\begin{mawarikomi}{50mm}{
（図は省略）
}
$1$辺の長さが$1$の正五角形$\mathrm{ABCDE}$があり，図のように，$5$本の対角線の交点を$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{J}$とする．$\triangle \mathrm{ABF}$，$\triangle \mathrm{BCG}$，$\triangle \mathrm{CDH}$，$\triangle \mathrm{DEI}$，$\triangle \mathrm{EAJ}$を切り取り，残った図形を使って，五角形$\mathrm{FGHIJ}$を底面とする五角錐を作るとき，次の問いに答えよ．

(1)五角形$\mathrm{FGHIJ}$の面積は$\triangle \mathrm{AFJ}$の面積の何倍か．
(2)五角錐の体積を求めよ．

\end{mawarikomi}

下図のように，点$\mathrm{O}$を中心とし，半径が$1$で中心角が$\displaystyle \frac{2}{3} \pi$の扇形$\mathrm{OAB}$がある．$\theta$を$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{3}$を満たす角として，弧$\mathrm{AB}$上に，$\angle \mathrm{AOP}=\theta$，$\angle \mathrm{BOQ}=\theta$を満たす点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$をとる．また，点$\mathrm{P}$から線分$\mathrm{OA}$に垂線を下ろし，線分$\mathrm{OA}$との交点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{Q}$から線分$\mathrm{OB}$に垂線を下ろし，線分$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{S}$とする．このとき，以下の問に答えよ．
（図は省略）

(1)三角形$\mathrm{OPR}$の面積を$\theta$を用いて表せ．
(2)三角形$\mathrm{OPQ}$の面積を$\theta$を用いて表せ．
(3)$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{3}$の範囲を動くとき，五角形$\mathrm{ORPQS}$の面積の最大値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$(xz+y)^2-(x+yz)^2$を因数分解せよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{C}={60}^\circ$，$\displaystyle \sin B=\frac{1}{3}$，$\mathrm{AB}=6$のとき，$\mathrm{AC}$を求めよ．
(3)正十五角形の内角の和を求めよ．
(4)不等式$|x^2-7x|<x-4$を解け．

次の問いに答えよ．

(1)$(xz+y)^2-(x+yz)^2$を因数分解せよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{C}={60}^\circ$，$\displaystyle \sin B=\frac{1}{3}$，$\mathrm{AB}=6$のとき，$\mathrm{AC}$を求めよ．
(3)正十五角形の内角の和を求めよ．
(4)不等式$\sin^4 \theta-\sin^2 \theta \geqq 0$を解け．ただし$0^\circ \leqq \theta<{180}^\circ$とする．
(5)$\sqrt{28-3 \sqrt{12}}$の整数部分を求めよ．

平面上に異なる2点$\mathrm{A},\ \mathrm{B}$がある．$\mathrm{A}$を通る直線$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$ \\
と$\mathrm{B}$を通る直線$m_1,\ m_2,\ m_3$が図のように交わっており， \\
直線$\ell_1$と$m_1$の交点を$\mathrm{P}$，$\ell_2$と$m_2$の交点を$\mathrm{Q}$，$\ell_3$と$m_3$の \\
交点を$\mathrm{R}$とする．ただし，$\ell_1$と$\ell_3$，$\ell_2$と$\ell_3$，$m_1$と$m_2$，$m_2$ \\
と$m_3$のなす角はすべて$\displaystyle \frac{\pi}{3}$であり，$\displaystyle 0<\angle \mathrm{PAB}<\frac{\pi}{3}$， \\
$\displaystyle 0<\angle \mathrm{PBA}<\frac{\pi}{3}$である．$\alpha=\angle \mathrm{PAB}$，$\beta=\angle \mathrm{PBA}$として，次の問いに答えなさい．
\img{650_2779_2012_1}{45}


(1)$\angle \mathrm{APB}+\angle \mathrm{AQB}$を求めなさい．
(2)5点$\mathrm{A}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{P}$が同一円周上にあることを示しなさい．
(3)5点$\mathrm{A}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{P}$を通る円の半径が1であるとき，五角形$\mathrm{AQRBP}$の面積を$\sin \alpha$，$\sin \beta$，$\sin 2 \alpha$，$\sin 2 \beta$を用いて表しなさい．

五角形$\mathrm{OABCD}$において，$\displaystyle \angle \mathrm{O}=\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{C}=\frac{\pi}{2}$，$\displaystyle \angle \mathrm{A}=\frac{3\pi}{4}$，$\mathrm{OA}=\mathrm{OD}=1$，$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}$が成り立つとする．$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{E}$とし，$\mathrm{AC}$を$m:1-m$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．ただし，$0<m<1$である．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{d}$で表せ．
(2)$\cos \angle \mathrm{BOP}$を求めよ．
(3)$\displaystyle m \neq \frac{1}{4}$のとき，三角形$\mathrm{OBP}$の面積を求めよ．

円周を$8$等分する点$\mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \cdots,\ \mathrm{P}_8$からいくつかの点を無作為に選ぶ．どの点も選ばれる確率は等しいとするとき，次の問に答えなさい．

(1)異なる$2$点を選ぶとき，この$2$点を端点とする線分が円の直径となる確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$である．
(2)異なる$3$点を選ぶとき，この$3$点からなる三角形が直角二等辺三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
(3)異なる$4$点を選ぶとき，この$4$点からなる四角形が正方形となる確率は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カキ]}$である．
(4)異なる$3$点を選ぶとき，この$3$点からなる三角形が二等辺三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$である．
(5)異なる$5$点を選ぶとき，この$5$点からなる五角形を$F$とする．残りの$3$点のうち$2$点を端点とする線分がいずれも五角形$F$と交わる確率は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$である．