$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(2,\ 4)$，$\mathrm{B}(6,\ 0)$をとる．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell_1$，線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，点$\mathrm{M}$を通り直線$\ell_1$に垂直な直線を$\ell_2$とする．

(1)点$\mathrm{M}$の座標は$([コ],\ [サ])$である．
(2)直線$\ell_1$の方程式は$y=-x+[シ]$であり，直線$\ell_2$の方程式は$y=x-[ス]$である．
(3)線分$\mathrm{OB}$の垂直二等分線と直線$\ell_2$との交点の座標は$([セ],\ [ソ])$である．
(4)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る円の方程式は$x^2+y^2-[タ]x-[チ]y=0$である．

以下の$[　]$にあてはまる適切な数を記入しなさい．

(1)どの位にも$0$を使わずに，でたらめに$4$桁の整数を作る．このとき，どの位の数字も異なる確率は$[　]$である．
(2)円に内接する正三角形の面積が$27 \sqrt{3}$のとき，この円の半径は$[　]$である．
(3)$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \left( 4x+3+\sqrt{16x^2+9} \right)=[　]$である．

(4)$\displaystyle \frac{\sin {55}^\circ+\sin {175}^\circ+\sin {65}^\circ+\sin {185}^\circ}{\sin {50}^\circ+\cos {50}^\circ}$の値を求めると，$[　]$である．

(5)$1$辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$，辺$\mathrm{BC}$を$3:1$に外分する点を$\mathrm{N}$とする．線分$\mathrm{MN}$と線分$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{L}$とするとき，線分$\mathrm{AL}$の長さは$[　]$である．

次の問いに答えよ．

(1)方程式$x^3-3x^2-9x-k=0$が異なる$3$個の実数解を持つように，定数$k$の範囲を定めよ．
(2)辺の長さが$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{AC}=5$の三角形$\mathrm{ABC}$がある．$\cos A$の値を求めよ．$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とすると，三角形$\mathrm{ABD}$の外接円の直径を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$がある．辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{BP}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{Q}$，直線$\mathrm{CQ}$と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\displaystyle \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{CR}}$を$t$の式で表せ．また三角形$\mathrm{BQR}$と三角形$\mathrm{CQP}$の面積が等しくなるように$t$の値を定めよ．

平面上に平行四辺形$\mathrm{ABCD}$がある．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{E}$とし，辺$\mathrm{BC}$，辺$\mathrm{CD}$，辺$\mathrm{DA}$それぞれを$1:2$に内分する点を順に$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$とする．線分$\mathrm{EG}$と線分$\mathrm{FH}$の交点を$\mathrm{I}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{d}$とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{EI}:\mathrm{IG}=t:(1-t)$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{AI}}$を$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}$，$t$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{HI}:\mathrm{IF}=u:(1-u)$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{AI}}$を$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}$，$u$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AI}}$を$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}$を用いて表せ．

四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=2$，$\mathrm{OC}=4$，
\[ \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{2},\quad \angle \mathrm{AOC}=\frac{\pi}{3},\quad \angle \mathrm{BOC}=\frac{\pi}{3} \]
とする．また，線分$\mathrm{OA}$を$2:1$に外分する点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{OB}$を$3:2$に外分する点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{CQ}$，線分$\mathrm{CP}$の中点をそれぞれ$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とし，直線$\mathrm{PR}$と直線$\mathrm{QS}$の交点を$\mathrm{T}$とする．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OT}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{T}$から平面$\mathrm{OAB}$に下ろした垂線を$\mathrm{TH}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{HT}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)四面体$\mathrm{OABT}$の体積を求めよ．

一辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{P}$を辺$\mathrm{AB}$の中点とし，点$\mathrm{Q}$が辺$\mathrm{AC}$上を動くとする．このとき，$\cos \angle \mathrm{PDQ}$の最大値を求めよ．

$s,\ t$を$s<t$をみたす実数とする．座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(1,\ 2)$，$\mathrm{B}(s,\ s^2)$，$\mathrm{C}(t,\ t^2)$が一直線上にあるとする．以下の問に答えよ．

(1)$s$と$t$の間の関係式を求めよ．
(2)線分$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}(u,\ v)$とする．$u$と$v$の間の関係式を求めよ．
(3)$s,\ t$が変化するとき，$v$の最小値と，そのときの$u,\ s,\ t$の値を求めよ．

$a$を正の実数とする．座標平面上の曲線$C$を
\[ y=x^4-2(a+1)x^3+3ax^2 \]
で定める．曲線$C$が$2$つの変曲点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$をもち，それらの$x$座標の差が$\sqrt{2}$であるとする．以下の問に答えよ．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)線分$\mathrm{PQ}$の中点と$x$座標が一致するような，$C$上の点を$\mathrm{R}$とする．三角形$\mathrm{PQR}$の面積を求めよ．
(3)曲線$C$上の点$\mathrm{P}$における接線が$\mathrm{P}$以外で$C$と交わる点を$\mathrm{P}^\prime$とし，点$\mathrm{Q}$における接線が$\mathrm{Q}$以外で$C$と交わる点を$\mathrm{Q}^\prime$とする．線分$\mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime$の中点の$x$座標を求めよ．

関数$y=\log_3 x$とその逆関数$y=3^x$のグラフが，直線$y=-x+s$と交わる点をそれぞれ$\mathrm{P}(t,\ \log_3 t)$，$\mathrm{Q}(u,\ 3^u)$とする．次の問いに答えよ．

(1)線分$\mathrm{PQ}$の中点の座標は$\displaystyle \left( \frac{s}{2},\ \frac{s}{2} \right)$であることを示せ．
(2)$s,\ t,\ u$は$s=t+u$，$u=\log_3 t$を満たすことを示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{t \to 3} \frac{su-k}{t-3}$が有限な値となるように，定数$k$の値を定め，その極限値を求めよ．

$t>0$を実数とする．座標平面において，$3$点$\mathrm{A}(-2,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 0)$，$\mathrm{P}(t,\ \sqrt{3}t)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABP}$を考える．

(1)三角形$\mathrm{ABP}$が鋭角三角形となるような$t$の範囲を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABP}$の垂心の座標を求めよ．
(3)辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BP}$，$\mathrm{PA}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とおく．$t$が$(1)$で求めた範囲を動くとき，三角形$\mathrm{ABP}$を線分$\mathrm{MQ}$，$\mathrm{QR}$，$\mathrm{RM}$で折り曲げてできる四面体の体積の最大値と，そのときの$t$の値を求めよ．