「二等辺三角形」について
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国立 奈良教育大学 2012年 第2問三角形$\mathrm{ABC}$において，次の関係が成り立つとき，三角形$\mathrm{ABC}$は直角三角形，または，二等辺三角形であることを示せ．
\[ a \cos A=b \cos B \]
ただし，$a,\ b$はそれぞれ三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{AC}$の長さを表し，$A,\ B$はそれぞれ三角形$\mathrm{ABC}$の$\angle \mathrm{BAC},\ \angle \mathrm{ABC}$を表す．
\[ a \cos A=b \cos B \]
ただし，$a,\ b$はそれぞれ三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{AC}$の長さを表し，$A,\ B$はそれぞれ三角形$\mathrm{ABC}$の$\angle \mathrm{BAC},\ \angle \mathrm{ABC}$を表す．
国立 山形大学 2012年 第1問単位円の円周を$6$等分する点を時計回りの順に$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_4$，$\mathrm{P}_5$，$\mathrm{P}_6$とする．さいころを投げて出た目$i$と点$\mathrm{P}_i$を対応させる．さいころを$3$回投げて出た目が全て異なる場合は対応する点を結ぶと三角形ができる．次の問に答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_5$と$\triangle \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_5$の面積をそれぞれ求めよ．
(2)さいころを$3$回投げて，三角形ができる確率を求めよ．
(3)さいころを$3$回投げて，二等辺三角形（ただし正三角形は除く）ができる確率を求めよ．
(4)さいころを$3$回投げてできる図形の面積の期待値を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_5$と$\triangle \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_5$の面積をそれぞれ求めよ．
(2)さいころを$3$回投げて，三角形ができる確率を求めよ．
(3)さいころを$3$回投げて，二等辺三角形（ただし正三角形は除く）ができる確率を求めよ．
(4)さいころを$3$回投げてできる図形の面積の期待値を求めよ．
私立 早稲田大学 2012年 第3問$x$-$y$平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{1}{\sqrt{2}},\ 0 \right)$，$\displaystyle \mathrm{B} \left( 0,\ \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$をとり，図のように，$\triangle \mathrm{OAB}$の各辺上または内部に，$\mathrm{DE} \para \mathrm{OB}$かつ$\angle \mathrm{DCE}$を直角とする二等辺三角形$\mathrm{CDE}$をとる．点$\mathrm{C}$，$\mathrm{E}$はそれぞれ$\mathrm{OB}$，$\mathrm{AB}$上の点とする．線分$\mathrm{CE}$の長さを$m (>0)$とおくとき，次の各問に答えよ．
(1)$m$の最大値を求めよ．
(2)$s,\ t$を正数とし，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}}+s \overrightarrow{\mathrm{CD}}+t \overrightarrow{\mathrm{CE}}$を$[ア] \overrightarrow{\mathrm{OA}}+[イ] \overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表すとき，空欄$[ア]$，$[イ]$をそれぞれ$s,\ t$および$m$の式で表せ.
(3)等式$\overrightarrow{\mathrm{OC}}+s \overrightarrow{\mathrm{CD}}+t \overrightarrow{\mathrm{CE}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$をみたす$s$，$t$をそれぞれ$m$の式で表せ．
(4)(3)で求めた$s,\ t$を用いて，点$\mathrm{P}(x,\ y)$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$によって定める．このとき，$\displaystyle \frac{y}{x}$を$\displaystyle \frac{1}{m}$の式で表せ．
(5)(4)における点$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡は$x,\ y$の方程式
\[ (x+[ウ])^2+(y-[エ])^2=[オ] \]
で表される．このとき，空欄$[ウ]$，$[エ]$，$[オ]$にあてはまる数値を求めよ．
（図は省略）
(1)$m$の最大値を求めよ．
(2)$s,\ t$を正数とし，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}}+s \overrightarrow{\mathrm{CD}}+t \overrightarrow{\mathrm{CE}}$を$[ア] \overrightarrow{\mathrm{OA}}+[イ] \overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表すとき，空欄$[ア]$，$[イ]$をそれぞれ$s,\ t$および$m$の式で表せ.
(3)等式$\overrightarrow{\mathrm{OC}}+s \overrightarrow{\mathrm{CD}}+t \overrightarrow{\mathrm{CE}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$をみたす$s$，$t$をそれぞれ$m$の式で表せ．
(4)(3)で求めた$s,\ t$を用いて，点$\mathrm{P}(x,\ y)$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$によって定める．このとき，$\displaystyle \frac{y}{x}$を$\displaystyle \frac{1}{m}$の式で表せ．
(5)(4)における点$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡は$x,\ y$の方程式
\[ (x+[ウ])^2+(y-[エ])^2=[オ] \]
で表される．このとき，空欄$[ウ]$，$[エ]$，$[オ]$にあてはまる数値を求めよ．
（図は省略）
私立 明治大学 2012年 第2問空欄$[ ]$に当てはまるものを入れよ．
$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=r$である二等辺三角形$\mathrm{ABC}$がある．$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とおく．点$\mathrm{P}$は$\angle \mathrm{PBC}=\angle \mathrm{PCA}=90^\circ$を満たす．次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおく．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{[ア]}{[イ]} \overrightarrow{b}+\frac{[ウ]}{[エ]} \overrightarrow{c} \]
が成り立つ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}=\triangle \mathrm{BCP}$であるのは$\displaystyle \cos \theta=\frac{[オ]}{[カ]}$のときである．このとき，$\displaystyle \triangle \mathrm{ABC}=\frac{\sqrt{[キ]}}{[ク]} \cdot r^2$である．
(3)$\mathrm{AB}=\mathrm{BP}$であるのは$\displaystyle \cos \theta=\frac{[ケ]-\sqrt{[コサ]}}{[シ]}$のときである．
$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=r$である二等辺三角形$\mathrm{ABC}$がある．$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とおく．点$\mathrm{P}$は$\angle \mathrm{PBC}=\angle \mathrm{PCA}=90^\circ$を満たす．次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおく．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{[ア]}{[イ]} \overrightarrow{b}+\frac{[ウ]}{[エ]} \overrightarrow{c} \]
が成り立つ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}=\triangle \mathrm{BCP}$であるのは$\displaystyle \cos \theta=\frac{[オ]}{[カ]}$のときである．このとき，$\displaystyle \triangle \mathrm{ABC}=\frac{\sqrt{[キ]}}{[ク]} \cdot r^2$である．
(3)$\mathrm{AB}=\mathrm{BP}$であるのは$\displaystyle \cos \theta=\frac{[ケ]-\sqrt{[コサ]}}{[シ]}$のときである．
私立 北海学園大学 2012年 第3問$\mathrm{AB}=x^2$，$\mathrm{BC}=x+2$，$\mathrm{CA}=2x^2-6x+9$の三角形$\mathrm{ABC}$が二等辺三角形になるとき，次の問いに答えよ．ただし，$x>0$とする．
(1)$x$のとりうる値をすべて求めよ．
(2)それぞれの$x$の値について，$\cos A,\ \cos B,\ \cos C$を求めよ．
(3)それぞれの$x$の値について，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径$R$を求めよ．
(1)$x$のとりうる値をすべて求めよ．
(2)それぞれの$x$の値について，$\cos A,\ \cos B,\ \cos C$を求めよ．
(3)それぞれの$x$の値について，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径$R$を求めよ．
私立 昭和大学 2012年 第2問$1$辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{OAB}$がある．辺$\mathrm{AB}$上に$\displaystyle \mathrm{AM}=\frac{2}{3}$となる点$\mathrm{M}$をとる．また，辺$\mathrm{OA}$上に$\mathrm{OP}=p (0<p<1)$となる点$\mathrm{P}$をとり，線分$\mathrm{OM}$と線分$\mathrm{BP}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．次の各問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ p$で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ p$で表せ．
(3)三角形$\mathrm{OPQ}$が二等辺三角形となるような$p$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ p$で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ p$で表せ．
(3)三角形$\mathrm{OPQ}$が二等辺三角形となるような$p$の値を求めよ．
私立 関西学院大学 2012年 第1問次の文章中の$[ ]$に適する式または数値を記入せよ．
(1)実数$x$が不等式${(\log_2 x)}^2-\log_2 (4x)<0$を満たすとする．このとき，$\log_2 x$の範囲は
\[ [ア]<\log_2 x<[イ] \]
であるから，$x$の範囲は
\[ [ウ]<x<[エ] \]
である．
(2)数列$2,\ 3,\ 0,\ 9,\ -18,\ 63,\ -180,\ \cdots$を$\{a_n\}$とするとき，$\{a_n\}$の階差数列$\{b_n\}$は初項$[オ]$，公比$[カ]$の等比数列である．したがって，$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[キ]$である．
(3)円$C$上に頂点をもつ正$8$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_8$の頂点から異なる$3$点を選び，それらを結んで三角形を作る．三角形の作り方は全部で$[ク]$通りある．これらの三角形のうち一辺が円$C$の直径になるものは$[ケ]$個ある．また二等辺三角形になるものは$[コ]$個ある．
(1)実数$x$が不等式${(\log_2 x)}^2-\log_2 (4x)<0$を満たすとする．このとき，$\log_2 x$の範囲は
\[ [ア]<\log_2 x<[イ] \]
であるから，$x$の範囲は
\[ [ウ]<x<[エ] \]
である．
(2)数列$2,\ 3,\ 0,\ 9,\ -18,\ 63,\ -180,\ \cdots$を$\{a_n\}$とするとき，$\{a_n\}$の階差数列$\{b_n\}$は初項$[オ]$，公比$[カ]$の等比数列である．したがって，$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[キ]$である．
(3)円$C$上に頂点をもつ正$8$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_8$の頂点から異なる$3$点を選び，それらを結んで三角形を作る．三角形の作り方は全部で$[ク]$通りある．これらの三角形のうち一辺が円$C$の直径になるものは$[ケ]$個ある．また二等辺三角形になるものは$[コ]$個ある．
私立 安田女子大学 2012年 第3問$1$辺の長さが$1$の正方形の紙を用意し，頂点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$とする．次の図のように，正方形の各辺を底辺とする高さ$x$の$4$つの二等辺三角形$\triangle \mathrm{ABE}$，$\triangle \mathrm{BCF}$，$\triangle \mathrm{CDG}$，$\triangle \mathrm{DAH}$を正方形から切り取り，残りを図の$4$本の線分$\mathrm{EF}$，$\mathrm{FG}$，$\mathrm{GH}$，$\mathrm{HE}$にそって折り曲げて，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$が$1$点になるように辺を合わせて四角錐を作るとする．ただし，$\displaystyle 0<x<\frac{1}{2}$とする．このとき，次の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)この四角錐の底面となる正方形$\mathrm{EFGH}$の面積を求めよ．
(2)この四角錐の表面積となる図の斜線部分の面積を求めよ．
(3)$(2)$で求めた四角錐の表面積が$\displaystyle \frac{1}{2}$のとき，この四角錐の体積を求めよ．
（図は省略）
(1)この四角錐の底面となる正方形$\mathrm{EFGH}$の面積を求めよ．
(2)この四角錐の表面積となる図の斜線部分の面積を求めよ．
(3)$(2)$で求めた四角錐の表面積が$\displaystyle \frac{1}{2}$のとき，この四角錐の体積を求めよ．
私立 東京女子大学 2012年 第1問$\mathrm{AC}=\mathrm{BC}$をみたす二等辺三角形$\mathrm{ABC}$を考える．$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円において，点$\mathrm{D}$は点$\mathrm{B}$を含まない弧$\mathrm{AC}$上にあり，$\mathrm{AD}=\mathrm{CD}$である．$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=3$のとき，以下の設問に答えよ．
(1)$\angle \mathrm{ABC}=\theta$とおくとき，$\sin \theta$を求めよ．
(2)$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(3)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．
(1)$\angle \mathrm{ABC}=\theta$とおくとき，$\sin \theta$を求めよ．
(2)$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(3)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．
私立 中央大学 2012年 第1問次の問題文の空欄にもっとも適する答えを解答群から選び，その記号をマークせよ．ただし，同じ記号を$2$度以上用いてもよい．
$a,\ b,\ r,\ k$は$a>b>0$，$r>0$，$k>0$を満たす定数とする．
座標平面の相異なる$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が円$X^2+Y^2=r^2$の上を動くとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S_1$の最大値は次のようにして求められる．まず，$2$点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を固定して点$\mathrm{A}$を動かすとき，その三角形の高さに注意すれば，面積が最大となるのは，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$であるような二等辺三角形のときである．したがって，この円に内接する二等辺三角形のうちで面積が最大のものを見つければよい．そこで，$\mathrm{A}(0,\ r)$，$\mathrm{B}(-r \cos \theta,\ r \sin \theta)$，$\mathrm{C}(r \cos \theta,\ r \sin \theta)$ $\displaystyle \left( -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とすれば$S_1$の最大値は$\sin \theta=[ア]$のとき$S_1=[イ] r^2$であることがわかる．
点$\mathrm{P}(x,\ y)$の$y$座標を$k$倍した点を$\mathrm{P}^\prime(x,\ ky)$とおく．相異なる$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標を$\mathrm{A}(x_1,\ y_1)$，$\mathrm{B}(x_2,\ y_2)$，$\mathrm{C}(x_3,\ y_3)$としたとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$は内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて計算すると$[ウ]$と表される．したがって，点$\mathrm{A}^\prime(x_1,\ ky_1)$，$\mathrm{B}^\prime(x_2,\ ky_2)$，$\mathrm{C}^\prime(x_3,\ ky_3)$のなす三角形の面積を$S_2$とおくと，$S_2$は$S$の$[エ]$倍である．
点$\mathrm{P}(x,\ y)$は楕円$\displaystyle E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$の上を動く点とする．$\displaystyle k=\frac{a}{b}$であるとき，点$\mathrm{P}^\prime(x,\ ky)$は原点を中心とする半径$[オ]$の円上を動く．したがって，相異なる$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が楕円$E$上を動くとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積の最大値は$a,\ b$を用いて$[カ]$と表される．
\begin{itemize}
ア，イの解答群
\[ \begin{array}{lllll}
\marua -\displaystyle\frac{1}{2} \phantom{AAA} & \marub -\displaystyle\frac{1}{3} \phantom{AAA} & \maruc \displaystyle\frac{1}{3} & \marud \displaystyle\frac{1}{2} \phantom{AAA} & \marue \displaystyle\frac{16}{9} \\ \\
\maruf -\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} & \marug -\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3} & \maruh \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4} & \marui \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} & \maruj \displaystyle\frac{3 \sqrt{3}}{4} \\ \\
\maruk \displaystyle\frac{8 \sqrt{2}}{9} & \marul \displaystyle\frac{2+\sqrt{3}}{4} & \marum \displaystyle\frac{\sqrt{2}(1+\sqrt{3})}{3} & &
\end{array} \]
ウの解答群
\mon[$\marua$] $\displaystyle |(x_2-x_1)(x_3-x_1)+(y_2-y_1)(y_3-y_1)|$
\mon[$\marub$] $\displaystyle\frac{1}{2} |(x_2-x_1)(x_3-x_1)+(y_2-y_1)(y_3-y_1)|$
\mon[$\maruc$] $\displaystyle |(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(x_3-x_1)(y_2-y_1)|$
\mon[$\marud$] $\displaystyle\frac{1}{2} |(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(x_3-x_1)(y_2-y_1)|$
\mon[$\marue$] $\displaystyle |(x_2-x_1)(y_3-y_1)+(x_3-x_1)(y_2-y_1)|$
\mon[$\maruf$] $\displaystyle\frac{1}{2} |(x_2-x_1)(y_3-y_1)+(x_3-x_1)(y_2-y_1)|$
\mon[$\marug$] $\displaystyle \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \sqrt{(x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2}$
$\displaystyle -\{(x_2-x_1)(x_3-x_1)+(y_2-y_1)(y_3-y_1)\}$
\mon[$\maruh$] $\displaystyle\frac{1}{2} \biggl[ \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \sqrt{(x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2}$
$\displaystyle -\{(x_2-x_1)(x_3-x_1)+(y_2-y_1)(y_3-y_1)\} \biggr]$
エの解答群
\[ \marua \frac{1}{k^3} \quad \marub \frac{1}{k^2} \quad \maruc \frac{1}{k} \quad \marud \frac{2}{k} \quad \marue \frac{k}{2} \quad \maruf k \quad \marug k^2 \quad \maruh k^3 \]
オの解答群
\[ \begin{array}{lllll}
\marua \displaystyle\frac{a}{2} \phantom{AAA} & \marub \displaystyle\frac{a^2}{4} \phantom{AAA} & \maruc a \phantom{AAA} & \marud a^2 \phantom{AAA} & \marue ab \\
\maruf \displaystyle\frac{b}{2} & \marug \displaystyle\frac{b^2}{4} & \maruh b & \marui b^2 & \maruj (ab)^2 \phantom{\frac{{[ ]}^2}{2}}
\end{array} \]
カの解答群
\[ \begin{array}{lllll}
\marua \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}ab \phantom{AA} & \marub \displaystyle\frac{8 \sqrt{2}}{9} ab \phantom{AA} & \maruc \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4} ab \phantom{AA} & \marud \displaystyle\frac{16}{9}ab \phantom{AA} & \marue \displaystyle\frac{3 \sqrt{3}}{4} ab \\ \\
\maruf \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \frac{a^3}{b} & \marug \displaystyle\frac{8 \sqrt{2}}{9} \frac{a^3}{b} & \maruh \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4} \frac{a^3}{b} & \marui \displaystyle\frac{16}{9} \frac{a^3}{b} & \maruj \displaystyle\frac{3 \sqrt{3}}{4} \frac{a^3}{b}
\end{array} \]
\end{itemize}
$a,\ b,\ r,\ k$は$a>b>0$，$r>0$，$k>0$を満たす定数とする．
座標平面の相異なる$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が円$X^2+Y^2=r^2$の上を動くとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S_1$の最大値は次のようにして求められる．まず，$2$点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を固定して点$\mathrm{A}$を動かすとき，その三角形の高さに注意すれば，面積が最大となるのは，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$であるような二等辺三角形のときである．したがって，この円に内接する二等辺三角形のうちで面積が最大のものを見つければよい．そこで，$\mathrm{A}(0,\ r)$，$\mathrm{B}(-r \cos \theta,\ r \sin \theta)$，$\mathrm{C}(r \cos \theta,\ r \sin \theta)$ $\displaystyle \left( -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とすれば$S_1$の最大値は$\sin \theta=[ア]$のとき$S_1=[イ] r^2$であることがわかる．
点$\mathrm{P}(x,\ y)$の$y$座標を$k$倍した点を$\mathrm{P}^\prime(x,\ ky)$とおく．相異なる$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標を$\mathrm{A}(x_1,\ y_1)$，$\mathrm{B}(x_2,\ y_2)$，$\mathrm{C}(x_3,\ y_3)$としたとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$は内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて計算すると$[ウ]$と表される．したがって，点$\mathrm{A}^\prime(x_1,\ ky_1)$，$\mathrm{B}^\prime(x_2,\ ky_2)$，$\mathrm{C}^\prime(x_3,\ ky_3)$のなす三角形の面積を$S_2$とおくと，$S_2$は$S$の$[エ]$倍である．
点$\mathrm{P}(x,\ y)$は楕円$\displaystyle E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$の上を動く点とする．$\displaystyle k=\frac{a}{b}$であるとき，点$\mathrm{P}^\prime(x,\ ky)$は原点を中心とする半径$[オ]$の円上を動く．したがって，相異なる$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が楕円$E$上を動くとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積の最大値は$a,\ b$を用いて$[カ]$と表される．
\begin{itemize}
ア，イの解答群
\[ \begin{array}{lllll}
\marua -\displaystyle\frac{1}{2} \phantom{AAA} & \marub -\displaystyle\frac{1}{3} \phantom{AAA} & \maruc \displaystyle\frac{1}{3} & \marud \displaystyle\frac{1}{2} \phantom{AAA} & \marue \displaystyle\frac{16}{9} \\ \\
\maruf -\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} & \marug -\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3} & \maruh \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4} & \marui \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} & \maruj \displaystyle\frac{3 \sqrt{3}}{4} \\ \\
\maruk \displaystyle\frac{8 \sqrt{2}}{9} & \marul \displaystyle\frac{2+\sqrt{3}}{4} & \marum \displaystyle\frac{\sqrt{2}(1+\sqrt{3})}{3} & &
\end{array} \]
ウの解答群
\mon[$\marua$] $\displaystyle |(x_2-x_1)(x_3-x_1)+(y_2-y_1)(y_3-y_1)|$
\mon[$\marub$] $\displaystyle\frac{1}{2} |(x_2-x_1)(x_3-x_1)+(y_2-y_1)(y_3-y_1)|$
\mon[$\maruc$] $\displaystyle |(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(x_3-x_1)(y_2-y_1)|$
\mon[$\marud$] $\displaystyle\frac{1}{2} |(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(x_3-x_1)(y_2-y_1)|$
\mon[$\marue$] $\displaystyle |(x_2-x_1)(y_3-y_1)+(x_3-x_1)(y_2-y_1)|$
\mon[$\maruf$] $\displaystyle\frac{1}{2} |(x_2-x_1)(y_3-y_1)+(x_3-x_1)(y_2-y_1)|$
\mon[$\marug$] $\displaystyle \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \sqrt{(x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2}$
$\displaystyle -\{(x_2-x_1)(x_3-x_1)+(y_2-y_1)(y_3-y_1)\}$
\mon[$\maruh$] $\displaystyle\frac{1}{2} \biggl[ \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \sqrt{(x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2}$
$\displaystyle -\{(x_2-x_1)(x_3-x_1)+(y_2-y_1)(y_3-y_1)\} \biggr]$
エの解答群
\[ \marua \frac{1}{k^3} \quad \marub \frac{1}{k^2} \quad \maruc \frac{1}{k} \quad \marud \frac{2}{k} \quad \marue \frac{k}{2} \quad \maruf k \quad \marug k^2 \quad \maruh k^3 \]
オの解答群
\[ \begin{array}{lllll}
\marua \displaystyle\frac{a}{2} \phantom{AAA} & \marub \displaystyle\frac{a^2}{4} \phantom{AAA} & \maruc a \phantom{AAA} & \marud a^2 \phantom{AAA} & \marue ab \\
\maruf \displaystyle\frac{b}{2} & \marug \displaystyle\frac{b^2}{4} & \maruh b & \marui b^2 & \maruj (ab)^2 \phantom{\frac{{[ ]}^2}{2}}
\end{array} \]
カの解答群
\[ \begin{array}{lllll}
\marua \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}ab \phantom{AA} & \marub \displaystyle\frac{8 \sqrt{2}}{9} ab \phantom{AA} & \maruc \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4} ab \phantom{AA} & \marud \displaystyle\frac{16}{9}ab \phantom{AA} & \marue \displaystyle\frac{3 \sqrt{3}}{4} ab \\ \\
\maruf \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \frac{a^3}{b} & \marug \displaystyle\frac{8 \sqrt{2}}{9} \frac{a^3}{b} & \maruh \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4} \frac{a^3}{b} & \marui \displaystyle\frac{16}{9} \frac{a^3}{b} & \maruj \displaystyle\frac{3 \sqrt{3}}{4} \frac{a^3}{b}
\end{array} \]
\end{itemize}