「二等辺三角形」について
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国立 琉球大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} x \cos 2x \, dx$を求めよ．
(2)$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=1$である二等辺三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{BC}=2x$，内接円の半径を$r$とおく．
\mon[$①$] $r$を$x$を用いて表せ．
\mon[$②$] $r$が最大となる$x$の値を求めよ（最大値そのものは求める必要はない）．
(1)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} x \cos 2x \, dx$を求めよ．
(2)$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=1$である二等辺三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{BC}=2x$，内接円の半径を$r$とおく．
\mon[$①$] $r$を$x$を用いて表せ．
\mon[$②$] $r$が最大となる$x$の値を求めよ（最大値そのものは求める必要はない）．
国立 奈良女子大学 2014年 第5問三角形$\mathrm{ABC}$を$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$かつ$\mathrm{AB}>\mathrm{BC}$である二等辺三角形とする．辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{D}$を，三角形$\mathrm{ABC}$と三角形$\mathrm{CDB}$が相似となるようにとる．三角形$\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$，三角形$\mathrm{ADC}$の外心を$\mathrm{P}$とする．以下の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{P}$は三角形$\mathrm{ADC}$の外部にあることを示せ．
(2)四角形$\mathrm{AOCP}$において，$\angle \mathrm{AOC}=\angle \mathrm{APC}$であることを示せ．
(3)三角形$\mathrm{CDB}$の外心は，三角形$\mathrm{ADC}$の外接円の周上にあることを示せ．
(1)点$\mathrm{P}$は三角形$\mathrm{ADC}$の外部にあることを示せ．
(2)四角形$\mathrm{AOCP}$において，$\angle \mathrm{AOC}=\angle \mathrm{APC}$であることを示せ．
(3)三角形$\mathrm{CDB}$の外心は，三角形$\mathrm{ADC}$の外接円の周上にあることを示せ．
国立 香川大学 2014年 第2問座標平面の原点を$\mathrm{O}$とし，点$\mathrm{A}$を第$1$象限に，点$\mathrm{B}$を$x$軸の正の部分に，$\mathrm{AO}=\mathrm{AB}=1$となるようにとる．このとき，次の問に答えよ．
(1)二等辺三角形$\mathrm{AOB}$の底角を$\theta$とするとき，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る放物線を$C:y=f(x)$とする．このとき，$f(x)$を求めよ．
(3)放物線$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(4)面積$S$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．
(1)二等辺三角形$\mathrm{AOB}$の底角を$\theta$とするとき，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る放物線を$C:y=f(x)$とする．このとき，$f(x)$を求めよ．
(3)放物線$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(4)面積$S$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．
国立 香川大学 2014年 第2問座標平面の原点を$\mathrm{O}$とし，点$\mathrm{A}$を第$1$象限に，点$\mathrm{B}$を$x$軸の正の部分に，$\mathrm{AO}=\mathrm{AB}=1$となるようにとる．このとき，次の問に答えよ．
(1)二等辺三角形$\mathrm{AOB}$の底角を$\theta$とするとき，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る放物線を$C:y=f(x)$とする．このとき，$f(x)$を求めよ．
(3)放物線$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(4)面積$S$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．
(1)二等辺三角形$\mathrm{AOB}$の底角を$\theta$とするとき，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る放物線を$C:y=f(x)$とする．このとき，$f(x)$を求めよ．
(3)放物線$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(4)面積$S$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．
国立 香川大学 2014年 第2問座標平面の原点を$\mathrm{O}$とし，点$\mathrm{A}$を第$1$象限に，点$\mathrm{B}$を$x$軸の正の部分に，$\mathrm{AO}=\mathrm{AB}=1$となるようにとる．このとき，次の問に答えよ．
(1)二等辺三角形$\mathrm{AOB}$の底角を$\theta$とするとき，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る放物線を$C:y=f(x)$とする．このとき，$f(x)$を求めよ．
(3)放物線$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(4)面積$S$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．
(1)二等辺三角形$\mathrm{AOB}$の底角を$\theta$とするとき，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る放物線を$C:y=f(x)$とする．このとき，$f(x)$を求めよ．
(3)放物線$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(4)面積$S$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．
国立 福井大学 2014年 第2問$\triangle \mathrm{OAB}$は$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$を満たす二等辺三角形とする．$t$を$\displaystyle \frac{1}{2}<t<1$を満たす定数とし，辺$\mathrm{AB}$を$t:1$に内分する点を$\mathrm{M}$，$1:t$に内分する点を$\mathrm{N}$としたとき，$\angle \mathrm{AOB}=3 \angle \mathrm{AOM}$が成り立つとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \mathrm{ON}=\frac{1-t}{t}$であることを証明せよ．
(2)$x=\cos \angle \mathrm{AOB}$，$y=\cos \angle \mathrm{AOM}$とするとき，$x,\ y$を$t$を用いて表せ．
(3)$x=-y^2$が成り立つときの，$t$の値と辺$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
(1)$\displaystyle \mathrm{ON}=\frac{1-t}{t}$であることを証明せよ．
(2)$x=\cos \angle \mathrm{AOB}$，$y=\cos \angle \mathrm{AOM}$とするとき，$x,\ y$を$t$を用いて表せ．
(3)$x=-y^2$が成り立つときの，$t$の値と辺$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
国立 福井大学 2014年 第1問三角形$\mathrm{OAB}$は$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$を満たす二等辺三角形とする．$t$を$\displaystyle \frac{1}{2}<t<1$を満たす定数とし，辺$\mathrm{AB}$を$1:t$に内分する点を$\mathrm{M}$，$\angle \mathrm{AOM}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{N}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表すとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{OM}=s$とおく．$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$s$，$t$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{AN}=\mathrm{BM}$のとき，内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を$t$を用いて表せ．
(3)$\cos \angle \mathrm{BOM}=x$とおく．$(2)$の仮定のもとで，さらに$x^2+\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=0$が成り立っているとき，辺$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
(1)$\mathrm{OM}=s$とおく．$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$s$，$t$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{AN}=\mathrm{BM}$のとき，内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を$t$を用いて表せ．
(3)$\cos \angle \mathrm{BOM}=x$とおく．$(2)$の仮定のもとで，さらに$x^2+\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=0$が成り立っているとき，辺$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
国立 福井大学 2014年 第1問$\triangle \mathrm{OAB}$は$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$を満たす二等辺三角形とする．$t$を$\displaystyle \frac{1}{2}<t<1$を満たす定数とし，辺$\mathrm{AB}$を$1:t$に内分する点を$\mathrm{P}$，$\angle \mathrm{AOP}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$k=\mathrm{OP}$とおくとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$と$t$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$と$t$，$k$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{AQ}=\mathrm{BP}$が成り立つとする．$k$を$t$を用いて表せ．また内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を$t$を用いて表せ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$と$t$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$と$t$，$k$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{AQ}=\mathrm{BP}$が成り立つとする．$k$を$t$を用いて表せ．また内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を$t$を用いて表せ．
私立 慶應義塾大学 2014年 第3問下図のように，等しい辺の長さが$a$，その挟む角（頂角）が$2 \theta$である二等辺三角形を$4$つ使って四面体を作る．$x=\cos^2 \theta$とおけば，四面体の体積$V$は
\[ V=\frac{[$24$][$25$]}{[$26$][$27$]} (1-[$28$]x) \sqrt{[$29$]x-1} a^3 \]
となる．このように作られる四面体のなかで最大の四面体の体積は
\[ \frac{[$30$] \sqrt{[$31$]}}{[$32$][$33$]}a^3 \]
である．
（図は省略）
\[ V=\frac{[$24$][$25$]}{[$26$][$27$]} (1-[$28$]x) \sqrt{[$29$]x-1} a^3 \]
となる．このように作られる四面体のなかで最大の四面体の体積は
\[ \frac{[$30$] \sqrt{[$31$]}}{[$32$][$33$]}a^3 \]
である．
（図は省略）
私立 名城大学 2014年 第3問$\triangle \mathrm{OAB}$は$\angle \mathrm{AOB}$が直角な二等辺三角形とする．辺$\mathrm{OA}$を$3:2$，辺$\mathrm{OB}$を$2:3$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$とし，辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{L}$が$\overrightarrow{\mathrm{OL}} \perp \overrightarrow{\mathrm{MN}}$を満たすとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおくとき，次の各問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OL}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{OL}$と線分$\mathrm{MN}$の交点を$\mathrm{K}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OK}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$|\overrightarrow{a}|=5$のとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OK}}|$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OL}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{OL}$と線分$\mathrm{MN}$の交点を$\mathrm{K}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OK}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$|\overrightarrow{a}|=5$のとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OK}}|$を求めよ．