座標平面上に曲線$C:y=-x^2$および，$C$上の$2$点$\mathrm{A}(a,\ -a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ -b^2)$（ただし$a<b$）を考える．$\mathrm{A}$における$C$の接線を$\ell$，$\mathrm{B}$における$C$の接線を$m$とする．$2$直線$\ell$，$m$の交点を$\mathrm{P}(x,\ y)$とする．

(1)$\mathrm{P}(x,\ y)$の各座標を$a,\ b$で表すと，
\[ x=\frac{[ク]}{[ケ]}a+\frac{[コ]}{[サ]}b,\quad y=[シ]ab \]
である．
(2)$\ell$と$m$が直交するように$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が$C$上を動くとき，$\mathrm{P}(x,\ y)$は常に
\[ [ス]x+[セ]y-1=0 \]
を満たす．
(3)$\angle \mathrm{APB}=135^\circ$であるように$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が$C$上を動くとき，$\mathrm{P}(x,\ y)$は常に
\[ [ソ]x^2+[タ] \left( y+\frac{[チ]}{[ツ]} \right)^2+1=0 \]
を満たし，$x=0$のとき$\mathrm{P}(0,\ y)$の$y$座標は
\[ \frac{[テ]}{[ト]}+\frac{[ナ]}{[ニ]} \sqrt{[ヌ]} \]
である．

底面の円の半径が$3 \; \mathrm{cm}$，高さが$6 \; \mathrm{cm}$の直円錐を考える．直円錐の頂点を$\mathrm{P}$，底面の円の中心を$\mathrm{Q}$とし，線分$\mathrm{PQ}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{O}$とする．底面の円の円周を$C_1$，$\mathrm{O}$を通り底面と平行な平面が直円錐と交わってできる円の円周を$C_2$とする．$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$がそれぞれ$C_1$，$C_2$上を頂点$\mathrm{P}$から見て左回りに移動している．点$\mathrm{A}$の速さは$3 \pi \,\mathrm{cm}/$秒，点$\mathrm{B}$の速さは$\pi \,\mathrm{cm}/$秒であり，時刻$t=0$において，$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{A}$は一直線上にあるとする．

(1)$\mathrm{A}$の角速度は$[コ] \pi$ラジアン$/$秒であり，$\mathrm{B}$の角速度は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]} \pi$ラジアン$/$秒である．ただし，$\mathrm{A}$の角速度とは，動径$\mathrm{QA}$が$1$秒間に回転する角の大きさのことであり，$\mathrm{B}$の角速度とは，動径$\mathrm{OB}$が$1$秒間に回転する角の大きさのことである．
(2)線分$\mathrm{AB}$の長さを時刻$t$の関数で表すと
\[ \sqrt{[ス]-[セ] \cos \frac{\pi}{2}t } \mathrm{cm} \]
である．
(3)$\cos \angle \mathrm{AOB}$を時刻$t$の関数で表すと
\[ \frac{[ソ]}{\sqrt{[タ]}} \cos \frac{\pi}{2} t \]
である．
(4)三角形$\mathrm{AOB}$の面積を時刻$t$の関数で表すと
\[ \sqrt{[チ]-[ツ] \cos^2 \frac{\pi}{2}t } \mathrm{cm}^2 \]
である．
(5)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{B}$を含む平面を$S$とする．$\mathrm{Q}$を通り，$S$と直交する直線を$\ell$とし，$\ell$と$S$の交点を$\mathrm{H}$とする．$\displaystyle t=\frac{1}{3}$のとき，線分$\mathrm{QH}$の長さは
\[ \frac{[テ]}{[ト]} \mathrm{cm} \]
である．

$m$は正の実数である．放物線$C_1:y=x^2+m^2$上の点$\mathrm{P}$における$C_1$の接線と放物線$C_2:y=x^2$との交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とし，$C_2$上の$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の間の点$\mathrm{Q}$に対して，直線$\mathrm{AQ}$と$C_2$とで囲まれる領域の面積と，直線$\mathrm{QB}$と$C_2$とで囲まれる領域の面積の和を$S$とする．$\mathrm{Q}$が$C_2$上の$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の間を動くときの$S$の最小値は$\mathrm{P}$の取り方によらないことを示し，その値を$m$を用いて表せ．

$a$を正の定数とする．座標平面上に曲線$C_1:y=ax^2$と曲線$C_2:x=y^2$がある．次の問いに答えよ．

(1)曲線$C_1$と$C_2$の交点のうち，原点と異なる点の座標を求めよ．
(2)曲線$C_1$と$C_2$で囲まれた図形を$D$とする．$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V_1$とする．また，$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V_2$とする．$V_1$と$V_2$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた$V_1$と$V_2$について，$V_1 \geqq V_2$となるような$a$の値の範囲を求めよ．また，$V_1-V_2$を最大にする$a$の値を求めよ．

曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} (x>0)$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( p,\ \frac{1}{p} \right)$における接線を$\ell$とする．接線$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．さらに，$\mathrm{Q}$を通り$x$軸に垂直な直線と曲線$C$との交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$と$x$軸および$y$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
(3)曲線$C$と接線$\ell$および線分$\mathrm{QR}$とで囲まれた図形の面積を求めよ．

$a$を定数とし，$2$次関数$y=x^2+6x+a+7$のグラフを$C$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)$C$の頂点の座標を求めなさい．
(2)$-1 \leqq x \leqq 3$における最小値が$-1$のとき，$a$の値を求めなさい．
(3)$C$が$x$軸と異なる$2$点で交わるとき，$a$の値の範囲を求めなさい．
(4)$(3)$のとき，$C$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．$\mathrm{AB}=2 \sqrt{7}$のとき，$a$の値を求めなさい．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}:\angle \mathrm{B}:\angle \mathrm{C}=5:3:1$であり，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る円の中心を$\mathrm{O}$とする．線分$\mathrm{AO}$の延長と円$\mathrm{O}$との交点を$\mathrm{D}$とする．円$\mathrm{O}$において弦$\mathrm{BC}$と平行に別の弦$\mathrm{EF}$を引く．ただし，$\mathrm{EF}$は線分$\mathrm{OD}$と交わり，弧$\mathrm{BD}$上に点$\mathrm{E}$がくるような位置にあるものとする．以下の問に答えよ．

(1)$\angle \mathrm{BAD}$の大きさを求めよ．
(2)$\angle \mathrm{BAE}=\angle \mathrm{CAF}$であることを証明せよ．

円$\mathrm{O}$と$2$直線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BC}$が図のように$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で接している．$\angle \mathrm{ACB}={48}^\circ$であるとき，
（図は省略）
\[ \angle \mathrm{OAB}=[　],\ \angle \mathrm{CBD}=[　] \]
である．ただし，$\mathrm{D}$は直線$\mathrm{AO}$と円$\mathrm{O}$との交点とする．

$2$つの放物線$y=-(x+1)^2+4$と$y=(x-1)^2$の交点の$x$座標は$x=[　]$である．また，これら$2$つの放物線で囲まれた部分の面積は$[　]$である．

三角形$\mathrm{ABC}$があり，点$\mathrm{P}$は，$3 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+4 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=2 \overrightarrow{\mathrm{PA}}$を満たしている．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$は
\[ \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{[ア]}{[イ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[ウ]}{[エ]} \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
であり，線分$\mathrm{BC}$と線分$\mathrm{AP}$との交点を$\mathrm{D}$とすると，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{[オ]}{[カ]} \overrightarrow{\mathrm{AD}}$である．
(2)三角形$\mathrm{ABD}$の面積を$S_1$，三角形$\mathrm{CPD}$の面積を$S_2$とすると，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}=\frac{[キ]}{[クケ]}$である．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AD}$が$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線で，$\angle \mathrm{BAC}=60^\circ$とすると
\[ |\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=\frac{[コ]}{[サ]} |\overrightarrow{\mathrm{AB}}| \]
であり
\[ |\overrightarrow{\mathrm{AP}}|=\frac{[シ] \sqrt{[ス]}}{[セ]} |\overrightarrow{\mathrm{AB}}| \]
となる．