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岩手大学 国立 岩手大学 2011年 第3問
次の文章について,後の問いに答えよ.\\ \\
\quad 地球温暖化問題に関して,二酸化炭素の排出量の削減が叫ばれている.2008年に日本で開かれたサミットでは,42年後の2050年までに,年当たりの排出量を2008年のときと比較して50$\%$以上削減する,という目標が提言された.この目標を達成するために,前年比同率で削減することを考える.\\
\quad 2008年における排出量を$a \ (a>0)$とし,毎年,前年の$d \times 100 \% \ (0<d<1)$を減らすこととする.2008年の1年後の2009年の排出量の目標は[\bf ア]である.2008年から$n$年後の年間排出量を$a_n$とおくと,$a_n=[イ]$である.目標を達成するには$\displaystyle a_{42} \leqq \frac{a}{2}$,つまり,$d$を用いた式で表せば,
\[ [ウ] \leqq \frac{1}{2} \]
が成り立てばよい.両辺の逆数をとれば$\displaystyle \frac{1}{[ウ]} \geqq 2$となる.ところで,不等式
\[ (1+d)^{42} < \frac{1}{[ウ]} \ \, \cdots\cdots \maru{1} \]
が成り立つことがわかる.従って,
\[ (1+d)^{42} \geqq 2 \qquad\qquad \cdots\cdots \maru{2} \]
を満たす$d$を見つければ目標を達成することは明らかである.不等式\maru{2}の左辺は,二項定理により
\[ (1+d)^{42} =\sum_{r=0}^{42} [エ] \]
と表される.これを用いると,\underline{$d=0.02$は不等式\maru{2}を満たす}ことがわかる.つまり,毎年$2\%$の削減を2009年から行ったとすれば,42年後の2050年の排出量は2008年の$50\%$未満となることがわかった.

(1)文章中の[ア]~[エ]に当てはまる式を答えよ.
(2)$0<d<1$とするとき,不等式\maru{1}を証明せよ.
(3)下線部の命題を証明せよ.
(4)毎年$2\%$の削減を行った場合でも,42年間の排出量の合計は,削減率を0のまま2008年と同じ排出量を同じ期間続けたときの排出量の合計の$\displaystyle \frac{7}{12}$倍より大きくなることを証明せよ.
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