)$のとき，$C$と$x$軸との交点の座標を求めよ．
(2)$C$の軸が直線$x=-1$で，$C$が点$(1,\ 1)$を通るとき，この関数の最小値を求めよ．
(3)$C$を$x$軸方向に$a$，$y$軸方向に$-a$平行移動すると，$2$点$(0,\ 0)$，$(2,\ -6)$を通る放物線になるとき，$a,\ b$の値を求めよ．
(4)この関数の$-1 \leqq x \leqq 2$における最小値が$0$，最大値が$8$であるとき，$a,\ b$の値を求めよ．

正八角形$\mathrm{ABCDEFGH}$において，$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{b}$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{HG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{AF}$と線分$\mathrm{DH}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．

$3$直線$x+y+4=0$，$5x+y+a=0$（$a$は実数），$3x-y+b=0$（$b$は実数）の異なる$3$つの交点によって作られる三角形の重心の座標が$(-1,\ 1)$であるとき，$(a+b)$の値を求めよ．

円$C:(x-6)^2+y^2=25$と直線$L:y=ax$（$a$は実数，$a>0$）について考える．$C$と$L$の$2$つの相異なる交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．$C$の中心と$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$でつくる三角形の面積が最大となる$a$を$A$とする．$\sqrt{47}A$の値を求めよ．