$t>0$を実数とする．座標平面において，$3$点$\mathrm{A}(-2,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 0)$，$\mathrm{P}(t,\ \sqrt{3}t)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABP}$を考える．

(1)三角形$\mathrm{ABP}$が鋭角三角形となるような$t$の範囲を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABP}$の垂心の座標を求めよ．
(3)辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BP}$，$\mathrm{PA}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とおく．$t$が$(1)$で求めた範囲を動くとき，三角形$\mathrm{ABP}$を線分$\mathrm{MQ}$，$\mathrm{QR}$，$\mathrm{RM}$で折り曲げてできる四面体の体積の最大値と，そのときの$t$の値を求めよ．

$1$辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{OABC}$を考える．辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{OC}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)線分$\mathrm{PQ}$の長さと線分$\mathrm{PR}$の長さを求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{PQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PR}}$を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{PQR}$の面積を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$とし，辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{R}$があるとする．

(1)線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{M}$とし，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{M}$，$\mathrm{R}$が一直線上にあるとき，$\mathrm{BR}:\mathrm{RC}$を求めなさい．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心$\mathrm{G}$と$\triangle \mathrm{PRQ}$の重心$\mathrm{H}$が一致するとき，$\mathrm{BR}:\mathrm{RC}$を求めなさい．
(3)直線$\mathrm{AR}$，$\mathrm{BQ}$，$\mathrm{CP}$が一点で交わるとき，$\mathrm{BR}:\mathrm{RC}$を求めなさい．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$とし，辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{R}$があるとする．

(1)線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{M}$とし，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{M}$，$\mathrm{R}$が一直線上にあるとき，$\mathrm{BR}:\mathrm{RC}$を求めなさい．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心$\mathrm{G}$と$\triangle \mathrm{PRQ}$の重心$\mathrm{H}$が一致するとき，$\mathrm{BR}:\mathrm{RC}$を求めなさい．
(3)直線$\mathrm{AR}$，$\mathrm{BQ}$，$\mathrm{CP}$が一点で交わるとき，$\mathrm{BR}:\mathrm{RC}$を求めなさい．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$とし，辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{R}$があるとする．

(1)線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{M}$とし，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{M}$，$\mathrm{R}$が一直線上にあるとき，$\mathrm{BR}:\mathrm{RC}$を求めなさい．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心$\mathrm{G}$と$\triangle \mathrm{PRQ}$の重心$\mathrm{H}$が一致するとき，$\mathrm{BR}:\mathrm{RC}$を求めなさい．
(3)直線$\mathrm{AR}$，$\mathrm{BQ}$，$\mathrm{CP}$が一点で交わるとき，$\mathrm{BR}:\mathrm{RC}$を求めなさい．

図のような一辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とする．$\mathrm{M}$を辺$\mathrm{OC}$の中点，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$をそれぞれ辺$\mathrm{AE}$，辺$\mathrm{GF}$上の点とする．$\mathrm{AR}=r$，$\mathrm{GS}=s$，$\angle \mathrm{RMS}=\theta$とおくとき，次の問に答えよ．
（図は省略）

(1)$\overrightarrow{\mathrm{MR}}$，$\overrightarrow{\mathrm{MS}}$を，それぞれ$r,\ s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$を用いて表せ．
(2)$\cos \theta$を$r,\ s$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{MRS}$が$\angle \mathrm{RMS}={90}^\circ$の直角二等辺三角形のとき，$r$と$s$の値を求めよ．
(4)$\angle \mathrm{MRS}$はつねに鋭角であることを示せ．

図$1$のように，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=5$，$\mathrm{BC}=6$の二等辺三角形$\mathrm{ABC}$内に，半径が等しい$2$つの円$\mathrm{O}_1$，$\mathrm{O}_2$が次の$2$つの条件を満たすように置かれているとする．
\begin{itemize}
円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$は外接する．
円$\mathrm{O}_1$は辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{BC}$に接し，円$\mathrm{O}_2$は辺$\mathrm{AC}$と辺$\mathrm{BC}$に接する．
\end{itemize}
このとき，次の問に答えよ．
（図は省略）

(1)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$としたとき，線分$\mathrm{AM}$の長さを求めよ．
(2)円$\mathrm{O}_1$の半径$R$を求めよ．
(3)さらに円$\mathrm{O}_3$が図$2$のように円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$に外接し，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{AC}$に接しているとき，円$\mathrm{O}_3$の半径$r$を求めよ．

四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{BC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{E}$，$\triangle \mathrm{OCA}$の重心を$\mathrm{F}$，$\triangle \mathrm{DEF}$の重心を$\mathrm{G}$とする．そのとき，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$で表せ．

$a$を自然数とし，関数$f(x)=x^3+2x^2+ax+4$は$x=x_1$で極大，$x=x_2$で極小になるものとする．また，曲線$y=f(x)$上の$2$点$\mathrm{P}(x_1,\ f(x_1))$，$\mathrm{Q}(x_2,\ f(x_2))$の中点を$\mathrm{R}$とする．

(1)$a=1$であることを示せ．
(2)点$\mathrm{P}$および点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)点$\mathrm{R}$は曲線$y=f(x)$上にあることを示せ．
(4)点$\mathrm{R}$における曲線$y=f(x)$の接線は，点$\mathrm{R}$以外に$y=f(x)$との共有点をもたないことを示せ．

$a$を実数とする．空間内の$4$点$\mathrm{A}(a,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{B}(2,\ -3,\ 1)$，$\mathrm{C}(1,\ -2,\ 0)$，$\mathrm{D}(1,\ -1,\ -1)$に対し，線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{Q}$，線分$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{R}$，線分$\mathrm{BD}$の中点を$\mathrm{S}$とする．このとき次の問に答えよ．

(1)線分$\mathrm{QR}$の長さを$a$を用いて表せ．
(2)$\cos \angle \mathrm{PQR}$の値を$a$を用いて表せ．
(3)$a$が実数全体を動くとき，四角形$\mathrm{PQRS}$の面積の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．