「交点」について
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国立 福井大学 2010年 第1問平面上に$\text{OA}=\text{OB}=1$である鋭角二等辺三角形OABがある．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とし，$k=\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$とおく．点Aから辺OBに下ろした垂線とOBとの交点をMとし，Mから辺OAに下ろした垂線とOAとの交点をNとする．さらに，線分AMと線分BNの交点をPとするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OM}}=s\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{\mathrm{ON}}=t\overrightarrow{a}$を満たす実数$s,\ t$を$k$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$k$を用いて表せ．
(3)Pが線分BNを$4:3$に内分するとき，$\triangle$OABは正三角形であることを示せ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OM}}=s\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{\mathrm{ON}}=t\overrightarrow{a}$を満たす実数$s,\ t$を$k$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$k$を用いて表せ．
(3)Pが線分BNを$4:3$に内分するとき，$\triangle$OABは正三角形であることを示せ．
国立 宮崎大学 2010年 第4問下図の$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=3:4$とする．また，$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．さらに，
線分$\mathrm{AD}$を$5:3$に内分する点を$\mathrm{E}$，
線分$\mathrm{ED}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{F}$，
線分$\mathrm{AC}$を$7:5$に内分する点を$\mathrm{G}$
とする．\\
\quad 直線$\mathrm{BE}$と辺$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{H}$とするとき，次の各問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\displaystyle \frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{HC}}$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{BH} \para \mathrm{FG}$であることを示せ．
(3)$\mathrm{FG}=7$のとき，線分$\mathrm{BE}$の長さを求めよ．
線分$\mathrm{AD}$を$5:3$に内分する点を$\mathrm{E}$，
線分$\mathrm{ED}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{F}$，
線分$\mathrm{AC}$を$7:5$に内分する点を$\mathrm{G}$
とする．\\
\quad 直線$\mathrm{BE}$と辺$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{H}$とするとき，次の各問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\displaystyle \frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{HC}}$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{BH} \para \mathrm{FG}$であることを示せ．
(3)$\mathrm{FG}=7$のとき，線分$\mathrm{BE}$の長さを求めよ．
国立 宮崎大学 2010年 第5問座標平面上に2つの円
\begin{eqnarray}
& & C_1:(x+1)^2+(y-1)^2=1 \nonumber \\
& & C_2:(x-1)^2+(y-1)^2=1 \nonumber
\end{eqnarray}
がある．不等式$y>2$が表す領域$D$内に点P$(a,\ b)$をとる．点Pから円$C_1,\ C_2$にひいた接線と$x$軸との交点をそれぞれA，Bとする．ただし，下図のように$\triangle$PABは円$C_1,\ C_2$をともに含むものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$b$を定数とするとき，辺ABの長さが最小となるのは$a=0$のときであることを示せ．
(2)点Pが領域$D$内を動くとき，$\triangle$PABの面積の最小値を求めよ．
\setlength\unitlength{1truecm}
（図は省略）
\begin{eqnarray}
& & C_1:(x+1)^2+(y-1)^2=1 \nonumber \\
& & C_2:(x-1)^2+(y-1)^2=1 \nonumber
\end{eqnarray}
がある．不等式$y>2$が表す領域$D$内に点P$(a,\ b)$をとる．点Pから円$C_1,\ C_2$にひいた接線と$x$軸との交点をそれぞれA，Bとする．ただし，下図のように$\triangle$PABは円$C_1,\ C_2$をともに含むものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$b$を定数とするとき，辺ABの長さが最小となるのは$a=0$のときであることを示せ．
(2)点Pが領域$D$内を動くとき，$\triangle$PABの面積の最小値を求めよ．
\setlength\unitlength{1truecm}
（図は省略）
国立 鳥取大学 2010年 第1問次の問いに答えよ．
(1)直線$2x+y=16 \cdots\cdots ①,\ 2x+3y=24 \cdots\cdots ②$の$x$切片と$y$切片の座標をそれぞれ求めよ．
(2)(1)で定めた直線$①$と$②$との交点の座標を求めよ．
(3)$4$つの不等式$2x+y \leqq 16,\ 2x+3y \leqq 24,\ x \geqq 0,\ y \geqq 0$の表す領域を$F$とする．$F$の面積を求めよ．
(4)点$(x,\ y)$が(3)で定めた領域$F$を動くとき，$x+y$の最大値と最小値を求めよ．
(1)直線$2x+y=16 \cdots\cdots ①,\ 2x+3y=24 \cdots\cdots ②$の$x$切片と$y$切片の座標をそれぞれ求めよ．
(2)(1)で定めた直線$①$と$②$との交点の座標を求めよ．
(3)$4$つの不等式$2x+y \leqq 16,\ 2x+3y \leqq 24,\ x \geqq 0,\ y \geqq 0$の表す領域を$F$とする．$F$の面積を求めよ．
(4)点$(x,\ y)$が(3)で定めた領域$F$を動くとき，$x+y$の最大値と最小値を求めよ．
国立 名古屋工業大学 2010年 第1問四角形ABCDは次の条件を満たす．
\mon[(i)] $\text{AB}=\text{BC}=\text{CD}=1$
\mon[(ii)] $\text{BD}=1,\ \angle \text{ABD}=90^\circ$
線分ACと線分BDとの交点をEとする．線分ABを3等分して，点Aに近い分点をMとし，点Bに近い分点をNとする．$\angle \text{CAB}=\alpha,\ \angle \text{MDN}=\beta$とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)線分の長さの比の値$\displaystyle \frac{\text{BE}}{\text{DE}}$を求めよ．
(2)$\tan \beta$の値を求めよ．
(3)$\alpha$と$\beta$の大小を判定せよ．
\mon[(i)] $\text{AB}=\text{BC}=\text{CD}=1$
\mon[(ii)] $\text{BD}=1,\ \angle \text{ABD}=90^\circ$
線分ACと線分BDとの交点をEとする．線分ABを3等分して，点Aに近い分点をMとし，点Bに近い分点をNとする．$\angle \text{CAB}=\alpha,\ \angle \text{MDN}=\beta$とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)線分の長さの比の値$\displaystyle \frac{\text{BE}}{\text{DE}}$を求めよ．
(2)$\tan \beta$の値を求めよ．
(3)$\alpha$と$\beta$の大小を判定せよ．
国立 名古屋工業大学 2010年 第4問関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{x\sqrt{x}} \ (x>1)$に対して次の問いに答えよ．必要ならば，自然対数の底$e$の値は$2<e<3$であることを用いてよい．
(1)関数$f(x)$の増減を調べよ．
(2)曲線$y=f(x)$上の点P$(t,\ f(t))$における法線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)点Pから$x$軸に下ろした垂線をPQとする．(2)で求めた法線$\ell$と$x$軸との交点をRとする．2点Q，Rの距離の最大値を求めよ．
(1)関数$f(x)$の増減を調べよ．
(2)曲線$y=f(x)$上の点P$(t,\ f(t))$における法線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)点Pから$x$軸に下ろした垂線をPQとする．(2)で求めた法線$\ell$と$x$軸との交点をRとする．2点Q，Rの距離の最大値を求めよ．
国立 徳島大学 2010年 第1問放物線$\displaystyle y=\frac{2}{3}x^2$を$C_1$とし，円$x^2+y^2=1$の$y \geqq 0$を満たす部分を$C_2$とする．$C_1$と$C_2$の交点をP，Qとし，原点をOとする．
(1)P，Qの座標を求めよ．
(2)扇形OPQの面積を求めよ．
(3)$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)P，Qの座標を求めよ．
(2)扇形OPQの面積を求めよ．
(3)$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 大分大学 2010年 第2問中心の$xyz$座標が$(0,\ 0,\ 1)$で半径が1の球$G$と点P$(0,\ -2,\ a)$に関して，点Pを通る直線が球$G$と共有点をもつとき，この直線と$xy$平面の交点全体が作る図形の外形を表す方程式を求めよ．また，その方程式が表す図形を実数$a$に関して分類せよ．
国立 大分大学 2010年 第3問曲線$y=x^2$を$C$とする．$k>0$について，直線$y=kx$を$\ell_1$とし，原点を通り直線$\ell_1$に垂直な直線を$\ell_2$とする．
(1)曲線$C$と直線$\ell_2$の交点の座標を求めなさい．
(2)曲線$C$と直線$\ell_1$とで囲まれる部分の面積を$S_1$，曲線$C$と直線$\ell_2$とで囲まれる部分の面積を$S_2$とする．$S_1,\ S_2$をそれぞれ$k$の式で表しなさい．
(3)$S_1+S_2$の最小値を求めなさい．
(1)曲線$C$と直線$\ell_2$の交点の座標を求めなさい．
(2)曲線$C$と直線$\ell_1$とで囲まれる部分の面積を$S_1$，曲線$C$と直線$\ell_2$とで囲まれる部分の面積を$S_2$とする．$S_1,\ S_2$をそれぞれ$k$の式で表しなさい．
(3)$S_1+S_2$の最小値を求めなさい．
国立 大分大学 2010年 第2問曲線$y=x^2$を$C$とする．$k>0$について，直線$y=kx$を$\ell_1$とし，原点を通り直線$\ell_1$に垂直な直線を$\ell_2$とする．
(1)曲線$C$と直線$\ell_2$の交点の座標を求めなさい．
(2)曲線$C$と直線$\ell_1$とで囲まれる部分の面積を$S_1$，曲線$C$と直線$\ell_2$とで囲まれる部分の面積を$S_2$とする．$S_1,\ S_2$をそれぞれ$k$の式で表しなさい．
(3)$S_1+S_2$の最小値を求めなさい．
(1)曲線$C$と直線$\ell_2$の交点の座標を求めなさい．
(2)曲線$C$と直線$\ell_1$とで囲まれる部分の面積を$S_1$，曲線$C$と直線$\ell_2$とで囲まれる部分の面積を$S_2$とする．$S_1,\ S_2$をそれぞれ$k$の式で表しなさい．
(3)$S_1+S_2$の最小値を求めなさい．