座標平面内において，楕円$\displaystyle x^2+\frac{y^2}{3}=1$の$x \geqq 0,\ y \geqq 0$の部分の曲線を$C$とする．$x_0>0,\ y_0>0$とし，曲線$C$上に点P$(x_0,\ y_0)$をとり，点Pにおける曲線$C$の法線を$\ell$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$\ell$と$x$軸との交点を$(x_1,\ 0)$とするとき，$x_1$を$x_0,\ y_0$を用いて表せ．
(2)$x_0=\cos \theta,\ y_0=\sqrt{3}\sin \theta$と表す．このとき，曲線$C$と直線$\ell$および$x$軸とで囲まれた部分の面積$S(\theta)$を$\theta$を用いて表せ．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．
(3)$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，(2)で求めた面積$S(\theta)$の最大値を求めよ．

$xy$平面上の原点O，定点A$(a,\ 0) \ (a>0)$，定点B$(0,\ b) \ (b>0)$を頂点とする直角三角形OABがある．直角三角形OAB内の点M$(p,\ q)$から辺OA，OB，ABに引いた垂線と各辺との交点をそれぞれE，F，Gとする．

(1)$L=\text{ME} \cdot \text{MF} \cdot \text{MG}$とおいたとき，$L$を$a,\ b,\ p,\ q$で表せ．
(2)$L$において，$q$を固定し，$p$を変数としたとき，$L$の最大値$L_1$を$a,\ b,\ q$で表せ．
(3)$L_1$において，$q$を変数としたとき，$L_1$の最大値$L_2$を$a,\ b$で表せ．

点$\mathrm{O}$を中心とする半径$r$の円の内部にある点を$\mathrm{A}$とする．この円周上の点$\mathrm{P}$について，線分$\mathrm{AP}$の垂直二等分線と直線$\mathrm{OP}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{P}$がこの円周上を動くとき，点$\mathrm{Q}$が描く軌跡を求めよ．

放物線$y=x^2+2x$と直線$y=-x+4$について，次の問いに答えなさい．

(1)放物線と直線のグラフを描きなさい．
(2)放物線と直線の交点の座標を求めなさい．
(3)放物線と直線によって囲まれた部分の面積を求めなさい．

四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$と辺$\mathrm{BC}$を$t:(1-t)$に内分する点を，それぞれ$\mathrm{D}$と$\mathrm{F}$とする．また，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{CO}$を$\displaystyle \frac{t}{3}:\left( 1-\frac{t}{3} \right)$に内分する点を，それぞれ$\mathrm{E}$と$\mathrm{G}$とする．ただし，$0<t<1$である．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$としたとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ t$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を表せ．
(2)$\displaystyle t=\frac{3}{4}$のとき，$4$点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$が同一平面上に存在することを示せ．
(3)$(2)$のとき，線分$\mathrm{DF}$と線分$\mathrm{EG}$の交点を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を表せ．

平面上の点$\mathrm{A}$を中心とする半径$a$の円から，中心角が${60}^\circ$で$\mathrm{AP}=\mathrm{AQ}=a$となる扇形$\mathrm{APQ}$を切り取る．つぎに線分$\mathrm{AP}$と$\mathrm{AQ}$を貼り合わせて，$\mathrm{A}$を頂点とする直円錐$K$を作り，これを点$\mathrm{O}$を原点とする座標空間におく．

$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$はそれぞれ$z$軸，$x$軸上の正の位置にとり，扇形$\mathrm{APQ}$の弧$\mathrm{PQ}$は$xy$平面上の$\mathrm{O}$を中心とする円$S$になるようにする．
また弦$\mathrm{PQ}$から定まる$K$の側面上の曲線を$C$とする．
（図は省略）
以下の問いに答えよ．

(1)$S$の半径を$b$とする．$S$上の点$\mathrm{R}(b \cos \theta,\ b \sin \theta,\ 0) (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$に対し，$K$上の母線$\mathrm{AR}$と$C$の交点を$\mathrm{M}$とする．$b$と線分$\mathrm{AM}$の長さを$a$と$\theta$を用いて表せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$を$xy$平面に正射影したベクトルの長さを$r$とする．$r$を$a$と$\theta$を用いて表し，定積分
\[ \int_0^{2\pi} \frac{1}{2} \{r(\theta)\}^2 \, d\theta \]
を求めよ．ただし，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=(a_1,\ a_2,\ a_3)$を$xy$平面に{\bf 正射影したベクトル}とは$\overrightarrow{\mathrm{OE}^\prime}=(a_1,\ a_2,\ 0)$のことである．

$t>0$とする．平面上に$\triangle \mathrm{OAB}$と点$\mathrm{P}$がある．$\mathrm{P}$は$(2-t) \overrightarrow{\mathrm{PO}}+2(1-t) \overrightarrow{\mathrm{PA}}+3t \overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たす．直線$\mathrm{OP}$と直線$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{C}$とする．$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=a$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=b$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|}$を$t$を用いて表せ．

(2)線分$\mathrm{OC}$が$\angle \mathrm{AOB}$の$2$等分線となるとき，$\mathrm{C}$は辺$\mathrm{AB}$を$a:b$に内分する点であることを示せ．
(3)$(2)$のとき，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S_1$，$\triangle \mathrm{PAB}$の面積を$S_2$とする．$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を$a,\ b$を用いて表せ．

次の各問に答えよ．

(1)座標平面上で，点$(1,\ 2)$を通り傾き$a$の直線と放物線$y=x^2$によって囲まれる部分の面積を$S(a)$とする．$a$が$0 \leqq a \leqq 6$の範囲を変化するとき，$S(a)$を最小にするような$a$の値を求めよ．
(2)$\triangle$ABCにおいて$\text{AB}=2,\ \text{AC}=1$とする．$\angle \text{BAC}$の二等分線と辺BCの交点をDとする．$\text{AD}=\text{BD}$となるとき，$\triangle$ABCの面積を求めよ．

$xy$平面上に2つの曲線
\[ C_1:y=\sqrt{3}\sin x (0 \leqq x \leqq 2\pi), \quad C_2:y=\cos x (0 \leqq x \leqq 2\pi) \]
がある．このとき以下の問に答えよ．

(1)曲線$C_1,\ C_2$のグラフをかけ．
(2)$C_1$と$C_2$の交点の座標を求めよ．
(3)$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

$xy$平面上の四角形OABCにおいて，対角線OBを考え，$\angle \text{AOB}$の二等分線と$\angle \text{OAB}$の二等分線の交点をI，$\angle \text{BOC}$の二等分線と$\angle \text{OCB}$の二等分線の交点を$\text{I}^\prime$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=a,\ |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=b,\ |\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=p$とするとき，これらを用いて$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を表せ．
(2)4点O，A，B，CをO$(0,\ 0)$, A$(1,\ 1)$, B$\displaystyle (\frac{3-\sqrt{3}}{2},\ \frac{3+\sqrt{3}}{2})$, C$(-\sqrt{3},\ \sqrt{3})$と定める．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\text{I\,I}^\prime}$がなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．