「二等辺三角形」について
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（6ページ目：全74問中51問～60問を表示）
私立 大同大学 2012年 第7問$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$，$\mathrm{BC}=10$をみたす二等辺三角形$\mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$，内接円の半径を$\sqrt{5}$とする．
(1)線分$\mathrm{BI}$の長さを求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を$\mathrm{BP}=\mathrm{BI}$，$\mathrm{IP}=2 \sqrt{5}$をみたすようにとる．$\cos \angle \mathrm{IBP}$の値を求めよ．
(3)辺$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
(1)線分$\mathrm{BI}$の長さを求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を$\mathrm{BP}=\mathrm{BI}$，$\mathrm{IP}=2 \sqrt{5}$をみたすようにとる．$\cos \angle \mathrm{IBP}$の値を求めよ．
(3)辺$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
公立 高知工科大学 2012年 第3問右図のように$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$である二等辺三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$の \\
二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{H}$とし，$\theta=\angle \mathrm{BAH}$，$\mathrm{AH}=1$とする． \\
$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円$C_1$から始めて，$2$辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$に接し，かつ，隣り \\
合う$2$円が互いに外接する円の列$C_1,\ C_2,\ C_3,\ \cdots$を三角形の中に \\
作り，その半径を$r_1,\ r_2,\ r_3,\ \cdots$，面積を$S_1,\ S_2,\ S_3,\ \cdots$とする． \\
このとき，次の各問に答えよ．
\img{676_242_2012_1}{45}
(1)$r_1,\ r_2$の値を求めよ．
(2)数列$\{r_n\}$の一般項$r_n$を求めよ．
(3)無限級数
\[ \sum_{n=1}^\infty S_n=S_1+S_2+\cdots +S_n+\cdots \]
の和を求めよ．
二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{H}$とし，$\theta=\angle \mathrm{BAH}$，$\mathrm{AH}=1$とする． \\
$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円$C_1$から始めて，$2$辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$に接し，かつ，隣り \\
合う$2$円が互いに外接する円の列$C_1,\ C_2,\ C_3,\ \cdots$を三角形の中に \\
作り，その半径を$r_1,\ r_2,\ r_3,\ \cdots$，面積を$S_1,\ S_2,\ S_3,\ \cdots$とする． \\
このとき，次の各問に答えよ．
\img{676_242_2012_1}{45}
(1)$r_1,\ r_2$の値を求めよ．
(2)数列$\{r_n\}$の一般項$r_n$を求めよ．
(3)無限級数
\[ \sum_{n=1}^\infty S_n=S_1+S_2+\cdots +S_n+\cdots \]
の和を求めよ．
公立 岐阜薬科大学 2012年 第3問$3$辺の長さが$10,\ 15,\ 15$の二等辺三角形$6$個を側面とし，$1$辺の長さが$10$の正六角形を底面とする正六角錐について，次の問いに答えよ．
(1)表面積と体積を求めよ．
(2)底面と全ての側面に接する球$\mathrm{P}$の半径を求めよ．
(3)球$\mathrm{P}$と全ての側面に接する球$\mathrm{Q}$の半径を求めよ．
(1)表面積と体積を求めよ．
(2)底面と全ての側面に接する球$\mathrm{P}$の半径を求めよ．
(3)球$\mathrm{P}$と全ての側面に接する球$\mathrm{Q}$の半径を求めよ．
公立 横浜市立大学 2012年 第1問以下の問いに答えよ．
(1)$a$を正の定数として，関数$f(x)$を$f(x)=\log (\sqrt{a^2+x^2}-x)$とおく．$f(x)$を微分して，多項式
\[ f(0)+f^\prime(0)x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+\frac{f^{\prime\prime\prime}(0)}{3!}x^3 \]
を求めよ．
(2)座標平面において，曲線$\displaystyle C:y=\sin x \left( 0<x<\frac{\pi}{2} \right)$上の点$\mathrm{P}(a,\ \sin a)$における$C$の法線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$を直径とする円が，$x$軸と交わる$\mathrm{Q}$以外の点を$\mathrm{R}$とする．このとき，三角形$\mathrm{PQR}$の面積$S(a)$を求めよ．次に，$a$が動くとき，$S(a)$の最大値を求めよ．
（図は省略）
(3)数列$\{a_n\}$
\[ 1,\ \frac{1}{2},\ \frac{2}{1},\ \frac{1}{3},\ \frac{2}{2},\ \frac{3}{1},\ \frac{1}{4},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{2},\ \frac{4}{1},\ \cdots \]
を次のような群に分け，第$m$群には$m$個の数が入るようにする．
$\displaystyle \sitabrace{\frac{1}{1}}_{第1群} \ \bigg| \ \sitabrace{\frac{1}{2},\ \frac{2}{1}}_{第2群} \ \bigg| \ \sitabrace{\frac{1}{3},\ \frac{2}{2},\ \frac{3}{1}}_{第3群} \ \bigg| \ \sitabrace{\frac{1}{4},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{2},\ \frac{4}{1}}_{第4群} \ \bigg| \ ,\ \cdots ,\ $
$\displaystyle \bigg| \ \sitabrace{\frac{1}{m},\ \frac{2}{m-1},\ \cdots ,\ \frac{m-1}{2},\ \frac{m}{1}}_{第m群} \ \bigg| \ ,\ \cdots$
このとき，数列$\{a_n\}$において，$\displaystyle \frac{q}{p}$は第何項か．ただし，$\displaystyle \frac{q}{p}$は，例えば$\displaystyle \frac{2}{4}=\frac{1}{2}$のように，約分しないものとする．次に，第$100$項$a_{100}$を求めよ．
(4)$2$次の正方行列$A$が
\[ A \left( \begin{array}{c}
3 \\
2
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \right),\quad A \left( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
3 \\
2
\end{array} \right) \]
をみたすとする．このとき，自然数$n$に対して$A^n \left( \begin{array}{c}
5 \\
3
\end{array} \right)$を求めよ．
(5)$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$，$\mathrm{BC}$の長さが$1$，$\angle \mathrm{A}$が$\displaystyle \frac{\pi}{5}$の二等辺三角形$\mathrm{ABC}$を考える．頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$から$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の二等分線を引き，対応する辺との交点を，それぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．このとき，三角関数の値
\[ \sin \left( \frac{\pi}{10} \right) \]
を求めよ．
（図は省略）
(1)$a$を正の定数として，関数$f(x)$を$f(x)=\log (\sqrt{a^2+x^2}-x)$とおく．$f(x)$を微分して，多項式
\[ f(0)+f^\prime(0)x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+\frac{f^{\prime\prime\prime}(0)}{3!}x^3 \]
を求めよ．
(2)座標平面において，曲線$\displaystyle C:y=\sin x \left( 0<x<\frac{\pi}{2} \right)$上の点$\mathrm{P}(a,\ \sin a)$における$C$の法線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$を直径とする円が，$x$軸と交わる$\mathrm{Q}$以外の点を$\mathrm{R}$とする．このとき，三角形$\mathrm{PQR}$の面積$S(a)$を求めよ．次に，$a$が動くとき，$S(a)$の最大値を求めよ．
（図は省略）
(3)数列$\{a_n\}$
\[ 1,\ \frac{1}{2},\ \frac{2}{1},\ \frac{1}{3},\ \frac{2}{2},\ \frac{3}{1},\ \frac{1}{4},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{2},\ \frac{4}{1},\ \cdots \]
を次のような群に分け，第$m$群には$m$個の数が入るようにする．
$\displaystyle \sitabrace{\frac{1}{1}}_{第1群} \ \bigg| \ \sitabrace{\frac{1}{2},\ \frac{2}{1}}_{第2群} \ \bigg| \ \sitabrace{\frac{1}{3},\ \frac{2}{2},\ \frac{3}{1}}_{第3群} \ \bigg| \ \sitabrace{\frac{1}{4},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{2},\ \frac{4}{1}}_{第4群} \ \bigg| \ ,\ \cdots ,\ $
$\displaystyle \bigg| \ \sitabrace{\frac{1}{m},\ \frac{2}{m-1},\ \cdots ,\ \frac{m-1}{2},\ \frac{m}{1}}_{第m群} \ \bigg| \ ,\ \cdots$
このとき，数列$\{a_n\}$において，$\displaystyle \frac{q}{p}$は第何項か．ただし，$\displaystyle \frac{q}{p}$は，例えば$\displaystyle \frac{2}{4}=\frac{1}{2}$のように，約分しないものとする．次に，第$100$項$a_{100}$を求めよ．
(4)$2$次の正方行列$A$が
\[ A \left( \begin{array}{c}
3 \\
2
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \right),\quad A \left( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
3 \\
2
\end{array} \right) \]
をみたすとする．このとき，自然数$n$に対して$A^n \left( \begin{array}{c}
5 \\
3
\end{array} \right)$を求めよ．
(5)$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$，$\mathrm{BC}$の長さが$1$，$\angle \mathrm{A}$が$\displaystyle \frac{\pi}{5}$の二等辺三角形$\mathrm{ABC}$を考える．頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$から$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の二等分線を引き，対応する辺との交点を，それぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．このとき，三角関数の値
\[ \sin \left( \frac{\pi}{10} \right) \]
を求めよ．
（図は省略）
国立 東京大学 2011年 第4問座標平面上の1点P$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ \frac{1}{4} \right)$をとる．放物線$y=x^2$上の2点Q$(\alpha,\ \alpha^2)$，R$(\beta,\ \beta^2)$を，3点P，Q，RがQRを底辺とする二等辺三角形をなすように動かすとき，$\triangle$PQRの重心G$(X,\ Y)$の軌跡を求めよ．
国立 千葉大学 2011年 第6問三角形$\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$，重心を$\mathrm{G}$とする．
(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{OA}}$が成り立つならば，三角形$\mathrm{ABC}$は直角三角形であることを証明せよ．
(2)$k$が$\displaystyle k \neq \frac{1}{3}$を満たす実数で，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OG}}=k \overrightarrow{\mathrm{OA}}$が成り立つならば，三角形$\mathrm{ABC}$は二等辺三角形であることを証明せよ．
(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{OA}}$が成り立つならば，三角形$\mathrm{ABC}$は直角三角形であることを証明せよ．
(2)$k$が$\displaystyle k \neq \frac{1}{3}$を満たす実数で，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OG}}=k \overrightarrow{\mathrm{OA}}$が成り立つならば，三角形$\mathrm{ABC}$は二等辺三角形であることを証明せよ．
国立 東京大学 2011年 第4問座標平面上の1点P$\displaystyle \left(\frac{1}{2},\ \frac{1}{4} \right)$をとる．放物線$y=x^2$上の2点Q$(\alpha,\ \alpha^2)$，R$(\beta,\ \beta^2)$を，3点P，Q，RがQRを底辺とする二等辺三角形をなすように動かすとき，$\triangle \text{PQR}$の重心G$(X,\ Y)$の軌跡を求めよ．
国立 千葉大学 2011年 第10問三角形$\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$，重心を$\mathrm{G}$，内心を$\mathrm{I}$とする．
(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{OA}}$が成り立つならば，三角形$\mathrm{ABC}$は直角三角形であることを証明せよ．
(2)$k$が$\displaystyle k \neq \frac{1}{3}$を満たす実数で，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OG}}=k \overrightarrow{\mathrm{OA}}$が成り立つならば，三角形$\mathrm{ABC}$は二等辺三角形であることを証明せよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OI}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=0$が成り立つならば，三角形$\mathrm{ABC}$は二等辺三角形であることを証明せよ．
(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{OA}}$が成り立つならば，三角形$\mathrm{ABC}$は直角三角形であることを証明せよ．
(2)$k$が$\displaystyle k \neq \frac{1}{3}$を満たす実数で，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OG}}=k \overrightarrow{\mathrm{OA}}$が成り立つならば，三角形$\mathrm{ABC}$は二等辺三角形であることを証明せよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OI}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=0$が成り立つならば，三角形$\mathrm{ABC}$は二等辺三角形であることを証明せよ．
国立 愛知教育大学 2011年 第2問$1$辺の長さが$2$の正方形の紙を用意し，頂点を$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_3$， \\
$\mathrm{A}_4$と名づける．右図のように，正方形の各辺を底辺とする高さ \\
$1-t \ (0<t<1)$の$4$つの二等辺三角形$\triangle \mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{B}_1$， \\
$\triangle \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3 \mathrm{B}_2$，$\triangle \mathrm{A}_3 \mathrm{A}_4 \mathrm{B}_3$，$\triangle \mathrm{A}_4 \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_4$を正方形から切り離す． \\
そして，4本の線分$\mathrm{B}_1 \mathrm{B}_2$，$\mathrm{B}_2 \mathrm{B}_3$，$\mathrm{B}_3 \mathrm{B}_4$，$\mathrm{B}_4 \mathrm{B}_1$で紙を折り， \\
点$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_3$，$\mathrm{A}_4$が1点になるように辺を貼り合わせて四角すいを作る．このとき，以下の問いに答えよ．
\img{409_2566_2011_1}{55}
(1)この四角すいの表面積$S$を$t$の式で表せ．
(2)この四角すいの体積$V$を$t$の式で表せ．
(3)$\displaystyle \left( \frac{V}{S} \right)^2$を$f(t)$とおくとき，$f(t)$が3次関数になることを示し，$f(t)$の最大値とそのときの$t$の値を求めよ．
$\mathrm{A}_4$と名づける．右図のように，正方形の各辺を底辺とする高さ \\
$1-t \ (0<t<1)$の$4$つの二等辺三角形$\triangle \mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{B}_1$， \\
$\triangle \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3 \mathrm{B}_2$，$\triangle \mathrm{A}_3 \mathrm{A}_4 \mathrm{B}_3$，$\triangle \mathrm{A}_4 \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_4$を正方形から切り離す． \\
そして，4本の線分$\mathrm{B}_1 \mathrm{B}_2$，$\mathrm{B}_2 \mathrm{B}_3$，$\mathrm{B}_3 \mathrm{B}_4$，$\mathrm{B}_4 \mathrm{B}_1$で紙を折り， \\
点$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_3$，$\mathrm{A}_4$が1点になるように辺を貼り合わせて四角すいを作る．このとき，以下の問いに答えよ．
\img{409_2566_2011_1}{55}
(1)この四角すいの表面積$S$を$t$の式で表せ．
(2)この四角すいの体積$V$を$t$の式で表せ．
(3)$\displaystyle \left( \frac{V}{S} \right)^2$を$f(t)$とおくとき，$f(t)$が3次関数になることを示し，$f(t)$の最大値とそのときの$t$の値を求めよ．
国立 宇都宮大学 2011年 第1問座標平面の$x$軸上を動く点$\mathrm{P}$と$y$軸上を動く点$\mathrm{Q}$に対して次の操作を行う．\\
「大小$2$つのさいころを同時に投げて，
\begin{itemize}
点$\mathrm{P}$を大きいさいころの目が奇数ならば$+1$，偶数ならば$+2$動かす
点$\mathrm{Q}$を小さいさいころの目が奇数ならば$+1$，偶数ならば$+2$動かす」
\end{itemize}
点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$は原点を出発点とするとき，座標平面上にできる三角形$\mathrm{OPQ}$について，次の問いに答えよ．
(1)この操作を$2$回続けたとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$が二等辺三角形となる確率を求めよ．
(2)この操作を$2$回続けたときの$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積の期待値を求めよ．
(3)この操作を$3$回続けたとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積が整数になる確率を求めよ．
「大小$2$つのさいころを同時に投げて，
\begin{itemize}
点$\mathrm{P}$を大きいさいころの目が奇数ならば$+1$，偶数ならば$+2$動かす
点$\mathrm{Q}$を小さいさいころの目が奇数ならば$+1$，偶数ならば$+2$動かす」
\end{itemize}
点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$は原点を出発点とするとき，座標平面上にできる三角形$\mathrm{OPQ}$について，次の問いに答えよ．
(1)この操作を$2$回続けたとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$が二等辺三角形となる確率を求めよ．
(2)この操作を$2$回続けたときの$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積の期待値を求めよ．
(3)この操作を$3$回続けたとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積が整数になる確率を求めよ．