座標平面上の原点を$\mathrm{O}$とする．中心が$\mathrm{O}$，半径が$1$の円を$C$とする．円$C$の外部の点を$\mathrm{P}(x_0,\ y_0)$とする．点$\mathrm{P}$を通り円$C$に接する$2$直線を$\ell_1$，$\ell_2$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)直線$\ell_1$，$\ell_2$と円$C$の$2$つの接点を結ぶ線分の中点の座標を，点$\mathrm{P}$の座標$x_0$と$y_0$で表しなさい．
(2)直線$\ell_1$，$\ell_2$は$y$軸に平行でないとする．直線$\ell_1$，$\ell_2$と$y$軸の交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とし，線分$\mathrm{QR}$の中点を$\mathrm{M}$とする．ただし，点$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$が一致するときは，点$\mathrm{M}$は点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$と一致する点とする．このとき，点$\mathrm{M}$の$y$座標が$2$となる点$\mathrm{P}$の描く曲線と直線$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{3}}x+1$で囲まれる図形の面積を求めなさい．

次の各問に答えよ．

(1)放物線$C:y=-x^2+4x+5$の頂点を$\mathrm{A}$とし，$C$と$x$軸の正の部分との交点を$\mathrm{B}$とする．このとき，$\mathrm{A}([ア],\ [イ])$であり，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線$\ell$の方程式は$y=[ウエ]x+[オカ]$である．また，$C$の$0 \leqq x \leqq [ア]$の部分，$y$軸，および$\ell$で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[キク]}{[ケ]}$である．
(2)数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を$a_1=-3$，$a_2=1$，
\[ a_{n+2}=-2a_{n+1}-4a_n \cdots\cdots① \]
で定める．このとき，
\[ a_{n+3}=-2a_{n+2}-4a_{n+1} \cdots\cdots② \]
であり，$②$に$①$を代入すると$a_{n+3}=[コ]a_n$となる．$b_n=a_{3n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくと，数列$\{b_n\}$は初項$[サシ]$，公比$[ス]$の等比数列であり，$b_n$が初めて$7$桁の数になるのは$n=[セ]$のときである．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．

次の問いに答えなさい．

(1)自然数$m,\ n$に対し，命題「$m^2+n^2$が偶数ならば，$m+n$は偶数である」が真ならば「真」と，偽ならば反例を$[$\mathrm{A]$}$に記入しなさい．
(2)$2^x=5^y=100$のとき，$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=[$\mathrm{B]$}$となる．
(3)$xy$座標平面において，円$x^2+y^2=3$と直線$x+y=1$の$2$つの交点を結ぶ線分の長さは，$[$\mathrm{C]$}$である．
(4)数直線上を動く点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$にある．表と裏が等しい確率で出るコインを投げ，表が出ると正方向に$1$だけ進み，裏が出ると負方向に$1$だけ進むことを繰り返す．コインを$10$回投げるとき，$\mathrm{P}$の座標が$-6$となる確率は，$[$\mathrm{D]$}$である．
(5)方程式$x^3-3x^2-9x-a=0$が異なる$3$つの実数解を持つとき，定数$a$が満たさなければならない条件を$[あ]$で求めなさい．

次の問いに答えなさい．

原点を$\mathrm{O}$とする$xy$座標平面に，点$\mathrm{A}(3,\ 4)$がある．$\mathrm{O}$を中心に反時計回りに$\displaystyle \frac{1}{4}\pi$だけ回転することで，$\mathrm{A}$は点$\mathrm{B}$に移る．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$x$軸の正の向きがなす角を$\alpha$とすると，$\tan \alpha=[$\mathrm{J]$}$である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の成分は$[$\mathrm{K]$}$である．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=-2 \sqrt{2} \, \overrightarrow{\mathrm{OB}}$となる点$\mathrm{C}$を定め，$\mathrm{OA}$と$\mathrm{OC}$を$2$辺とする平行四辺形$\mathrm{OAPC}$を考える．また，$\mathrm{O}$と$\mathrm{P}$を通る直線を$\ell$とする．

(i) $\ell$の方程式は，$y=[$\mathrm{L]$}$である．
(ii) $3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{C}$を通る放物線と$\ell$で囲まれる部分の面積は，$[$\mathrm{M]$}$である．
(iii) $\mathrm{AP}$を$(1-t):t$に内分する点を$\mathrm{D}$，$\mathrm{CD}$と$\ell$の交点を$\mathrm{E}$とするとき，$\mathrm{DE}:\mathrm{EC}$を$[う]$で求めなさい．

$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，直線$\mathrm{AG}$と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{M}$とする．また$\mathrm{A}$，$\mathrm{G}$から直線$\mathrm{BC}$に垂線をおろしその足を$\mathrm{H}$，$\mathrm{K}$とする．

(1)$\mathrm{AG}:\mathrm{AM}$を求めよ．
(2)$\mathrm{AH}:\mathrm{GK}$を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}:\triangle \mathrm{GBC}$を求めよ．

最大値が$7$で，そのグラフが$2$点$(0,\ 3)$，$(4,\ 3)$を通る$2$次関数がある．

(1)この関数の式を求めよ．
(2)この関数と$x$軸との交点の距離を求めよ．
(3)この関数のグラフを，$-3<x<6$の範囲でできるだけ詳しく図示しなさい．

座標平面において，原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする半径$1$の円を$C_0$とし，点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{1}{2},\ 0 \right)$を中心とする半径が$\displaystyle \frac{1}{2}$の円を$C_1$とする．以下の問いに答えよ．

(1)円$C_0$と内接し，円$C_1$と外接する円$D$の半径を$r$，中心$\mathrm{G}$の座標を$(\alpha,\ \beta)$とするとき，$r$を$\alpha$によって表せ．
(2)中心$\mathrm{G}(\alpha,\ \beta)$の軌跡の方程式を求めよ．
以上で考察した円$D$は無数にあるが，これらの円はどれも点$\displaystyle \mathrm{B}(\frac{1}{3},\ 0)$を中心とする半径$\displaystyle \frac{2}{3}$の円$C_2$と特別な位置関係にある．以下ではこのことを調べてみよう．円$D$と円$C_2$の$2$つの交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．
(3)直線$\mathrm{PQ}$の方程式を$\alpha,\ \beta$により表せ．
(4)点$\mathrm{P}$の座標$(X,\ Y)$が直線$\mathrm{PQ}$の方程式と円$C_2$の方程式を満たしていることを利用して，$\overrightarrow{\mathrm{BP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{GP}}=0$を示せ．

$0<a<2$，$f(x)=x^2(x-2)$，$g(x)=a^2(x-2)$とする．

(1)曲線$y=f(x)$と直線$y=g(x)$の交点の$x$座標を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=g(x)$で囲まれる$2$つの部分の面積の和$S(a)$を求めよ．
(3)$S(a)$を最小にする$a$の値を求めよ．

円$\mathrm{O}$に内接する台形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{CD}=2$，$\mathrm{AB}$と$\mathrm{CD}$が平行である．対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{E}$とし，$\angle \mathrm{ABD}={60}^\circ$である．

(1)$\triangle \mathrm{ABE}$の面積は$[ア] \sqrt{[イ]}$である．
(2)辺$\mathrm{AD}$の長さは$\mathrm{AD}=[ウ] \sqrt{[エ]}$である．
(3)台形$\mathrm{ABCD}$の高さは$[オ] \sqrt{[カ]}$である．
(4)台形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[キ] \sqrt{[ク]}$である．

(5)円$\mathrm{O}$の半径は$\displaystyle \frac{[ケ] \sqrt{[コサ]}}{[シ]}$である．

座標平面上の直線$y=2x+1$を直線$\ell$とし，直線$\ell$と$y$軸の交点を$\mathrm{A}$とする．第$1$象限内における直線$\ell$上の任意の点を中心とし$\mathrm{A}$を通る円$\mathrm{O}$を考える．直線$\ell$と円$\mathrm{O}$の交点のうち，$\mathrm{A}$と異なるもう一方の交点を$\mathrm{B}$とする．また，$\mathrm{A}$を通り$x$軸に平行な直線と円$\mathrm{O}$の交点のうち，$\mathrm{A}$と異なる交点を$\mathrm{C}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\sin \angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(2)直線$\mathrm{BC}$は$y$軸に平行であることを証明せよ．
(3)円$\mathrm{O}$が$x$軸と接するとき，接点の$x$座標を求めよ．