「中点」について
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私立 神奈川大学 2010年 第2問放物線$C:y=x^2$について，次の問いに答えよ．
(1)点$(1,\ 1)$を通り傾きが$a$である直線の方程式を求めよ．
(2)$(1)$で求めた直線と放物線$C$の共有点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)線分$\mathrm{PQ}$の中点の軌跡の方程式を求めよ．ただし，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が一致するとき，線分$\mathrm{PQ}$の中点とは$\mathrm{P}$を意味するものとする．
(4)$(3)$で求めた軌跡，放物線$C$および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)点$(1,\ 1)$を通り傾きが$a$である直線の方程式を求めよ．
(2)$(1)$で求めた直線と放物線$C$の共有点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)線分$\mathrm{PQ}$の中点の軌跡の方程式を求めよ．ただし，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が一致するとき，線分$\mathrm{PQ}$の中点とは$\mathrm{P}$を意味するものとする．
(4)$(3)$で求めた軌跡，放物線$C$および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
私立 日本福祉大学 2010年 第3問$\triangle \mathrm{ABC}$において線分$\mathrm{AB}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{N}$とする．また，$2$直線$\mathrm{CM}$と$\mathrm{BN}$の交点を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{AP}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{CM}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$をそれぞれ，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$で表せ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{CM}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$をそれぞれ，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$で表せ．
公立 首都大学東京 2010年 第3問同一平面上にない$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} = \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}} = \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}} = \overrightarrow{c}$とおく．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を含む平面上に点$\mathrm{D}$をとる．このとき，以下の問いに答えなさい．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OD}} = x \overrightarrow{a} +y \overrightarrow{b} +z \overrightarrow{c}$と表すとき，実数$x,\ y,\ z$が満たすべき条件を求めなさい．
(2)$4$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$は四角形$\mathrm{ABCD}$をなし，次の条件
$\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{b} \perp \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{c} \perp \overrightarrow{a},$
$\displaystyle |\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}|= |\overrightarrow{c}|= 1,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OD}}| = \sqrt{\frac{17}{2}}$
を満たすとする．その辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$，$\mathrm{DA}$の中点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とし，四角形$\mathrm{PQRS}$が長方形をなすとする．ただし，四角形$\mathrm{PQRS}$は四角形$\mathrm{ABCD}$に含まれるものとする．このとき，$x,\ y,\ z$の値を求めなさい．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OD}} = x \overrightarrow{a} +y \overrightarrow{b} +z \overrightarrow{c}$と表すとき，実数$x,\ y,\ z$が満たすべき条件を求めなさい．
(2)$4$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$は四角形$\mathrm{ABCD}$をなし，次の条件
$\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{b} \perp \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{c} \perp \overrightarrow{a},$
$\displaystyle |\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}|= |\overrightarrow{c}|= 1,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OD}}| = \sqrt{\frac{17}{2}}$
を満たすとする．その辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$，$\mathrm{DA}$の中点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とし，四角形$\mathrm{PQRS}$が長方形をなすとする．ただし，四角形$\mathrm{PQRS}$は四角形$\mathrm{ABCD}$に含まれるものとする．このとき，$x,\ y,\ z$の値を求めなさい．
公立 高知工科大学 2010年 第1問$\angle \mathrm{C}$を直角とし斜辺の長さが$1$である直角三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}=\theta$とする．辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{CM}$上に点$\mathrm{Q}$をとり，$\mathrm{CQ}=x$とする．点$\mathrm{Q}$を通り辺$\mathrm{BC}$に平行な直線と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{PQ}$を折り目として，$\triangle \mathrm{APQ}$を元の三角形に折り重ねる．折り重ねた$\triangle \mathrm{A}^\prime \mathrm{PQ}$と$\triangle \mathrm{ABC}$が重なってできる図形の面積を$T$とする．次の各問に答えよ．
(1)線分$\mathrm{PQ}$の長さを$\theta$と$x$で表せ．
(2)面積$T$を$\theta$と$x$で表せ．
(3)面積$T$の値が最大となるときの$\triangle \mathrm{ABC}$の形状と点$\mathrm{Q}$の位置を求めよ．
（図は省略）
(1)線分$\mathrm{PQ}$の長さを$\theta$と$x$で表せ．
(2)面積$T$を$\theta$と$x$で表せ．
(3)面積$T$の値が最大となるときの$\triangle \mathrm{ABC}$の形状と点$\mathrm{Q}$の位置を求めよ．
（図は省略）