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早稲田大学 私立 早稲田大学 2012年 第2問
ある競技の大会に,チーム$1$,チーム$2$,チーム$3$,チーム$4$が参加している.大会は予選と決勝戦からなる.まず,抽選によって,図のように$2$チームずつに分かれて予選を行う.次に,各予選の勝者が決勝戦を行う.過去の対戦成績から次のことが分かっている.

チーム$i$とチーム$j$($1\leq i< j \leq 4$)が試合をするとき,確率$p$でチーム$j$が勝利し,確率$1-p$でチーム$i$が勝利する.ただし$0<p<1$である.

このとき,次の各問に答えよ.ただし,(1),(2),(3)は答のみ解答欄に記入せよ.

(1)チーム$1$が優勝する確率を求めよ.
(2)予選においてチーム$1$とチーム$2$が対戦する確率を求めよ.
(3)予選においてチーム$1$とチーム$2$が対戦するとき,チーム$2$が優勝する確率を求めよ.
(4)この大会においてチーム$2$が優勝する確率$f(p)$を求めよ.
(5)$f(p)$を最大にする$p$の値を求めよ.
(図は省略)
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「予選」とは・・・

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