「二等辺三角形」について
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国立 福井大学 2011年 第3問平面上に$\text{OA}=\text{OB}=1$である二等辺三角形OABがあり，線分ABを$2:1$に内分する点をC，$2:1$に外分する点をDとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ k=\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$とおくとき，以下の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}$を求めよ．
(2)$\angle \text{AOB}=\angle \text{COD}$となるときの$k$の値$k_0$を求めよ．
(3)$\angle \text{APD}=90^\circ,\ \text{OP}=1$を満たす点Pに対し，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ k$を用いて表せ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}$を求めよ．
(2)$\angle \text{AOB}=\angle \text{COD}$となるときの$k$の値$k_0$を求めよ．
(3)$\angle \text{APD}=90^\circ,\ \text{OP}=1$を満たす点Pに対し，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ k$を用いて表せ．
私立 上智大学 2011年 第3問正$n$角形の頂点から同時に$3$点を選び，それらを頂点とする三角形を作る．ただし，どの$3$点が選ばれるかは同様に確からしいとする．
(1)$n=6$のとき，三角形が直角三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[マ]}{[ミ]}$である．
(2)$n=8$のとき，三角形が鈍角三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[ム]}{[メ]}$である．
(3)$n$が偶数のとき，三角形が直角三角形となる確率は
\[ \frac{[モ]}{n+[ヤ]} \]
であり，三角形が鈍角三角形となる確率は
\[ \frac{[ユ]}{[ヨ]} \left( \frac{n+[ラ]}{n+[リ]} \right) \]
である．
(4)$n$が$6$の倍数のとき，三角形が正三角形以外の二等辺三角形となる確率は
\[ \frac{[ル](n+[レ])}{(n+[ロ])(n+[ワ])} \]
である．ただし，$[ロ]>[ワ]$とする．
(1)$n=6$のとき，三角形が直角三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[マ]}{[ミ]}$である．
(2)$n=8$のとき，三角形が鈍角三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[ム]}{[メ]}$である．
(3)$n$が偶数のとき，三角形が直角三角形となる確率は
\[ \frac{[モ]}{n+[ヤ]} \]
であり，三角形が鈍角三角形となる確率は
\[ \frac{[ユ]}{[ヨ]} \left( \frac{n+[ラ]}{n+[リ]} \right) \]
である．
(4)$n$が$6$の倍数のとき，三角形が正三角形以外の二等辺三角形となる確率は
\[ \frac{[ル](n+[レ])}{(n+[ロ])(n+[ワ])} \]
である．ただし，$[ロ]>[ワ]$とする．
私立 北海道文教大学 2011年 第2問次の$[$1$]$，$[$2$]$に当てはまるものを下の（ア）～（エ）のうちからそれぞれ一つ選びなさい．
(1)$x^2+x-2=0$は$x=-2$であるための$[$1$]$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$が正三角形であることは，$\triangle \mathrm{ABC}$が二等辺三角形であることの$[$2$]$である．
（ア） 必要条件であるが，十分条件でない．
（イ） 十分条件であるが，必要条件でない．
（ウ） 必要十分条件である．
（エ） どちらでもない．
(1)$x^2+x-2=0$は$x=-2$であるための$[$1$]$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$が正三角形であることは，$\triangle \mathrm{ABC}$が二等辺三角形であることの$[$2$]$である．
（ア） 必要条件であるが，十分条件でない．
（イ） 十分条件であるが，必要条件でない．
（ウ） 必要十分条件である．
（エ） どちらでもない．
私立 中部大学 2011年 第4問$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=5$，$\mathrm{BC}=6$の二等辺三角形に内接する円の半径を求めよ．
（図は省略）
（図は省略）
私立 東北医科薬科大学 2011年 第3問円周を$8$等分する点$\mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \cdots,\ \mathrm{P}_8$からいくつかの点を無作為に選ぶ．どの点も選ばれる確率は等しいとするとき，次の問に答えなさい．
(1)異なる$2$点を選ぶとき，この$2$点を端点とする線分が円の直径となる確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$である．
(2)異なる$3$点を選ぶとき，この$3$点からなる三角形が直角二等辺三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
(3)異なる$4$点を選ぶとき，この$4$点からなる四角形が正方形となる確率は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カキ]}$である．
(4)異なる$3$点を選ぶとき，この$3$点からなる三角形が二等辺三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$である．
(5)異なる$5$点を選ぶとき，この$5$点からなる五角形を$F$とする．残りの$3$点のうち$2$点を端点とする線分がいずれも五角形$F$と交わる確率は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$である．
(1)異なる$2$点を選ぶとき，この$2$点を端点とする線分が円の直径となる確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$である．
(2)異なる$3$点を選ぶとき，この$3$点からなる三角形が直角二等辺三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
(3)異なる$4$点を選ぶとき，この$4$点からなる四角形が正方形となる確率は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カキ]}$である．
(4)異なる$3$点を選ぶとき，この$3$点からなる三角形が二等辺三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$である．
(5)異なる$5$点を選ぶとき，この$5$点からなる五角形を$F$とする．残りの$3$点のうち$2$点を端点とする線分がいずれも五角形$F$と交わる確率は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$である．
私立 聖マリアンナ医科大学 2011年 第2問$t$を実数とし，空間内の点$\mathrm{A}(1,\ 2,\ 3)$，$\mathrm{B}(5,\ 4,\ 7)$，$\mathrm{C}(t,\ t+2,\ 3t+5)$を考える．以下の問いに答えなさい．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$が二等辺三角形となるときの$t$の値を，小さい方から順にすべて書きなさい．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$が直角三角形となるときの$t$の値を，小さい方から順にすべて書きなさい．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$が二等辺三角形となるときの$t$の値を，小さい方から順にすべて書きなさい．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$が直角三角形となるときの$t$の値を，小さい方から順にすべて書きなさい．
私立 中央大学 2011年 第2問座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(-2,\ 3)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$と放物線$y=x^2-8x+15$がある．点$\mathrm{P}$が放物線上の$1 \leqq x \leqq 7$の範囲を動くとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{PAB}$が$\mathrm{PA}=\mathrm{PB}$である二等辺三角形となるときの点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{PAB}$の面積が最小となるときの点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{PAB}$が$\mathrm{PA}=\mathrm{PB}$である二等辺三角形となるときの点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{PAB}$の面積が最小となるときの点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
公立 高知工科大学 2011年 第2問底面が正方形で，4個の側面がすべて合同な二等辺三角形である四角錘を考える．底面の正方形の一辺の長さを$x$，側面の二等辺三角形の等しい辺の長さを$a$とする．この四角錘の体積を$V$として，次の各問に答えよ．
(1)$V$を$a$と$x$で表せ．
(2)$x$のとりうる値の範囲を$a$を用いて表せ．
(3)$V$の最大値を$a$を用いて表せ．また，そのときの$x$の値を求めよ．
(1)$V$を$a$と$x$で表せ．
(2)$x$のとりうる値の範囲を$a$を用いて表せ．
(3)$V$の最大値を$a$を用いて表せ．また，そのときの$x$の値を求めよ．
国立 福井大学 2010年 第1問平面上に$\text{OA}=\text{OB}=1$である鋭角二等辺三角形OABがある．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とし，$k=\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$とおく．点Aから辺OBに下ろした垂線とOBとの交点をMとし，Mから辺OAに下ろした垂線とOAとの交点をNとする．さらに，線分AMと線分BNの交点をPとするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OM}}=s\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{\mathrm{ON}}=t\overrightarrow{a}$を満たす実数$s,\ t$を$k$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$k$を用いて表せ．
(3)Pが線分BNを$4:3$に内分するとき，$\triangle$OABは正三角形であることを示せ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OM}}=s\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{\mathrm{ON}}=t\overrightarrow{a}$を満たす実数$s,\ t$を$k$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$k$を用いて表せ．
(3)Pが線分BNを$4:3$に内分するとき，$\triangle$OABは正三角形であることを示せ．
国立 福井大学 2010年 第2問平面上に$\text{OA}=\text{OB}=1$である鋭角二等辺三角形OABがある．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とし，$k=\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$とおく．点Aから辺OBに下ろした垂線とOBとの交点をMとし，Mから辺OAに下ろした垂線とOAとの交点をNとする．さらに，線分AMと線分BNの交点をPとするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OM}}=s\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{\mathrm{ON}}=t\overrightarrow{a}$を満たす実数$s,\ t$を$k$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$k$を用いて表せ．
(3)Pが線分BNを$4:3$に内分するとき，$\triangle$OABは正三角形であることを示せ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OM}}=s\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{\mathrm{ON}}=t\overrightarrow{a}$を満たす実数$s,\ t$を$k$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$k$を用いて表せ．
(3)Pが線分BNを$4:3$に内分するとき，$\triangle$OABは正三角形であることを示せ．