「交わり」について
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国立 東京学芸大学 2016年 第2問空間において，同一平面上にない$4$点を$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とする．線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$を$2$辺とする平行四辺形を$\mathrm{OADB}$，線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OC}$を$2$辺とする平行四辺形を$\mathrm{OAEC}$，線分$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$を$2$辺とする平行四辺形を$\mathrm{OBFC}$とする．下の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ODE}$を含む平面と直線$\mathrm{AF}$の交点を$\mathrm{G}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=x$とする．点$\mathrm{O}$を中心とし，点$\mathrm{G}$を含む球面と$\triangle \mathrm{ABE}$を含む平面の交わりで得られる円の半径の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{ODE}$を含む平面と直線$\mathrm{AF}$の交点を$\mathrm{G}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=x$とする．点$\mathrm{O}$を中心とし，点$\mathrm{G}$を含む球面と$\triangle \mathrm{ABE}$を含む平面の交わりで得られる円の半径の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
私立 慶應義塾大学 2016年 第3問球面$S:x^2-8x+y^2-4y+z^2+6z+20=0$は点$\mathrm{A}([$24$],\ [$25$],\ [$26$])$で$xy$平面と接し，球面$S$と$zx$平面との交わりは中心$\mathrm{B}([$27$],\ [$28$],\ [$29$][$30$])$，半径$\sqrt{[$31$]}$の円である．
球面$S$の中心を$\mathrm{C}$，線分$\mathrm{AB}$を$\sqrt{3}:2$に外分する点を$\mathrm{P}$とすると，$\mathrm{P}$の座標は
\[ \left( [$32$],\ [$33$]+[$34$] \sqrt{[$35$]},\ [$36$]+[$37$] \sqrt{[$38$]} \right) \]
であり，$\displaystyle \angle \mathrm{ACP}=\frac{[$39$]}{[$40$]} \pi$（ただし$0 \leqq \angle \mathrm{ACP} \leqq \pi$）である．また，三角形$\mathrm{BPC}$の辺および内部が球面$S$と交わってできる図形は，長さ$\displaystyle \frac{[$41$]}{[$42$]} \pi$の円弧である．
球面$S$の中心を$\mathrm{C}$，線分$\mathrm{AB}$を$\sqrt{3}:2$に外分する点を$\mathrm{P}$とすると，$\mathrm{P}$の座標は
\[ \left( [$32$],\ [$33$]+[$34$] \sqrt{[$35$]},\ [$36$]+[$37$] \sqrt{[$38$]} \right) \]
であり，$\displaystyle \angle \mathrm{ACP}=\frac{[$39$]}{[$40$]} \pi$（ただし$0 \leqq \angle \mathrm{ACP} \leqq \pi$）である．また，三角形$\mathrm{BPC}$の辺および内部が球面$S$と交わってできる図形は，長さ$\displaystyle \frac{[$41$]}{[$42$]} \pi$の円弧である．
私立 慶應義塾大学 2015年 第4問座標空間内の原点$\mathrm{O}$，$z$座標が正である点$\mathrm{P}_k (k=1,\ 2,\ \cdots,\ 7)$を頂点とする立方体$\mathrm{OP}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3-\mathrm{P_4}\mathrm{P_5}\mathrm{P_6}\mathrm{P_7}$を考える．点$\mathrm{P}_1$の座標は$(2,\ 5,\ 4)$であり，点$\mathrm{P}_3$は$zx$平面上にあるとする．このとき，点$\mathrm{P}_3$の座標は$[ソ]$，点$\mathrm{P}_4$の座標は$[タ]$，点$\mathrm{P}_6$の座標は$[チ]$である．点$\mathrm{P}_k (k=1,\ 2,\ \cdots,\ 7)$を$xy$平面に下ろした垂線を$\mathrm{P}_k \mathrm{Q}_k$とするとき，四角形$\mathrm{OQ}_1 \mathrm{Q}_2 \mathrm{Q}_3$の面積は$[ツ]$，六角形$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2 \mathrm{Q}_3 \mathrm{Q}_7 \mathrm{Q}_4 \mathrm{Q}_5$の面積は$[テ]$である．また，立方体と$z$軸との交わりは線分となり，その線分の長さは$[ト]$となる．
（図は省略）
（図は省略）
私立 昭和大学 2015年 第1問以下の各問いに答えよ．
(1)次の連立方程式を解け．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
2x+2y+3z=2 \\
-3x-3y+z=-14 \phantom{\frac{[ ]}{2}} \\
x+3y+2z=2 \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
(2)グラフが$x$軸と点$(2,\ 0)$および$(-3,\ 0)$で交わり，点$(6,\ 12)$を通るような$2$次関数を$y=ax^2+bx+c$とするとき，$a,\ b,\ c$をそれぞれ求めよ．
(3)正四角すい$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$において，底面$\mathrm{ABCD}$の一辺の長さは$2a$，高さは$a$である．点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{OB}$に引いた垂線の長さを求めよ．
(4)循環小数の積$0.\dot{1} \dot{8} \times 0. \dot{0}1 \dot{1}$を$1$つの既約分数で表せ．
(1)次の連立方程式を解け．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
2x+2y+3z=2 \\
-3x-3y+z=-14 \phantom{\frac{[ ]}{2}} \\
x+3y+2z=2 \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
(2)グラフが$x$軸と点$(2,\ 0)$および$(-3,\ 0)$で交わり，点$(6,\ 12)$を通るような$2$次関数を$y=ax^2+bx+c$とするとき，$a,\ b,\ c$をそれぞれ求めよ．
(3)正四角すい$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$において，底面$\mathrm{ABCD}$の一辺の長さは$2a$，高さは$a$である．点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{OB}$に引いた垂線の長さを求めよ．
(4)循環小数の積$0.\dot{1} \dot{8} \times 0. \dot{0}1 \dot{1}$を$1$つの既約分数で表せ．
私立 昭和大学 2015年 第1問以下の各問いに答えよ．
(1)次の連立方程式を解け．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
2x+2y+3z=2 \\
-3x-3y+z=-14 \phantom{\frac{[ ]}{2}} \\
x+3y+2z=2 \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
(2)グラフが$x$軸と点$(2,\ 0)$および$(-3,\ 0)$で交わり，点$(6,\ 12)$を通るような$2$次関数を$y=ax^2+bx+c$とするとき，$a,\ b,\ c$をそれぞれ求めよ．
(3)正四角すい$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$において，底面$\mathrm{ABCD}$の一辺の長さは$2a$，高さは$a$である．点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{OB}$に引いた垂線の長さを求めよ．
(4)循環小数の積$0.\dot{1} \dot{8} \times 0. \dot{0}1 \dot{1}$を$1$つの既約分数で表せ．
(1)次の連立方程式を解け．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
2x+2y+3z=2 \\
-3x-3y+z=-14 \phantom{\frac{[ ]}{2}} \\
x+3y+2z=2 \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
(2)グラフが$x$軸と点$(2,\ 0)$および$(-3,\ 0)$で交わり，点$(6,\ 12)$を通るような$2$次関数を$y=ax^2+bx+c$とするとき，$a,\ b,\ c$をそれぞれ求めよ．
(3)正四角すい$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$において，底面$\mathrm{ABCD}$の一辺の長さは$2a$，高さは$a$である．点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{OB}$に引いた垂線の長さを求めよ．
(4)循環小数の積$0.\dot{1} \dot{8} \times 0. \dot{0}1 \dot{1}$を$1$つの既約分数で表せ．
私立 日本女子大学 2015年 第2問座標平面の原点を$\mathrm{O}$とする．放物線$y=(x-3)^2$と直線$y=mx$は$2$点$\mathrm{A}(\alpha,\ m \alpha)$，$\mathrm{B}(\beta,\ m \beta)$で交わり，点$\mathrm{A}$は線分$\mathrm{OB}$を$1:2$に内分するものとする．ただし，$m<0$とする．
(1)定数$m,\ \alpha,\ \beta$の値を求めよ．
(2)連立不等式
\[ y \leqq (x-3)^2,\quad y \geqq mx,\quad y \geqq 0,\quad \alpha \leqq x \leqq 3 \]
が表す領域の面積を求めよ．
(1)定数$m,\ \alpha,\ \beta$の値を求めよ．
(2)連立不等式
\[ y \leqq (x-3)^2,\quad y \geqq mx,\quad y \geqq 0,\quad \alpha \leqq x \leqq 3 \]
が表す領域の面積を求めよ．
国立 京都大学 2014年 第6問双曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x}$の第$1$象限にある部分と，原点$\mathrm{O}$を中心とする円の第$1$象限にある部分を，それぞれ$C_1$，$C_2$とする．$C_1$と$C_2$は$2$つの異なる点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わり，点$\mathrm{A}$における$C_1$の接線$\ell$と線分$\mathrm{OA}$のなす角は$\displaystyle \frac{\pi}{6}$であるとする．このとき，$C_1$と$C_2$で囲まれる図形の面積を求めよ．
国立 名古屋大学 2014年 第1問空間内にある半径$1$の球（内部を含む）を$B$とする．直線$\ell$と$B$が交わっており，その交わりは長さ$\sqrt{3}$の線分である．
(1)$B$の中心と$\ell$との距離を求めよ．
(2)$\ell$のまわりに$B$を$1$回転してできる立体の体積を求めよ．
(1)$B$の中心と$\ell$との距離を求めよ．
(2)$\ell$のまわりに$B$を$1$回転してできる立体の体積を求めよ．
私立 大阪産業大学 2012年 第2問直線$\ell:y=-3x+k$が，点$\mathrm{P}(1,\ 6)$および点$\mathrm{Q}$の$2$点で円$O:x^2+{(y-4)}^2=5$と交わり，点$\mathrm{Q}$で曲線$\displaystyle C:y=\frac{a}{x}+b$と接している．ここで$k,\ a,\ b$は定数とする．以下の各問いに答えよ．
(1)$k$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)$a$と$b$の値を求めよ．
(4)直線$\ell$と曲線$C$，および直線$x=1$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(1)$k$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)$a$と$b$の値を求めよ．
(4)直線$\ell$と曲線$C$，および直線$x=1$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2010年 第4問右図のような三角形$\mathrm{ABC}$を底面とする三角柱$\mathrm{ABC}$-$\mathrm{DEF}$を考える．
\img{177_2307_2010_1}{10}
(1)$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=5,\ \mathrm{BC}=3,\ \mathrm{AD}=10$とする．三角形$\mathrm{ABC}$と三角形 \\
$\mathrm{DEF}$とに交わらない平面$H$と三角柱との交わりが正三角形となると \\
き，その正三角形の面積を求めよ．
(2)底面がどのような三角形であっても高さが十分に高ければ，三角形 \\
$\mathrm{ABC}$と三角形$\mathrm{DEF}$とに交わらない平面$H$と三角柱との交わりが正 \\
三角形となりうることを示せ．
\img{177_2307_2010_1}{10}
(1)$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=5,\ \mathrm{BC}=3,\ \mathrm{AD}=10$とする．三角形$\mathrm{ABC}$と三角形 \\
$\mathrm{DEF}$とに交わらない平面$H$と三角柱との交わりが正三角形となると \\
き，その正三角形の面積を求めよ．
(2)底面がどのような三角形であっても高さが十分に高ければ，三角形 \\
$\mathrm{ABC}$と三角形$\mathrm{DEF}$とに交わらない平面$H$と三角柱との交わりが正 \\
三角形となりうることを示せ．