$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$をみたす二等辺三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{AB}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{Q}$，直線$\mathrm{OP}$と直線$\mathrm{AQ}$の交点を$\mathrm{R}$，直線$\mathrm{BR}$と辺$\mathrm{OA}$の交点を$\mathrm{S}$とし，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおく．このとき，直線$\mathrm{BS}$は辺$\mathrm{OA}$と直交しているとする．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BS}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(4)三角形$\mathrm{OAB}$の面積を求めよ．

$n$を$3$以上の自然数とし，$m$を自然数とする．正$n$角形の$n$個の頂点のうちの$3$個を頂点とする三角形を考える．次の問いに答えよ．

(1)すべての三角形の個数を求めよ．
(2)直角三角形の個数を求めよ．
(3)$n=3m$のとき，正三角形の個数を求めよ．
(4)$n=3m$のとき，二等辺三角形の個数を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)方程式$\log_3 (x-1)+\log_9 (x+9)-1=0$を解け．
(2)$1$辺の長さが$1$の正方形の紙から右図のように高さが$x$の合同な$4$枚の二等辺三角形を切りとって除き，四角錐の展開図を作る．その展開図を折り曲げて作られる四角錐の体積$V$が最大となる$x$と，その時の体積$V$の最大値を求めよ．
（図は省略）

以下の問に答えよ．

(1)$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$である二等辺三角形$\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{AC}$上に$\mathrm{AD}=\mathrm{BD}=\mathrm{BC}$となる点$\mathrm{D}$をとることができるとき，$\displaystyle \sin \frac{A}{2}$はいくらか．
(2)実数の組$(x,\ y)$が連立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
x^2+y^2 \leqq 4 \\
y \geqq \displaystyle\frac{x^2}{\sqrt{2}}
\end{array} \right.$を満たすとき，$\sqrt{2}x+y$の最大値と最小値を求めよ．
(3)座標空間の$2$点$\mathrm{A}(1,\ -2,\ -1)$，$\mathrm{B}(4,\ 2,\ 4)$を通る直線$\ell_1$上にあり，原点までの距離が$34$の点を$\mathrm{C}$（$\mathrm{C}$の$x$座標は正とする）．点$\mathrm{A}$を通り方向ベクトル$\overrightarrow{h}=(4,\ -3,\ -5)$をもつ直線を$\ell_2$とする．このとき，$\mathrm{C}$と$\ell_2$を含む平面において，$\ell_2$に関して$\mathrm{C}$と対称な点$\mathrm{D}$の座標を求めよ．

$1,\ 3,\ 5$の$3$つの数から重複を許して$3$つの数を選び，その$3$つの数を辺の長さとする三角形を作ろうとするとき，以下の問に答えよ．ただし，$3$つの数の組み合わせは$(1,\ 1,\ 3)$，$(1,\ 5,\ 5)$のように記すこと．

(1)$3$つの数を選ぶ組み合わせは何通りあるか．ただし，三角形ができない組み合わせも含むとする．
(2)正三角形ができる組み合わせを列挙せよ．
(3)正三角形ではない二等辺三角形ができる組み合わせを列挙せよ．
(4)三角形ができない組み合わせを列挙せよ．

正$12$角形の異なる$3$つの頂点を結んで三角形を作る．

(1)三角形は全部で$[アイウ]$個できる．

(2)正三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[エ]}{[オカ]}$である．

(3)直角三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[キ]}{[クケ]}$である．

(4)二等辺三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[コサ]}{[シス]}$である．

図のように点$\mathrm{O}$を中心とする円の円周を$12$等分する$12$個の点をとり，そのうちの$1$つを点$\mathrm{A}$とする．さらに点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$が互いに異なるように選ぶ．ただし点$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$はこの順に時計の針の回転と逆の向きに並ぶものとする．このとき，次の各問に答えよ．
（図は省略）

(1)$\triangle \mathrm{APQ}$が直角三角形になる確率を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{APQ}$が二等辺三角形になる確率を求めよ．
(3)点$\mathrm{O}$が$\triangle \mathrm{APQ}$の内部または周上にある確率を求めよ．
（図は省略）

$\angle \mathrm{A}={36}^\circ$，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$の二等辺三角形$\mathrm{ABC}$の底角$\mathrm{C}$の二等分線が$\mathrm{AB}$と交わる点を$\mathrm{D}$とする．

(1)$\mathrm{BC}=2$のとき，辺$\mathrm{BD}$と$\mathrm{CA}$の長さを求めよ．
(2)$(1)$の結果を使って，$\sin {18}^\circ$と$\cos {36}^\circ$の値を求めよ．

正$n$角形の頂点を$\mathrm{A}_0$，$\mathrm{A}_1$，$\cdots$，$\mathrm{A}_{n-1}$とする．頂点$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\cdots$，$\mathrm{A}_{n-1}$から$2$点をとり，それらと$\mathrm{A}_0$を頂点とする三角形を作る．このようにして得られる三角形の総数を$a_n$，そのうちの二等辺三角形の総数を$b_n$とする．ただし正三角形は二等辺三角形とみなす．このとき以下の問いに答えよ．

(1)$a_6$および$b_6$を求めよ．
(2)整数$m \geqq 3$に対し，$S=\displaystyle\sum_{k=3}^m a_k$を求めよ．
(3)$b_9$を求めよ．

座標平面に点$\mathrm{E}(1,\ 0)$，$\mathrm{F}(1,\ 1)$，$\mathrm{F}^\prime(-5,\ 11)$がある．さらに点$\mathrm{E}^\prime$は第1象限にあり，$\mathrm{O}$を原点とするとき，三角形$\mathrm{OE}^\prime \mathrm{F}^\prime$は角$\mathrm{E}^\prime$が直角の二等辺三角形である．

(1)点$\mathrm{E}^\prime$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{E}$を点$\mathrm{E}^\prime$に，点$\mathrm{F}$を点$\mathrm{F}^\prime$に移すような1次変換を$f$とする．$f$を表す行列を求めよ．
(3)座標平面に三角形$\mathrm{OPQ}$があり，(2)の1次変換$f$により点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{P}^\prime$に，点$\mathrm{Q}$が点$\mathrm{Q}^\prime$に移るとする．三角形$\mathrm{OPQ}$と三角形$\mathrm{OP}^\prime \mathrm{Q}^\prime$は相似であることを示せ．