「交点」について
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国立 三重大学 2010年 第2問四面体OABCは，$\text{OA}=\sqrt{5},\ \text{OB}=\text{OC}=5,\ \text{AB}=\text{AC}=\sqrt{30},\ \text{BC}=5\sqrt{2}$を満たすものとする．辺OBを$2:1$に外分する点をD，辺OCを$3:2$に外分する点をEとする．Oから直線DEに引いた垂線と直線BCとの交点をFとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$として，次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)線分OFの長さと線分AFの長さおよび$\cos \angle \text{OFA}$の値を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)線分OFの長さと線分AFの長さおよび$\cos \angle \text{OFA}$の値を求めよ．
国立 三重大学 2010年 第2問平面上の点A$(-3,\ -1)$，B$(-1,\ -2)$，C$(3,\ 1)$，D$(0,\ 5)$を考える．またEを線分ACとBDの交点とする．このとき次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の大きさおよび$\cos \angle\text{BAC}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{BD}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{BA}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を満たす定数$\alpha,\ \beta$を求めよ．また比$\text{AE}:\text{EC}$を求めよ．
(3)$\triangle$ABEと$\triangle$CDEの面積の和を$S_1$，$\triangle$BCEと$\triangle$DAEの面積の和を$S_2$とするとき，比$S_1:S_2$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の大きさおよび$\cos \angle\text{BAC}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{BD}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{BA}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を満たす定数$\alpha,\ \beta$を求めよ．また比$\text{AE}:\text{EC}$を求めよ．
(3)$\triangle$ABEと$\triangle$CDEの面積の和を$S_1$，$\triangle$BCEと$\triangle$DAEの面積の和を$S_2$とするとき，比$S_1:S_2$を求めよ．
国立 三重大学 2010年 第3問平面上の点A$(-3,\ -1)$，B$(-1,\ -2)$，C$(3,\ 1)$，D$(0,\ 5)$を考える．またEを線分ACとBDの交点とする．このとき次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の大きさおよび$\cos \angle\text{BAC}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{BD}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{BA}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を満たす定数$\alpha,\ \beta$を求めよ．また比$\text{AE}:\text{EC}$を求めよ．
(3)$\triangle$ABEと$\triangle$CDEの面積の和を$S_1$，$\triangle$BCEと$\triangle$DAEの面積の和を$S_2$とするとき，比$S_1:S_2$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の大きさおよび$\cos \angle\text{BAC}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{BD}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{BA}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を満たす定数$\alpha,\ \beta$を求めよ．また比$\text{AE}:\text{EC}$を求めよ．
(3)$\triangle$ABEと$\triangle$CDEの面積の和を$S_1$，$\triangle$BCEと$\triangle$DAEの面積の和を$S_2$とするとき，比$S_1:S_2$を求めよ．
国立 三重大学 2010年 第3問平面上の点A$(-3,\ -1)$，B$(-1,\ -2)$，C$(3,\ 1)$，D$(0,\ 5)$を考える．またEを線分ACとBDの交点とする．このとき次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の大きさおよび$\cos \angle\text{BAC}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{BD}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{BA}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を満たす定数$\alpha,\ \beta$を求めよ．また比$\text{AE}:\text{EC}$を求めよ．
(3)$\triangle$ABEと$\triangle$CDEの面積の和を$S_1$，$\triangle$BCEと$\triangle$DAEの面積の和を$S_2$とするとき，比$S_1:S_2$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の大きさおよび$\cos \angle\text{BAC}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{BD}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{BA}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を満たす定数$\alpha,\ \beta$を求めよ．また比$\text{AE}:\text{EC}$を求めよ．
(3)$\triangle$ABEと$\triangle$CDEの面積の和を$S_1$，$\triangle$BCEと$\triangle$DAEの面積の和を$S_2$とするとき，比$S_1:S_2$を求めよ．
国立 宮崎大学 2010年 第1問座標平面に原点O$(0,\ 0)$，点A$(-1,\ 3)$，点B$(4,\ 8)$がある．さらに，2次関数$y=f(x)$のグラフ$G$と円$C$はそれぞれ3点O，A，Bを通るものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$f(x)$を求めよ．
(2)円$C$の中心の座標および半径を求めよ．
(3)グラフ$G$と円$C$との交点のうち，3点O，A，B以外の点の座標を求めよ．
(1)$f(x)$を求めよ．
(2)円$C$の中心の座標および半径を求めよ．
(3)グラフ$G$と円$C$との交点のうち，3点O，A，B以外の点の座標を求めよ．
国立 宮崎大学 2010年 第3問座標平面上に点A$(0,\ 2)$と曲線$C:y=x^2$がある．
曲線$C$上に点P$(a,\ a^2) \ (1 \leqq a <2)$をとる．また，点Pを通り傾き1の直線と曲線$C$との交点のうち，点Pと異なる点をQとする．$\triangle$PAQの面積を$S$とおくとき，次の各問に答えよ．
(1)$S$を，$a$を用いて表せ．
(2)$S$の最大値とそのときの$a$の値を求めよ．
(3)直線PQと曲線$C$で囲まれる部分の面積が，$S$と等しくなる$a$の値を求めよ．
曲線$C$上に点P$(a,\ a^2) \ (1 \leqq a <2)$をとる．また，点Pを通り傾き1の直線と曲線$C$との交点のうち，点Pと異なる点をQとする．$\triangle$PAQの面積を$S$とおくとき，次の各問に答えよ．
(1)$S$を，$a$を用いて表せ．
(2)$S$の最大値とそのときの$a$の値を求めよ．
(3)直線PQと曲線$C$で囲まれる部分の面積が，$S$と等しくなる$a$の値を求めよ．
国立 宮崎大学 2010年 第1問座標平面に原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，点$\mathrm{A}(-1,\ 3)$，点$\mathrm{B}(4,\ 8)$がある．さらに，2次関数$y=f(x)$のグラフ$G$と円$C$はそれぞれ3点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通るものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$f(x)$を求めよ．
(2)円$C$の中心の座標および半径を求めよ．
(3)グラフ$G$と円$C$との交点のうち，3点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$以外の点の座標を求めよ．
(1)$f(x)$を求めよ．
(2)円$C$の中心の座標および半径を求めよ．
(3)グラフ$G$と円$C$との交点のうち，3点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$以外の点の座標を求めよ．
国立 宮崎大学 2010年 第2問座標平面に原点O$(0,\ 0)$，点A$(-1,\ 3)$，点B$(4,\ 8)$がある．さらに，2次関数$y=f(x)$のグラフ$G$と円$C$はそれぞれ3点O，A，Bを通るものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$f(x)$を求めよ．
(2)円$C$の中心の座標および半径を求めよ．
(3)グラフ$G$と円$C$との交点のうち，3点O，A，B以外の点の座標を求めよ．
(1)$f(x)$を求めよ．
(2)円$C$の中心の座標および半径を求めよ．
(3)グラフ$G$と円$C$との交点のうち，3点O，A，B以外の点の座標を求めよ．
国立 熊本大学 2010年 第1問原点をOとし，空間内に3点A$(4,\ 0,\ 0)$，B$(1,\ 2,\ 0)$，C$(2,\ 1,\ 2)$をとる．線分BCを$t:(1-t) \ (0<t<1)$に内分する点をPとおく．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\triangle$OAPの面積を最小にする$t$の値を求めよ．
(2)Cを通り，3点O，A，Pを通る平面に垂直な直線と$xy$平面との交点をDとする．Dが$\triangle$OABの内部にあるとき，$t$の範囲を求めよ．
(1)$\triangle$OAPの面積を最小にする$t$の値を求めよ．
(2)Cを通り，3点O，A，Pを通る平面に垂直な直線と$xy$平面との交点をDとする．Dが$\triangle$OABの内部にあるとき，$t$の範囲を求めよ．
国立 長崎大学 2010年 第2問正三角形ABCにおいて，線分ABを$2:1$に内分する点をD，線分BCの中点をE，点Eから直線ABに引いた垂線とABの交点をHとする．また，$\overrightarrow{\mathrm{HB}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{HE}}=\overrightarrow{b}$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AH}},\ \overrightarrow{\mathrm{DB}}$を$\overrightarrow{a}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)線分HE上の点Fが$\overrightarrow{\mathrm{AF}} \perp \overrightarrow{\mathrm{CD}}$を満たすとき，Fは線分EHを$2:1$に内分することを示せ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AH}},\ \overrightarrow{\mathrm{DB}}$を$\overrightarrow{a}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)線分HE上の点Fが$\overrightarrow{\mathrm{AF}} \perp \overrightarrow{\mathrm{CD}}$を満たすとき，Fは線分EHを$2:1$に内分することを示せ．