「交点」について
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国立 島根大学 2011年 第1問平面上に一辺の長さが1の正三角形OABと，辺AB上の点Cがあり，$\text{AC}<\text{BC}$とする．点Aを通り直線ABに直交する直線$k$と，直線OCとの交点をDとする．$\triangle$OCAと$\triangle$ACDの面積比が$1:2$であるとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=m\overrightarrow{\mathrm{OA}}+n\overrightarrow{\mathrm{OB}}$となる$m,\ n$を求めよ．
(2)点Dを通り，直線ODと直交する直線を$\ell$とする．$\ell$と直線OA，OBとの交点をそれぞれE，Fとするとき，$\overrightarrow{\mathrm{EF}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$となる$s,\ t$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=m\overrightarrow{\mathrm{OA}}+n\overrightarrow{\mathrm{OB}}$となる$m,\ n$を求めよ．
(2)点Dを通り，直線ODと直交する直線を$\ell$とする．$\ell$と直線OA，OBとの交点をそれぞれE，Fとするとき，$\overrightarrow{\mathrm{EF}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$となる$s,\ t$を求めよ．
国立 香川大学 2011年 第4問$a>1$のとき，連立不等式
\[ \sqrt{a^2-x^2} \leqq y \leqq a^2-x^2, x \geqq 0, y \geqq 0 \]
で表せる領域を$D_1$，連立不等式
\[ a^2-x^2 \leqq y \leqq \sqrt{a^2-x^2}, x \geqq 0, y \geqq 0 \]
で表せる領域を$D_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$x \geqq 0,\ y \geqq 0$における，曲線$y=\sqrt{a^2-x^2}$と曲線$y=a^2-x^2$の交点をすべて求めよ．
(2)$x \geqq 0,\ y \geqq 0$において，2つの曲線$y=\sqrt{a^2-x^2},\ y=a^2-x^2$のグラフの概形をかき，$D_1,\ D_2$を図示せよ．
(3)$D_1,\ D_2$を$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積をそれぞれ$V_1,\ V_2$とするとき，$V_1-V_2$を求めよ．
(4)$V_1<V_2$をみたす$a$の範囲を求めよ．
\[ \sqrt{a^2-x^2} \leqq y \leqq a^2-x^2, x \geqq 0, y \geqq 0 \]
で表せる領域を$D_1$，連立不等式
\[ a^2-x^2 \leqq y \leqq \sqrt{a^2-x^2}, x \geqq 0, y \geqq 0 \]
で表せる領域を$D_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$x \geqq 0,\ y \geqq 0$における，曲線$y=\sqrt{a^2-x^2}$と曲線$y=a^2-x^2$の交点をすべて求めよ．
(2)$x \geqq 0,\ y \geqq 0$において，2つの曲線$y=\sqrt{a^2-x^2},\ y=a^2-x^2$のグラフの概形をかき，$D_1,\ D_2$を図示せよ．
(3)$D_1,\ D_2$を$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積をそれぞれ$V_1,\ V_2$とするとき，$V_1-V_2$を求めよ．
(4)$V_1<V_2$をみたす$a$の範囲を求めよ．
国立 香川大学 2011年 第5問$a>1$のとき，連立不等式
\[ \sqrt{a^2-x^2} \leqq y \leqq a^2-x^2, x \geqq 0, y \geqq 0 \]
で表せる領域を$D_1$，連立不等式
\[ a^2-x^2 \leqq y \leqq \sqrt{a^2-x^2}, x \geqq 0, y \geqq 0 \]
で表せる領域を$D_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$x \geqq 0,\ y \geqq 0$における，曲線$y=\sqrt{a^2-x^2}$と曲線$y=a^2-x^2$の交点をすべて求めよ．
(2)$x \geqq 0,\ y \geqq 0$において，2つの曲線$y=\sqrt{a^2-x^2},\ y=a^2-x^2$のグラフの概形をかき，$D_1,\ D_2$を図示せよ．
(3)$D_1,\ D_2$を$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積をそれぞれ$V_1,\ V_2$とするとき，$V_1-V_2$を求めよ．
(4)$V_1<V_2$をみたす$a$の範囲を求めよ．
\[ \sqrt{a^2-x^2} \leqq y \leqq a^2-x^2, x \geqq 0, y \geqq 0 \]
で表せる領域を$D_1$，連立不等式
\[ a^2-x^2 \leqq y \leqq \sqrt{a^2-x^2}, x \geqq 0, y \geqq 0 \]
で表せる領域を$D_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$x \geqq 0,\ y \geqq 0$における，曲線$y=\sqrt{a^2-x^2}$と曲線$y=a^2-x^2$の交点をすべて求めよ．
(2)$x \geqq 0,\ y \geqq 0$において，2つの曲線$y=\sqrt{a^2-x^2},\ y=a^2-x^2$のグラフの概形をかき，$D_1,\ D_2$を図示せよ．
(3)$D_1,\ D_2$を$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積をそれぞれ$V_1,\ V_2$とするとき，$V_1-V_2$を求めよ．
(4)$V_1<V_2$をみたす$a$の範囲を求めよ．
国立 香川大学 2011年 第1問放物線$C_1:y=x^2$と定点$\mathrm{P}(a,\ b)$（ただし，$a^2<b$）を通る放物線$C_2:y=-3x^2+2px+q$の交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta \ (\text{ただし，} \ \alpha < \beta)$とする．$2$つの放物線$C_1,\ C_2$で囲まれた図形の面積を$S$とするとき，次の問に答えよ．
(1)$S$を$a,\ b,\ p$を用いて表せ．
(2)$S$を最小にする$p$とその最小値を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{M}$を線分$\mathrm{AB}$の中点とする．(2)のとき，線分$\mathrm{PM}$の長さを$a,\ b$を用いて表せ．
(4)(2)のとき，点$\mathrm{P}$における放物線$C_2$の接線$\ell$と直線$\mathrm{AB}$は平行であることを示せ．
(1)$S$を$a,\ b,\ p$を用いて表せ．
(2)$S$を最小にする$p$とその最小値を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{M}$を線分$\mathrm{AB}$の中点とする．(2)のとき，線分$\mathrm{PM}$の長さを$a,\ b$を用いて表せ．
(4)(2)のとき，点$\mathrm{P}$における放物線$C_2$の接線$\ell$と直線$\mathrm{AB}$は平行であることを示せ．
国立 三重大学 2011年 第2問四面体OABCにおいて$\text{OA}=\text{OC}=\sqrt{2},\ \text{OB}=\sqrt{5},\ \text{AB}=3$であり，$\displaystyle \angle \text{AOC}=\angle \text{BOC}=\frac{\pi}{2}$であるとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$として以下の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を求めよ．
(2)線分ABを$1:2$に内分する点をDとし，点Oから直線CDに引いた垂線と直線CDの交点をHとするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．また$|\overrightarrow{\mathrm{OH}}|$を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を求めよ．
(2)線分ABを$1:2$に内分する点をDとし，点Oから直線CDに引いた垂線と直線CDの交点をHとするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．また$|\overrightarrow{\mathrm{OH}}|$を求めよ．
国立 三重大学 2011年 第3問四面体OABCにおいて$\text{OA}=\text{OC}=\sqrt{2},\ \text{OB}=\sqrt{5},\ \text{AB}=3$であり，$\displaystyle \angle \text{AOC}=\angle \text{BOC}=\frac{\pi}{2}$であるとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$として以下の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を求めよ．
(2)線分ABを$1:2$に内分する点をDとし，点Oから直線CDに引いた垂線と直線CDの交点をHとするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．また$|\overrightarrow{\mathrm{OH}}|$を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を求めよ．
(2)線分ABを$1:2$に内分する点をDとし，点Oから直線CDに引いた垂線と直線CDの交点をHとするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．また$|\overrightarrow{\mathrm{OH}}|$を求めよ．
国立 三重大学 2011年 第4問ふたつの曲線
\[ C_1:y=\cos x \ (0 \leqq x \leqq 2\pi),\quad C_2:y=\sin x \ (0 \leqq x \leqq 2\pi) \]
が囲む領域を$D$とする．ただし$D$は境界を含むものとする．
(1)$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を求め，$D$の面積を求めよ．
(2)点$(x,\ y)$が$D$内を動くとき，$\displaystyle \frac{1}{2}x+y$の最大値と最小値を求めよ．
\[ C_1:y=\cos x \ (0 \leqq x \leqq 2\pi),\quad C_2:y=\sin x \ (0 \leqq x \leqq 2\pi) \]
が囲む領域を$D$とする．ただし$D$は境界を含むものとする．
(1)$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を求め，$D$の面積を求めよ．
(2)点$(x,\ y)$が$D$内を動くとき，$\displaystyle \frac{1}{2}x+y$の最大値と最小値を求めよ．
国立 三重大学 2011年 第3問四面体OABCにおいて$\text{OA}=\text{OC}=\sqrt{2},\ \text{OB}=\sqrt{5},\ \text{AB}=3$であり，$\displaystyle \angle \text{AOC}=\angle \text{BOC}=\frac{\pi}{2}$であるとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$として以下の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を求めよ．
(2)線分ABを$1:2$に内分する点をDとし，点Oから直線CDに引いた垂線と直線CDの交点をHとするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．また$|\overrightarrow{\mathrm{OH}}|$を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を求めよ．
(2)線分ABを$1:2$に内分する点をDとし，点Oから直線CDに引いた垂線と直線CDの交点をHとするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．また$|\overrightarrow{\mathrm{OH}}|$を求めよ．
国立 鳥取大学 2011年 第2問$xy$平面上の円$C_1:x^2+y^2+ax+by+28=0$は，点A$(2,\ 8)$と点B$(7,\ 7)$を通る．このとき，次の問いに答えよ．
(1)円$C_1$の中心の座標と半径を求めよ．
(2)円$C_1$上の点A，Bにおける接線をそれぞれ$\ell,\ m$とするとき，2直線$\ell,\ m$の交点の座標を求めよ．
(3)$x$の2次関数のグラフ$C_2$は(2)で求めた交点を頂点とし，点Aを通る．このとき$C_2$と$x$軸との交点の座標を求めよ．
(1)円$C_1$の中心の座標と半径を求めよ．
(2)円$C_1$上の点A，Bにおける接線をそれぞれ$\ell,\ m$とするとき，2直線$\ell,\ m$の交点の座標を求めよ．
(3)$x$の2次関数のグラフ$C_2$は(2)で求めた交点を頂点とし，点Aを通る．このとき$C_2$と$x$軸との交点の座標を求めよ．
国立 熊本大学 2011年 第2問平行六面体$\mathrm{OADB}$-$\mathrm{CEGF}$において，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}$，辺$\mathrm{AD}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{N}$，辺$\mathrm{DG}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{L}$とする．また，辺$\mathrm{OC}$を$k:1-k \ (0<k<1)$に内分する点を$\mathrm{K}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{MN}}$，$\overrightarrow{\mathrm{ML}}$，$\overrightarrow{\mathrm{MK}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)3点$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$，$\mathrm{K}$の定める平面上に点$\mathrm{L}$があるとき，$k$の値を求めよ．
(3)3点$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$，$\mathrm{K}$の定める平面が辺$\mathrm{GF}$と交点をもつような$k$の値の範囲を求めよ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{MN}}$，$\overrightarrow{\mathrm{ML}}$，$\overrightarrow{\mathrm{MK}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)3点$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$，$\mathrm{K}$の定める平面上に点$\mathrm{L}$があるとき，$k$の値を求めよ．
(3)3点$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$，$\mathrm{K}$の定める平面が辺$\mathrm{GF}$と交点をもつような$k$の値の範囲を求めよ．
（図は省略）