「交点」について
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私立 慶應義塾大学 2016年 第5問四面体$\mathrm{OABC}$の$4$つの面はすべて合同であり，$\mathrm{OA}=\sqrt{10}$，$\mathrm{OB}=2$，$\mathrm{OC}=3$であるとする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=[ニ]$であり，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[ヌ]$である．
いま，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$は$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=[ネ]$と表される．また，四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$[ノ]$である．
次に，線分$\mathrm{AH}$と線分$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$，点$\mathrm{P}$から線分$\mathrm{AC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PQ}$とすると，$\mathrm{PQ}$の長さは$[ハ]$である．また，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通り平面$\alpha$に垂直な平面による四面体$\mathrm{OABC}$の切り口の面積は$[ヒ]$である．
（図は省略）
いま，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$は$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=[ネ]$と表される．また，四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$[ノ]$である．
次に，線分$\mathrm{AH}$と線分$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$，点$\mathrm{P}$から線分$\mathrm{AC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PQ}$とすると，$\mathrm{PQ}$の長さは$[ハ]$である．また，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通り平面$\alpha$に垂直な平面による四面体$\mathrm{OABC}$の切り口の面積は$[ヒ]$である．
（図は省略）
私立 早稲田大学 2016年 第1問次の問に答えよ．
(1)直線$-2x+4y+5=0$を$\ell$とする．点$\mathrm{A}(2,\ 4)$を通り，直線$\ell$に垂直な直線を$m$とし，同じく点$\mathrm{A}$を通り，$x$軸に平行な直線を$n$とする．直線$\ell$と直線$m$の交点を$\mathrm{B}$とし，直線$\ell$と直線$n$の交点を$\mathrm{C}$とするとき，次の各問いに答えよ．
(i) 点$\mathrm{B}$の座標は$([ア],\ [イ])$である．
(ii) 線分$\mathrm{AB}$の長さは$[ウ]$である．
(iii) 直線$\ell$上で線分$\mathrm{CB}$を$2:1$に外分する点を$\mathrm{D}$とし，直線$m$上で線分$\mathrm{AB}$を$3:2$に外分する点を$\mathrm{E}$とするとき，四角形$\mathrm{ACED}$の面積は$[エ]$である．
(2)座標平面上に定点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$と$\mathrm{B}(1,\ 0)$が与えられているとし，動点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は，それぞれ$\mathrm{A}$および$\mathrm{B}$とは一致しないところを動くものとするとき，次の各問いに答えよ．
(i) 点$\mathrm{P}(x,\ y)$が$\angle \mathrm{APB}={90}^\circ$を満たすように動くとき，点$\mathrm{P}$の$y$座標の最大値は$[オ]$である．
(ii) 点$\mathrm{Q}(x,\ y)$が$\angle \mathrm{AQB}={120}^\circ$を満たすように動くとき，点$\mathrm{Q}$の$y$座標の最大値は$[カ]$であり，また，点$\mathrm{Q}$が動いてできる曲線に$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を付け加えた曲線を$C$とすると，曲線$C$が囲む部分の面積は$[キ]$である．
(3)$a$を正の実数とし，$\displaystyle a \neq \frac{1}{2}$であるとする．曲線$C:y=x^2-2x$上の$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を考える．点$\mathrm{P}$の座標を$\displaystyle \left( \frac{3}{2},\ -\frac{3}{4} \right)$とし，点$\mathrm{Q}$の座標を$(a+1,\ a^2-1)$とする．点$\mathrm{P}$を通り$\mathrm{P}$における$C$の接線に直交する直線を$\ell$とし，点$\mathrm{Q}$を通り$\mathrm{Q}$における$C$の接線に直交する直線を$m$とする．$2$直線$\ell$と$m$の交点が曲線$C$上にあるとき，次の各問いに答えよ．
(i) $a$の値は$[ク]$である．
(ii) $2$直線$\ell$，$m$と曲線$C$とで囲まれた領域で$x \geqq 0$を満たす部分の面積は$[ケ]$である．
(1)直線$-2x+4y+5=0$を$\ell$とする．点$\mathrm{A}(2,\ 4)$を通り，直線$\ell$に垂直な直線を$m$とし，同じく点$\mathrm{A}$を通り，$x$軸に平行な直線を$n$とする．直線$\ell$と直線$m$の交点を$\mathrm{B}$とし，直線$\ell$と直線$n$の交点を$\mathrm{C}$とするとき，次の各問いに答えよ．
(i) 点$\mathrm{B}$の座標は$([ア],\ [イ])$である．
(ii) 線分$\mathrm{AB}$の長さは$[ウ]$である．
(iii) 直線$\ell$上で線分$\mathrm{CB}$を$2:1$に外分する点を$\mathrm{D}$とし，直線$m$上で線分$\mathrm{AB}$を$3:2$に外分する点を$\mathrm{E}$とするとき，四角形$\mathrm{ACED}$の面積は$[エ]$である．
(2)座標平面上に定点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$と$\mathrm{B}(1,\ 0)$が与えられているとし，動点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は，それぞれ$\mathrm{A}$および$\mathrm{B}$とは一致しないところを動くものとするとき，次の各問いに答えよ．
(i) 点$\mathrm{P}(x,\ y)$が$\angle \mathrm{APB}={90}^\circ$を満たすように動くとき，点$\mathrm{P}$の$y$座標の最大値は$[オ]$である．
(ii) 点$\mathrm{Q}(x,\ y)$が$\angle \mathrm{AQB}={120}^\circ$を満たすように動くとき，点$\mathrm{Q}$の$y$座標の最大値は$[カ]$であり，また，点$\mathrm{Q}$が動いてできる曲線に$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を付け加えた曲線を$C$とすると，曲線$C$が囲む部分の面積は$[キ]$である．
(3)$a$を正の実数とし，$\displaystyle a \neq \frac{1}{2}$であるとする．曲線$C:y=x^2-2x$上の$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を考える．点$\mathrm{P}$の座標を$\displaystyle \left( \frac{3}{2},\ -\frac{3}{4} \right)$とし，点$\mathrm{Q}$の座標を$(a+1,\ a^2-1)$とする．点$\mathrm{P}$を通り$\mathrm{P}$における$C$の接線に直交する直線を$\ell$とし，点$\mathrm{Q}$を通り$\mathrm{Q}$における$C$の接線に直交する直線を$m$とする．$2$直線$\ell$と$m$の交点が曲線$C$上にあるとき，次の各問いに答えよ．
(i) $a$の値は$[ク]$である．
(ii) $2$直線$\ell$，$m$と曲線$C$とで囲まれた領域で$x \geqq 0$を満たす部分の面積は$[ケ]$である．
私立 早稲田大学 2016年 第2問座標空間において，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}(0,\ 0,\ 2)$を直径の両端とする球面を$\mathrm{S}$とする．また$xy$平面上に放物線$\mathrm{C}:y=x^2-2$を描き，$\mathrm{C}$上に点$\mathrm{R}$をとる．線分$\mathrm{PR}$と球面$\mathrm{S}$の交点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{Q}$から$xy$平面に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．このとき，以下の問に答えよ．
(1)原点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{R}$までの距離を$r$とするとき，線分$\mathrm{QR}$の長さを$r$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{QH}$の長さを$h$，点$\mathrm{R}$の座標を$(x,\ y,\ 0)$とするとき，$h \geqq 1$である場合に$x$がとる値の範囲を求めよ．
(3)点$\mathrm{R}$が放物線$\mathrm{C}$上のすべての点を動くとき，$h$を最小にする$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
（図は省略）
(1)原点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{R}$までの距離を$r$とするとき，線分$\mathrm{QR}$の長さを$r$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{QH}$の長さを$h$，点$\mathrm{R}$の座標を$(x,\ y,\ 0)$とするとき，$h \geqq 1$である場合に$x$がとる値の範囲を求めよ．
(3)点$\mathrm{R}$が放物線$\mathrm{C}$上のすべての点を動くとき，$h$を最小にする$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
（図は省略）
私立 早稲田大学 2016年 第3問曲線$C:y=x^2$上の点を$\mathrm{P}$とする．ただし$\mathrm{P}$の$x$座標は正とする．点$\mathrm{P}$における$C$の接線を$\ell$，点$\mathrm{P}$を通り$\ell$に垂直な直線を$m$とする．直線$m$と曲線$C$が$\mathrm{P}$とは異なる交点をもつとき，その点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{P}$が曲線$C$上を動くとき，以下の問に答えよ．
(1)点$\mathrm{Q}$における$C$の接線を$n$とし，$\ell$と$n$との交点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{R}$の座標を$(p,\ q)$とするとき
\[ q=\frac{[キ]}{[ク]p^2}+\frac{[ケ]}{[コ]} \]
が成り立つ．
(2)曲線$C$と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれる部分の面積の最小値は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$であり，そのときの点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標は
\[ \mathrm{P} \left( \frac{[ス]}{[セ]},\ \frac{[ソ]}{[タ]} \right),\quad \mathrm{Q} \left( \frac{[チ]}{[ツ]},\ \frac{[テ]}{[ト]} \right) \]
である．
(1)点$\mathrm{Q}$における$C$の接線を$n$とし，$\ell$と$n$との交点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{R}$の座標を$(p,\ q)$とするとき
\[ q=\frac{[キ]}{[ク]p^2}+\frac{[ケ]}{[コ]} \]
が成り立つ．
(2)曲線$C$と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれる部分の面積の最小値は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$であり，そのときの点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標は
\[ \mathrm{P} \left( \frac{[ス]}{[セ]},\ \frac{[ソ]}{[タ]} \right),\quad \mathrm{Q} \left( \frac{[チ]}{[ツ]},\ \frac{[テ]}{[ト]} \right) \]
である．
私立 早稲田大学 2016年 第3問曲線$C:y=x^2$上の点を$\mathrm{P}$とする．ただし$\mathrm{P}$の$x$座標は正とする．点$\mathrm{P}$における$C$の接線を$\ell$，点$\mathrm{P}$を通り$\ell$に垂直な直線を$m$とする．直線$m$と曲線$C$が$\mathrm{P}$とは異なる交点をもつとき，その点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{P}$が曲線$C$上を動くとき，以下の問に答えよ．
(1)点$\mathrm{Q}$における$C$の接線を$n$とし，$\ell$と$n$との交点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{R}$の座標を$(p,\ q)$とするとき
\[ q=\frac{[キ]}{[ク]p^2}+\frac{[ケ]}{[コ]} \]
が成り立つ．
(2)曲線$C$と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれる部分の面積の最小値は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$であり，そのときの点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標は
\[ \mathrm{P} \left( \frac{[ス]}{[セ]},\ \frac{[ソ]}{[タ]} \right),\quad \mathrm{Q} \left( \frac{[チ]}{[ツ]},\ \frac{[テ]}{[ト]} \right) \]
である．
(1)点$\mathrm{Q}$における$C$の接線を$n$とし，$\ell$と$n$との交点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{R}$の座標を$(p,\ q)$とするとき
\[ q=\frac{[キ]}{[ク]p^2}+\frac{[ケ]}{[コ]} \]
が成り立つ．
(2)曲線$C$と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれる部分の面積の最小値は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$であり，そのときの点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標は
\[ \mathrm{P} \left( \frac{[ス]}{[セ]},\ \frac{[ソ]}{[タ]} \right),\quad \mathrm{Q} \left( \frac{[チ]}{[ツ]},\ \frac{[テ]}{[ト]} \right) \]
である．
私立 同志社大学 2016年 第2問平面上の$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\angle \mathrm{OAB}$の二等分線と線分$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{P}$，$\angle \mathrm{OBA}$の二等分線と線分$\mathrm{OA}$との交点を$\mathrm{Q}$とおく．直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BQ}$との交点を$\mathrm{R}$とおく．$\mathrm{OA}=x$，$\mathrm{OB}=y$，$\mathrm{AB}=1$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と平行で向きが同じである単位ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{u}$，$\overrightarrow{v}$とおく．このとき次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$x,\ y,\ \overrightarrow{v}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$x,\ y,\ \overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$を用いて表せ．
(3)直線$\mathrm{OR}$と直線$\mathrm{AB}$が垂直であるとき，直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{PQ}$が平行となることを示せ．
(4)$2 \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=-1$であり，$x,\ y$が変化するとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$の大きさが最大となるときの$x,\ y$の値と$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$の大きさをそれぞれ求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$x,\ y,\ \overrightarrow{v}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$x,\ y,\ \overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$を用いて表せ．
(3)直線$\mathrm{OR}$と直線$\mathrm{AB}$が垂直であるとき，直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{PQ}$が平行となることを示せ．
(4)$2 \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=-1$であり，$x,\ y$が変化するとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$の大きさが最大となるときの$x,\ y$の値と$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$の大きさをそれぞれ求めよ．
私立 早稲田大学 2016年 第2問三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とおく．また，$\mathrm{C}$を通り$\mathrm{AD}$と平行な直線と辺$\mathrm{BA}$の延長との交点を$\mathrm{E}$とおく．
ベクトルを$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{c}$，辺の長さを$\mathrm{AC}=b$，$\mathrm{AB}=c$，角を$\angle \mathrm{BAC}=\theta$として，次の問に答えよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CE}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ b,\ c$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \cos \frac{\theta}{2}=p$とおく．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CE}}$の絶対値$f=|\overrightarrow{\mathrm{CE|}}$を$b,\ c,\ p$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{BCE}$の重心を$\mathrm{G}$とおく．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BG}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ b,\ c$を用いて表せ．
(4)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$が互いに直交するとき，$\cos \theta$を$b,\ c$を用いて表せ．
ベクトルを$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{c}$，辺の長さを$\mathrm{AC}=b$，$\mathrm{AB}=c$，角を$\angle \mathrm{BAC}=\theta$として，次の問に答えよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CE}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ b,\ c$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \cos \frac{\theta}{2}=p$とおく．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CE}}$の絶対値$f=|\overrightarrow{\mathrm{CE|}}$を$b,\ c,\ p$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{BCE}$の重心を$\mathrm{G}$とおく．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BG}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ b,\ c$を用いて表せ．
(4)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$が互いに直交するとき，$\cos \theta$を$b,\ c$を用いて表せ．
私立 久留米大学 2016年 第1問座標平面上の$2$直線$mx-y+1=0$，$x+my-m-2=0$の交点を$\mathrm{P}$とする．ここで，$m$は実数とする．
(1)$m$の値が変化するとき，点$\mathrm{P}$が描く軌跡の方程式は$[$1$]$である．ただし，点$(0,\ 1)$を含まない．
(2)$m$の値が$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} \leqq m \leqq 1$のとき，点$\mathrm{P}$が描く曲線の長さは$[$2$]$である．
(1)$m$の値が変化するとき，点$\mathrm{P}$が描く軌跡の方程式は$[$1$]$である．ただし，点$(0,\ 1)$を含まない．
(2)$m$の値が$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} \leqq m \leqq 1$のとき，点$\mathrm{P}$が描く曲線の長さは$[$2$]$である．
私立 学習院大学 2016年 第3問曲線$C:y=x^3-x$上に，原点とは異なる点$\mathrm{P}$がある．$\mathrm{P}$での$C$の接線を$\ell$とし，$\ell$と$C$の交点で$\mathrm{P}$以外のものを$\mathrm{Q}$とする．さらに，原点を通り$\ell$に平行な直線を$m$とする．
(1)$m$と$C$は相異なる$3$点で交わることを示せ．
(2)$m$と$C$の原点以外の交点を$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とするとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{RS}}$を求めよ．
(1)$m$と$C$は相異なる$3$点で交わることを示せ．
(2)$m$と$C$の原点以外の交点を$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とするとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{RS}}$を求めよ．
私立 東北医科薬科大学 2016年 第3問放物線$y=1-4x^2$上の点$\mathrm{P}(a,\ b)$と，この放物線の点$\mathrm{P}$を通る接線を$\ell$とおく．また，直線$\ell$と放物線$y=-x^2+2x+4$とで囲まれる図形の面積を$S(a)$とおく．このとき，次の問に答えなさい．
(1)$a=0$のとき，接線$\ell$と放物線$y=-x^2+2x+4$の交点の$x$座標は$x=[アイ]$，$[ウ]$である．また，$\displaystyle S(0)=\frac{[エオ]}{[カ]}$である．
(2)$0 \leqq b$となるような$a$の値の範囲は$\displaystyle \frac{[キク]}{[ケ]} \leqq a \leqq \frac{[コ]}{[サ]}$である．
(3)接線$\ell$の方程式は$y=-[シ]ax+[ス]a^2+[セ]$であり，
$\displaystyle S(a)=\frac{[ソタ]}{[チ]} \left( [ツ]a^2+[テ]a+[ト] \right)^{\frac{\mkakko{ナ}}{\mkakko{ニ}}}$となる．
また$S(a)$が最小となるのは$\displaystyle a=\frac{[ヌネ]}{[ノ]}$のときである．
(1)$a=0$のとき，接線$\ell$と放物線$y=-x^2+2x+4$の交点の$x$座標は$x=[アイ]$，$[ウ]$である．また，$\displaystyle S(0)=\frac{[エオ]}{[カ]}$である．
(2)$0 \leqq b$となるような$a$の値の範囲は$\displaystyle \frac{[キク]}{[ケ]} \leqq a \leqq \frac{[コ]}{[サ]}$である．
(3)接線$\ell$の方程式は$y=-[シ]ax+[ス]a^2+[セ]$であり，
$\displaystyle S(a)=\frac{[ソタ]}{[チ]} \left( [ツ]a^2+[テ]a+[ト] \right)^{\frac{\mkakko{ナ}}{\mkakko{ニ}}}$となる．
また$S(a)$が最小となるのは$\displaystyle a=\frac{[ヌネ]}{[ノ]}$のときである．