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室蘭工業大学 国立 室蘭工業大学 2016年 第5問
$\triangle \mathrm{OAB}$が$|\overrightarrow{\mathrm{OA|}}=4$,$|\overrightarrow{\mathrm{OB|}}=3$,$\angle \mathrm{AOB}={60}^\circ$を満たすとする.また,$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線と点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{OB}$への垂線との交点を$\mathrm{P}$とする.

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ.
(2)面積の比$\triangle \mathrm{POA}:\triangle \mathrm{PAB}:\triangle \mathrm{PBO}$を求めよ.
鹿児島大学 国立 鹿児島大学 2016年 第1問
次の各問いに答えよ.

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする.$\mathrm{AB}=6$,$\mathrm{BC}=5$,$\mathrm{BD}=3$のとき,辺$\mathrm{AC}$の長さを求めよ.
(2)自然数$n$が$6$と互いに素であるとき,$n^2-1$が$6$で割り切れることを示せ.
(3)$xy$平面で次の不等式で表される領域を図示せよ.
\[ |x| \leqq y \leqq 1-|x| \]
鹿児島大学 国立 鹿児島大学 2016年 第1問
次の各問いに答えよ.

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする.$\mathrm{AB}=6$,$\mathrm{BC}=5$,$\mathrm{BD}=3$のとき,辺$\mathrm{AC}$の長さを求めよ.
(2)自然数$n$が$6$と互いに素であるとき,$n^2-1$が$6$で割り切れることを示せ.
(3)$xy$平面で次の不等式で表される領域を図示せよ.
\[ |x| \leqq y \leqq 1-|x| \]
鹿児島大学 国立 鹿児島大学 2016年 第1問
次の各問いに答えよ.

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする.$\mathrm{AB}=6$,$\mathrm{BC}=5$,$\mathrm{BD}=3$のとき,辺$\mathrm{AC}$の長さを求めよ.
(2)自然数$n$が$6$と互いに素であるとき,$n^2-1$が$6$で割り切れることを示せ.
(3)$xy$平面で次の不等式で表される領域を図示せよ.
\[ |x| \leqq y \leqq 1-|x| \]
宇都宮大学 国立 宇都宮大学 2016年 第2問
平面上に$\mathrm{OA}=4$,$\mathrm{AB}=9$,$\mathrm{OB}=7$となるような$\triangle \mathrm{OAB}$があり,$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{C}$とする.このとき,次の問いに答えよ.

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値を求めよ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$k \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が平行になるような実数$k$を求めよ.
(3)$(2)$の結果を用いて,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ.
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{OC|}}$の値を求めよ.
宇都宮大学 国立 宇都宮大学 2016年 第2問
平面上に$\mathrm{OA}=4$,$\mathrm{AB}=9$,$\mathrm{OB}=7$となるような$\triangle \mathrm{OAB}$があり,$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{C}$とする.このとき,次の問いに答えよ.

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値を求めよ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$k \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が平行になるような実数$k$を求めよ.
(3)$(2)$の結果を用いて,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ.
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{OC|}}$の値を求めよ.
宇都宮大学 国立 宇都宮大学 2016年 第2問
平面上に$\mathrm{OA}=4$,$\mathrm{AB}=9$,$\mathrm{OB}=7$となるような$\triangle \mathrm{OAB}$があり,$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{C}$とする.このとき,次の問いに答えよ.

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値を求めよ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$k \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が平行になるような実数$k$を求めよ.
(3)$(2)$の結果を用いて,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ.
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{OC|}}$の値を求めよ.
明治大学 私立 明治大学 2016年 第6問
次の設問の$[ ]$に適当な数を入れなさい.

$\triangle \mathrm{ABC}$において,$\mathrm{AB}=\sqrt{3}+1$,$\mathrm{BC}=2$,$\mathrm{CA}=\sqrt{6}$である.また,$\angle \mathrm{B}$の二等分線と辺$\mathrm{CA}$との交点を$\mathrm{D}$とする.

(1)$\cos A=[ ]$である.
(2)線分$\mathrm{AD}$の長さは$[ ]$である.
(3)線分$\mathrm{BD}$の長さは$[ ]$である.
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[ ]$である.
(5)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は$[ ]$である.
日本医科大学 私立 日本医科大学 2016年 第1問
次の各問いに答えよ.

(1)円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において,$\mathrm{AB}=1+\sqrt{3}$,$\mathrm{BC}=\mathrm{CD}$,$\mathrm{DA}=2$,また$\angle \mathrm{DAB}={60}^\circ$である.四角形$\mathrm{ABCD}$の対角線の交点を$\mathrm{P}$,$\angle \mathrm{BCD}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Q}$,$\mathrm{BD}$と$\mathrm{CQ}$の交点を$\mathrm{R}$とするとき,以下の各問いに答えよ.なお数値の分母は有理化すること.

(i) 辺$\mathrm{BD}$の長さを求めよ.
(ii) $\angle \mathrm{ABD}$の大きさを求めよ.
(iii) 辺$\mathrm{BP}$の長さを求めよ.
\mon[$\tokeishi$] 三角形$\mathrm{PQR}$の内接円の半径を求めよ.

(2)自然数$n$に対して,$n$を$3$で割った余りを$a_n$,$n^2$を$3$で割った余りを$b_n$とするとき,以下の各問いに答えよ.

(i) $\displaystyle \sum_{n=1}^{2016} (a_n+b_n)$の値を求めよ.
(ii) $\displaystyle \sum_{n=1}^m (a_{n+2}+b_{n+1}+2a_n)=2016$を満たす自然数$m$の値を求めよ.

(3)$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に,次のような双曲線$C$と直線$\ell_k$($k$は実数の定数)が与えられているとき,以下の各問いに答えよ.
\[ C:\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=-1 \qquad \ell_k:3x-4y+k=0 \]

(i) $C$と$\ell_k$が接するような$k$の値を求めよ.
(ii) $C$上の点と直線$\ell_0:3x-4y=0$の距離の最小値を求めよ.
立教大学 私立 立教大学 2016年 第1問
次の空欄$[ア]$~$[サ]$に当てはまる数または式を記入せよ.

(1)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で,$\cos^2 \theta+\sin \theta \cos \theta=0$を満たす$\theta$をすべて求めると$\theta=[ア]$である.
(2)$10$本のくじのうち当たりくじは$n$本である.同時に$2$本のくじを引いたとき,$2$本ともはずれである確率は$\displaystyle \frac{1}{15}$であった.このとき,$n=[イ]$である.
(3)$\mathrm{AB}=20$,$\mathrm{BC}=24$,$\mathrm{AC}=16$である三角形$\mathrm{ABC}$において,$\angle \mathrm{A}$の二等分線が$\mathrm{BC}$と交わる点を$\mathrm{D}$とする.このとき,$\mathrm{BD}=[ウ]$である.
(4)頂点が反時計回りに$\mathrm{ABCDEF}$である正六角形について,$\overrightarrow{\mathrm{FB}}=a \overrightarrow{\mathrm{AB}}+b \overrightarrow{\mathrm{AC}}$と表したとき,$a=[エ]$,$b=[オ]$である.ただし,$a$と$b$は実数とする.
(5)$(3+i)(x+yi)=6+5i$を満たす実数$x,\ y$を求めると,$x=[カ]$,$y=[キ]$である.ただし,$i$は虚数単位とする.
(6)直線$\ell$に関して点$(3,\ 2)$と対称な点は$(1,\ 4)$である.このとき,直線$\ell$の方程式を$ax+by=1$とすると,$a=[ク]$,$b=[ケ]$である.
(7)$975$の正の約数の個数は$[コ]$個である.
(8)$-1 \leqq x \leqq 5$の範囲で,関数$\displaystyle f(x)=\int_{-3}^x (t^2-2t-3) \, dt$が最小値をとるのは$x=[サ]$のときである.
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