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山梨大学 国立 山梨大学 2016年 第3問
$xy$平面上に$5$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$,$\mathrm{A}(1,\ 1)$,$\mathrm{B}(1,\ 0)$,$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{1}{2},\ t \right)$ \ $\displaystyle \left( \frac{1}{2} \leqq t<1 \right)$,$\displaystyle \mathrm{Q}(\alpha,\ 0)$ \ $\displaystyle \left( \frac{1}{2} \leqq \alpha \leqq 1 \right)$がある.$\mathrm{A}$,$\mathrm{P}$を通る直線を$\ell$とする.

(1)$\ell$の方程式を求めよ.
(2)$\triangle \mathrm{APB}$において,$\angle \mathrm{APB} \leqq {90}^\circ$を示せ.
(3)$\ell$に垂直で$\mathrm{Q}$を通る直線を$m$とする.$\ell$と$m$の交点を$\mathrm{R}$とするとき,$\mathrm{R}$の$x$座標を$\alpha$と$t$を用いた式で表せ.
(4)$(3)$の$\mathrm{R}$が線分$\mathrm{PA}$上にあるための$\alpha$の範囲を$t$を用いた式で表せ.
山梨大学 国立 山梨大学 2016年 第2問
四面体$\mathrm{OABC}$において,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおき,$|\overrightarrow{a|}=2$,$|\overrightarrow{b|}=\sqrt{3}$,$|\overrightarrow{c|}=1$,$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=2$,$\displaystyle \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=\frac{4}{3}$,$\displaystyle \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}=\frac{4}{3}$を満たすとする.点$\mathrm{C}$から平面$\mathrm{OAB}$に垂線を下ろし,平面$\mathrm{OAB}$との交点を$\mathrm{H}$とする.

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を,$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(2)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ.
(3)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とし,線分$\mathrm{AM}$を$4:1$に内分する点を$\mathrm{N}$とする.このとき,直線$\mathrm{CH}$と直線$\mathrm{ON}$が交わることを示せ.また,その$2$直線の交点を$\mathrm{P}$とするとき,$\mathrm{CP}:\mathrm{PH}$を求めよ.
岩手大学 国立 岩手大学 2016年 第2問
平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において,$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$とおき,
\[ |\overrightarrow{a|}=4,\quad |\overrightarrow{b|}=5,\quad |\overrightarrow{\mathrm{AC|}}=6 \]
であるとする.また,辺$\mathrm{BC}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{E}$,辺$\mathrm{AB}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{F}$とし(ただし,$0<s<1$),線分$\mathrm{AE}$と線分$\mathrm{DF}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき,次の問いに答えよ.

(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$s$で表せ.
(3)平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の$2$本の対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{Q}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が$\overrightarrow{b}$と平行であるとき,$s$の値および$|\overrightarrow{\mathrm{AP|}}$の値を求めよ.
岩手大学 国立 岩手大学 2016年 第2問
平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において,$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$とおき,
\[ |\overrightarrow{a|}=4,\quad |\overrightarrow{b|}=5,\quad |\overrightarrow{\mathrm{AC|}}=6 \]
であるとする.また,辺$\mathrm{BC}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{E}$,辺$\mathrm{AB}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{F}$とし(ただし,$0<s<1$),線分$\mathrm{AE}$と線分$\mathrm{DF}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき,次の問いに答えよ.

(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$s$で表せ.
(3)平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の$2$本の対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{Q}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が$\overrightarrow{b}$と平行であるとき,$s$の値および$|\overrightarrow{\mathrm{AP|}}$の値を求めよ.
岩手大学 国立 岩手大学 2016年 第2問
平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において,$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$とおき,
\[ |\overrightarrow{a|}=4,\quad |\overrightarrow{b|}=5,\quad |\overrightarrow{\mathrm{AC|}}=6 \]
であるとする.また,辺$\mathrm{BC}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{E}$,辺$\mathrm{AB}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{F}$とし(ただし,$0<s<1$),線分$\mathrm{AE}$と線分$\mathrm{DF}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき,次の問いに答えよ.

(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$s$で表せ.
(3)平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の$2$本の対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{Q}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が$\overrightarrow{b}$と平行であるとき,$s$の値を求めよ.
東京学芸大学 国立 東京学芸大学 2016年 第2問
空間において,同一平面上にない$4$点を$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$とする.線分$\mathrm{OA}$,$\mathrm{OB}$を$2$辺とする平行四辺形を$\mathrm{OADB}$,線分$\mathrm{OA}$,$\mathrm{OC}$を$2$辺とする平行四辺形を$\mathrm{OAEC}$,線分$\mathrm{OB}$,$\mathrm{OC}$を$2$辺とする平行四辺形を$\mathrm{OBFC}$とする.下の問いに答えよ.

(1)$\triangle \mathrm{ODE}$を含む平面と直線$\mathrm{AF}$の交点を$\mathrm{G}$とするとき,ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ.
(2)$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1$,$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=x$とする.点$\mathrm{O}$を中心とし,点$\mathrm{G}$を含む球面と$\triangle \mathrm{ABE}$を含む平面の交わりで得られる円の半径の最小値とそのときの$x$の値を求めよ.
福井大学 国立 福井大学 2016年 第1問
関数$f(x)=e^x+e^{-x}$があり,$g(x)=f^\prime(x)$,$h(x)=xf(x)$とおく.$a$を実数として,点$\mathrm{P}(a,\ f(a))$における曲線$y=f(x)$の法線を$\ell$とし,点$\mathrm{Q}(a,\ g(a))$における曲線$y=g(x)$の法線を$m$とする.$\ell$と$m$との交点を$\mathrm{R}$とするとき,以下の問いに答えよ.

(1)$\mathrm{R}$の座標を,$a$を用いて表せ.
(2)$\mathrm{PR}^2-\mathrm{QR}^2$の値を求めよ.
(3)$2$つの曲線$y=g(x)$,$y=h(x)$および直線$x=1$によって囲まれた図形を,$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ.
福井大学 国立 福井大学 2016年 第2問
一直線上にない$3$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$があり,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする.また,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$を満たすように点$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$をとる.$0<x<1$を満たす実数$x$に対し,線分$\mathrm{OA}$を$x:(1-x)$に内分する点を$\mathrm{P}$,直線$\mathrm{PC}$と直線$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{Q}$,直線$\mathrm{QD}$と直線$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{R}$とするとき,以下の問いに答えよ.

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を,$x,\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を,$x,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(3)直線$\mathrm{RE}$と直線$\mathrm{OA}$との交点が$\mathrm{P}$と一致するとき,$x$の値を求めよ.
(4)$x$を$(3)$で求めた値とするとき,$\triangle \mathrm{PQR}$の重心と$\triangle \mathrm{OAB}$の重心は一致することを証明せよ.
福井大学 国立 福井大学 2016年 第5問
$f(x)=x^3$,$g(x)=x^3-4$とし,曲線$C_1:y=f(x)$と曲線$C_2:y=g(x)$の両方に接する直線を$\ell$とする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)直線$\ell$の方程式を求めよ.
(2)$\ell$と$C_1$との接点を$\mathrm{P}$,$\ell$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$,$\ell$と$C_1$とが$\mathrm{P}$以外で交わる点を$\mathrm{R}$とする.線分$\mathrm{PQ}$と線分$\mathrm{QR}$の長さの比$\mathrm{PQ}:\mathrm{QR}$を求めよ.
(3)$C_2$と$\ell$とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ.
福井大学 国立 福井大学 2016年 第1問
関数$f(x)=e^x+e^{-x}$があり,$g(x)=f^\prime(x)$,$h(x)=xf(x)$とおく.$a$を実数として,点$\mathrm{P}(a,\ f(a))$における曲線$y=f(x)$の法線を$\ell$とし,点$\mathrm{Q}(a,\ g(a))$における曲線$y=g(x)$の法線を$m$とする.$\ell$と$m$との交点を$\mathrm{R}$とするとき,以下の問いに答えよ.

(1)$\mathrm{R}$の座標を,$a$を用いて表せ.
(2)$\mathrm{PR}^2-\mathrm{QR}^2$の値を求めよ.
(3)$2$つの曲線$y=g(x)$,$y=h(x)$および直線$x=1$によって囲まれた図形を,$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ.
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